2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習 數(shù)列的綜合應用

2025屆新高考數(shù)學精準沖刺復習數(shù)列的綜合應用一．數(shù)列的應用二．數(shù)列的求和三．數(shù)列遞推式四．數(shù)列與函數(shù)的綜合五．數(shù)列與不等式的綜合六．數(shù)列與向量的綜合目錄一．數(shù)列的應用1.約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m(m≠0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設正整數(shù)a共有k個正約數(shù)，即為a1，a2，…，ak-1，ak(a1＜a2＜...＜ak)．(Ⅰ)當k=4時，若正整數(shù)a的k個正約數(shù)構成等比數(shù)列，請寫出一個a的值；(Ⅱ)當k≥4時，若a2-a1，a3-a2，...ak-ak-1構成等比數(shù)列，求正整數(shù)a；(Ⅲ)記A=a1a2+a2a3+...+ak-1ak，求證：A＜a2．【解析】解：(Ⅰ)當k=4時正整數(shù)a的4個正約數(shù)構成等比數(shù)列，比如1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即a=8．

即A＜a2．

設ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2，由ak=t＜t+1＜t+2≤ak+1得bt＜k,bt+1=bt+2=k,與{bn}是等差數(shù)列矛盾，所以對任意n∈N*都有dn=1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，an=1+(n-1)=n；(Ⅲ)證明：因為對于n∈N*，Bn?Bn+1，所以bn≤bn+1，所以n+bn≤n+bn+1＜n+1+bn+1，即數(shù)列{n+bn}是遞增數(shù)列，先證明S∩T=?，假設S∩T≠?，設正整數(shù)p∈S∩T，由于p∈S，故存在正整數(shù)i＜p使得p=i+ai，所以ai=p-i,因為{an}是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以ai+1≥p-i+1，所以bp-i=i-1，bp-i+1=i,

3.已知Tn為所有n元有序數(shù)組(a1，a2，…，an)所組成的集合．其中ai∈{0，1}(i=1，2，…，n)．對于T中的任意元素x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)定義x,y的距離：d(x,y)=|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|．若k∈N*，U為T5k的子集，且有2k個元素，并且滿足任意x∈T5k，都存在唯一的y∈U，使得d(x,y)≤2，則稱U為“好k集”．(1)若a,b,c∈T3，a=(1，0，1)，b=(0，1，0)，c=(0，1，1)，求d(a,a)，d(a,b)及d(a,c)+d(b,c)的值；(2)當k=1時，求證：存在“好k集”，且“好k集”中不同元素的距離為5；(3)求證：當k＞1時，“好k集”不存在．

結合|xi-yi|+|1-xi-yi|=1可得：d(x,y)就相當于對0，1的順序進行重組，對于任意x∈U，可知均存在y∈T5，使得d(x,y)=2，當k＞1時，對任意a=(a1，a2，…，a5k)∈T5k，定義a=(A1，A2，…，Ak)，其中Ai=(a5i-4，a5i-3，…，a5i)，i∈{1，2，…，k}，可知：對任意e,f∈T5k，其中e=(E1，E2，…，Ek)，f=(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k)，可知d(e,f)=d(E1，F(xiàn)1)+d(E2，F(xiàn)2)+…+d(Ek，F(xiàn)k)，假設存在“好k集”，則對任意b=(B1，B2，…，Bk)∈T5k，以b為基礎構建“好k集”U，對任意c=(C1，C2，…，Ck)∈T5k，

【解析】解：(1)由題意，因為m是正奇數(shù)，當m=1時，由a1=1，得a2=1+1=2，a3=1=a1，這與前6項各不相同矛盾，不合題意；當m=3時，由a1=1，得a2=1+3=4，a3=2，a4=1=a1，不合題意；當m=5時，由a1=1，得a2=1+5=6，a3=3，a4=3+5=8，a5=4，a6=2，符合題意；綜上，m的最小值為5，此時數(shù)列的前6項為：1，6，3，8，4，2．(2)證明：假設集合B={k∈N*|ak∈Am，ak＞2m}非空，當k=1時，a1=1，又m是正奇數(shù)，2m≥2，而a1＜2m,不合題意，當k=2時，a2=1+m,若a2＞2m,則需m＜1，又m是正奇數(shù)，不合題意，設B中元素的最小值為k(顯然k≥3)，因為ak＞2m≥ak-1，所以ak=ak-1+m,因此ak-1為奇數(shù)，且ak-1＞m.

若K＞m,則必有ai-1=aj-1=K-m＞1，與i的最小性矛盾；若K≤m,則必有ai-1=aj-1=2K，也與i的最小性矛盾．因此只能ai=1，因此aj=a1=1，j＞1，aj-1=2，即1，2∈Sm．綜上，S={1，2}．5.已知Sn={1，2，?，n}(n≥3)，A={a1，a2，?，ak}(k≥2)是Sn的子集，定義集合A*={ai-aj|ai，aj∈A且ai＞aj}，若A*∪{n}=Sn，則稱集合A是Sn的恰當子集．用|X|表示有限集合X的元素個數(shù)．(1)若n=5，A={1，2，3，5}，求A*并判斷集合A是否為S5的恰當子集；(2)已知A={1，a,b,7}(a＜b)是S7的恰當子集，求a,b的值并說明理由；(3)若存在A是Sn的恰當子集，并且|A|=5，求n的最大值．【解析】解：(1)若n=5，有S5={1，2，3，4，5}，由A={1，2，3，5}，則A*={1，2，3，4}，滿足A*∪{5}=S5，集合A是S5的恰當子集．(2)A={1，a,b,7}(a＜b)是S7的恰當子集，則A*={1，2，3，4，5，6}，7-1=6∈A*，由5∈A*則7-a=5或b-1=5，7-a=5時，a=2，此時b=5，A={1，2，5，7}，滿足題意；b-1=5時，b=6，此時a=3，A={1，3，6，7}，滿足題意；a=2，b=5或a=3，b=6．(3)若存在A是Sn的恰當子集，并且|A|=5，當n=10時，A={1，2，3，7，10}，有A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，滿足A*∪{10}=S10，所以A={1，2，3，7，10}是S10的恰當子集，當n=11時，若存在A是S11的恰當子集，并且|A|=5，則需滿足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，由10∈A*，則有1∈A且11∈A，由9∈A*，則有2∈A或10∈A，2∈A時，設A={1，2，a,b,11}(3≤a＜b≤10)，經檢驗沒有這樣的a,b滿足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}；當10∈A時，設A={1，a,b,10，11}(2≤a＜b≤9)，經檢驗沒有這樣的a,b滿足A*={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}；因此不存在A是S11的恰當子集，并且|A|=5，所以存在A是Sn的恰當子集，并且|A|=5，n的最大值為10．6.對于數(shù)列{an}定義△ai=ai+1-ai為{an}的差數(shù)列，△2ai=△ai+1-△ai為{an}的累次差數(shù)列．如果{an}的差數(shù)列滿足|△ai|≠|△aj|，(?i,j∈N*，i≠j)，則稱{an}是“絕對差異數(shù)列”；如果{an}的累次差數(shù)列滿足|△2ai|=|△2aj|，(?i,j∈N*)，則稱{an}是“累差不變數(shù)列”．(1)設數(shù)列A1：2，4，8，10，14，16；A2：6，1，5，2，4，3，判斷數(shù)列A1和數(shù)列A2是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，直接寫出你的結論；(2)若無窮數(shù)列{an}既是“絕對差異數(shù)列”又是“累差不變數(shù)列”，且{an}的前兩項a1=0，a2=a,|△2ai|=d(d為大于0的常數(shù))，求數(shù)列{an}的通項公式；(3)已知數(shù)列B：b1，b2…，b2n-1，b2n是“絕對差異數(shù)列”，且{b1，b2…，b2n}={1，2，?，2n}，證明：b1-b2n=n的充要條件是{b2，b4…，b2n}={1，2，?，n}．

或2n,1，2n-1，2，2n-2或4，2n,1，2n-1，2，若排序為2n-1，2，2n,1，2n-3，則當差數(shù)列為5-2n時，無法排序，不合題意；若排序為4，2n,1，2n-1，2，則當差數(shù)列為5-2n時，無法排序，不合題意；所以符合的排序只能為3，2n-1，2，2n,1，或2n,1，2n-1，2，2n-2，利用數(shù)學歸納法證明：當差數(shù)列為-1-2n+2i,符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，顯然i=1，符合題意；假設在差數(shù)列有意義的前提下：當差數(shù)列為-1-2n+2i,符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1；則當差數(shù)列為2n-2i時，符合的排序為i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,或2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，2n-2i+1，當差數(shù)列為-1-2n+2(i+1)=-2n+2i+1時，對于i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,可得符合的排序為2n-(i+1)-1，i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1；對于2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，2n-2i+1，無法排序；所以符合的排序為2n-(i+1)-1，i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，即當差數(shù)列為-1-2n+2i,符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1；所以當差數(shù)列為-1-2n+2i,符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，成立；同理可證：當差數(shù)列為-1-2n+2i,符合的另一種排序為2n,1，2n-1，2，?，2n-i+1，i；依次類推，可得其排列為n+1，n,n+2，n-1，n+3，n-2，?，2，2n,或2n,1，2n-1，2，2n-3，3，?，n+1，n,所以{b2，b4，?，b2n}={1，2，?，n}，故充分性成立；若{b2，b4，?，b2n}={1，2，?，n}，則{b1，b3，?，b2n-1}={n+1，n+2，?，2n}，若差數(shù)列為±(2n-1)，則符合的排序為2n,或1，2n,若差數(shù)列為±(2n-2)，則符合的排序為2，2n,或2n,1，2n-1或1，2n,2或2n-1，1，2n,若差數(shù)列為±(2n-3)，則符合的排序為2n-1，2，2n,或2n,1，2n-1，2，因為1，2n,2的排序為1，2n,2，2n-1，不合題意，2n-1，1，2n的排序為2，2n-1，1，2n,不合題意，所以若差數(shù)列為±(2n-1)，則符合的排序為2n,1，若差數(shù)列為±(2n-2)，則符合的排序為2，2n,1或2n,1，2n-1，若差數(shù)列為±(2n-3)，則符合的排序為2n-1，2，2n,1或2n,1，2n-1，2，利用數(shù)學歸納法證明：當差數(shù)列為±(2n+1-2i)時，符合的的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，當i=1時，成立；假設在差數(shù)列有意義的前提下：當差數(shù)列為±(2n+1-2i)，符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1；當差數(shù)列為±(2n-2i)，符合的排序為i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,或2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，2n-2i.當差數(shù)列為±(2n+1-2(i+1))，對于i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,可得排序為2n-(i+1)+1，i+1，2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，對于2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1，2n-2i則無法排序，所以當差數(shù)列為±(2n+1-2i)，符合的排序為2n-i+1，i,?，2n-1，2，2n,1；同理可證：當差數(shù)列為±(2n+1-2i)，符合的排序為2n,1，2n-1，2，?，2n-i+1，i；此時滿足數(shù)列B是“絕對差異數(shù)列”的排序只有兩種：n+1，n,n+2，n-1，n+3，n-2，?，2，2n,或2n,1，2n-1，2，2n-3，3，?，n+1，n,則b1-b2n=(b1-b2)+(b2-b3)+?+(b2n-1-b2n)=-(△b1+△b2+?+△b2n-1)=-n,必要性成立；所以b1-b2n=n的充要條件是{b2，b4，?，b2n}={1，2，?，n}．

(Ⅱ)從lT(a1)，…，lT(an)中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的數(shù)的和為M，求M的最小值(用n表示)；(Ⅲ)對于滿足lT(ai)＜n-1(i=1，2，…，n)的每一個集合T，集合S中是否都存在三個不同的元素e,f,g,使得dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3恒成立？請說明理由．【解析】解：(Ⅰ)lT(a2)=1，lT(a4)=dT(a4，a1)+dT(a4，a2)+dT(a4，a3)≤1+0+1=2．(Ⅱ)設lT(a1)，?，lT(an)中的最大值為lT(ak)，由定義，lT(ak)≤n-1，若存在lT(ak)=lT(am)=n-1，k≠m,則?i∈N*，(ak，ai)∈T，?i∈N*，(am，ai)∈T，

(Ⅲ)結論：集合S中存在滿足條件的三個不同的元素e,f,g,使得dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3恒成立，證明如下：設lT(ai)，i=1，2，?，n中存在最大數(shù)，不妨記為lT(f)，由lT(f)＜n-1，存在e∈S，使dT(f,e)=0，即(e,f)∈T，由lT(f)≥1，可設集合G={x∈S|(f,x)∈T}≠?，則l1中一定存在元素g,使得dT(g,e)=1，否則lT(e)≥lT(f)+1，與lT(f)是最大數(shù)矛盾，所以dT(f,g)=1，dT(g,e)=1，即dT(e,f)+dT(f,g)+dT(g,e)=3．10.已知集合Un={(x1，x2，?，xn)|xi∈{0，1}，i=1，2，?，n,n≥3}，任取α=(x1，x2，?，xn)∈Un，β=(y1，y2，?，yn)∈Un，定義α*β=max{x1，y1}+max{x2，y2}+?+max{xn，yn}，其中max{a,b}表示a,b中的最大值，例如max{1，0}=1，max{1，1}=1．(1)當n=3且α=(0，1，0)時，寫出滿足α*β=3的所有元素β；(2)設α，β∈Un滿足α*α+β*β=n,求α*β的最大值和最小值；(3)若Un的子集S滿足：?{α，β}?S，α*β≥n成立，求集合S中元素個數(shù)mS的最大值．【解析】解：(1)因為n=3，α=(0，1，0)且α*β=max{x1，y1}+max{x2，y2}+?+max{x3，y3}，

則?i∈{1，2，?，n}，max{xi，yi}=1，S中滿足xi=0的元素至多有一個，否則S中滿足第i個分量等于0的元素存在兩個，即有α=(x1，x2，?，xn)，β=(y1，y2，?，yn)，xi=yi=0，則max{xi，yi}=0，α*β＜n,與已知矛盾；故S中可能有的元素分為以下兩種情況：①每個分量都是1的，至多存在1個，②某個分量是0的至多各有1個，總計n個，所以mS≤n+1，當S={α|α∈Un，αn=n或n-1}時，滿足題意且mS=n+1．故所求最大值為n+1．

為常數(shù)列．12.已知數(shù)列{an}，{bn}的項數(shù)均為m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，?，m}，{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，并規(guī)定A0=B0=0．對于k∈{0，1，2，?，m}，定義rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，?，m}}，其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．345123sdf(1)若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；(2)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，?，m-1，求rn；(3)證明：存在p,q,s,t∈{0，1，2，?，m}，滿足p＞q,s＞t,使得Ap+Bt=Aq+Bs．【解析】解：(1)數(shù)列{an}，{bn}的項數(shù)均為m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，?，m}，{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，規(guī)定A0=B0=0．對于k∈{0，1，2，?，m}，定義rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，?，m}}，其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)，a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，由題意可知：A0=0，A1=2，A2=3，A3=6，B0=0，B1=1，B2=3，B3=6，當k=0時，則B0=A0=0，Bi＞A0，i=1，2，3，故r0=0；當k=1時，則B0＜A1，B1＜A1，Bi＞A1，i=2，3，故r1=1；當k=2時，則Bi≤A2，i=0，1，2，B3＞A2，故r2=2；當k=3時，則Bi≤A3，i=0，1，2，3，故r3=3；綜上所述：r0=0，r1=1，r2=2，r3=3．(2)a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，?，m-1，由題意可知：rn≤m,且rn∈N，∵an≥1，bn≥1，則An≥a1=1，Bn≥b1=1，當且僅當n=1時，等號成立，∴r0=0，r1=1，又∵2ri≤ri-1+ri+1，∴ri+1-ri≥ri-ri-1，∴rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥…≥r1-r0=1，可得ri+1-ri≥1，反證：假設滿足rn+1-rn＞1的最小正整數(shù)為1≤j≤m-1，當i≥j時，則ri+1-ri≥2；當i≤j-1時，則ri+1-ri=1，則rm=(rm-rm-1)+(rm-1-rm-2)+…+(r1-r)0+r0≥2(m-j)+j=2m-j,又∵1≤j≤m-1，∴rm≥2m-j≥2m-(m-1)=m+1＞m,假設不成立，∴rn+1-rn=1，∴數(shù)列{rn}是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴rn=0+1×n=n,n∈N．

q+Bs．13.如圖，T是3行3列的數(shù)表，用aij(i,j=1，2，3)表示位于第i行第j列的數(shù)，且滿足aij∈{0，1}．a11a12a13a21a22a23a31a32a33

【解析】解：(1)T0為000000000T1=φ11(T0)，故T1為110100000T2=φ22(T1)，故T2為100011010T3=φ33(T2)，故T3=Ψ(T0)為100010001(2)T′為010111000由題意得，φ11，φ13，φ22，φ31，φ33均改變了表格中的奇數(shù)個數(shù)據(jù)，定義為奇操作，φ12，φ21，φ23，φ32均改變了表格中的偶數(shù)個數(shù)據(jù)，定義為偶操作，兩次同樣的操作，表格中數(shù)據(jù)不變，例如Ψ：φ11，φ11不改變表格中數(shù)據(jù)，故n的最大值為9，且變換滿足交換律，例如Ψ：φ11，φ12和Ψ：φ12，φ11，結果相同，觀察到T′是關于φ12，φ22，φ32變換所在直線對稱的，故變換也要關于這條直線軸對稱，T′中有4個1，故相對于T0改變了4個數(shù)，若n=1，通過驗證，發(fā)現(xiàn)不能得到T′，若n=2，結合對稱性和奇偶性，有Ψ：φ11，φ13，Ψ：φ21，φ23，Ψ：φ31，φ33，Ψ：φ12，φ32四種變換，經過驗證，均不滿足，若n=3，結合對稱性和奇偶性，不妨取變換Ψ：φ11，φ12，φ13，T1=φ11(T0)，故T1為110100000T2=φ12(T1)，故T2為001110000T3=φ13(T2)，故T3=Ψ(T0)為010111000故n的最小值為3；(3)設A是所有優(yōu)變換的集合，則A中的優(yōu)變換的個數(shù)為29，B是所有數(shù)表的集合，則B中的數(shù)表的個數(shù)為29，構造f：A→B，下面證明A中的優(yōu)變換和B中數(shù)表為一一對應關系，由于A，B中元素個數(shù)相同，要證每種變換都能等價變換為唯一的優(yōu)變換，只需證每個數(shù)表都能通過變換得到，由(2)可知，Ψ：φ11，φ12，φ13，φ22可以得到以下數(shù)表，000000010由對稱性可知，a12，a21，a23，a32可以單獨被改變，又經過Ψ：φ11變換得到110100000又a12，a21可單獨被改變，故可得到100000000即a11可單獨被改變，同理經過變換a13，a31，a33可單獨被改變，經過Ψ：φ22變換得到：010111010又經過變換，a12，a21，a23，a32可單獨被改變，可得到000010000故任給一個數(shù)表T：(aij)，aij∈{0，1}，i,j∈{1，2，3}，存在唯一的一個“優(yōu)變換”Ψ，使得T=Ψ(T0)．

，求S1，S2，S3及d(S)；(Ⅱ)若S={1，2，…，n}，集合S1，S2，…，Sn中的元素個數(shù)均相同，若d(S)=3，求n的最小值；(Ⅲ)若m=7，S={1，2，…，7}，集合S1，S2，…，S7中的元素個數(shù)均為3，且Si∩Sj≠?(1≤i＜j≤7)，求證：d(S)的最小值為3．

(Ⅱ)設ai∈S使得d(ai)=d(S)=3，則d(ai)=xi1+xi2+…+xim≤m,所以m≥3，所以S={1，2，…，n}至少有3個元素個數(shù)相同的非空子集，當n=1時，S={1}，其非空子集只有自身，不符題意；當n=2時，S={1，2}，其非空子集有{1}，{2}，{1，2}，不符題意；當n=3時，S={1，2，3}，其非空子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，當{S1，S2，S3}={{1}，{2}，{3}}時，d(1)=d(2)=d(3)=1，不符題意；當{S1，S2，S3}={{1，2}，{2，3}，{1，3}}時，d(1)=d(2)=d(3)=2，不符題意；

所以d(1)+d(2)+…+d(7)=|S1|+|S2|+…+|S7|=3×7=21，因為d(i)≤d(S)(i=1，2，…，7)，所以21=d(1)+d(2)+…+d(7)≤7d(S)，所以d(S)≥3；當S1={1，2，3}，S2={1，4，5}，S3={1，6，7}，S4={4，2，6}，S5={3，4，7}，S6={3，5，6}，S7={2，5，7}時，

【解析】解：(1){an}不是“完全平方數(shù)列”．

17.給定整數(shù)n≥2，對于數(shù)列A：a1，a2，?，an定義數(shù)列B如下：b1=min{a1，a2}，b2=min{a2，a3}，?，bn-1=min{an-1，an}，bn=min{an，a1}，其中min{x1，x2，?，xk}表示x1，x2，?，xk這k個數(shù)中最小的數(shù)．記Sn=a1+a2+?+an，Tn=b1+b2+?+bn．(Ⅰ)若數(shù)列A為①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分別寫出相應的數(shù)列B；(Ⅱ)求證：若Tn=Sn，則有a1=a2=?=an；(Ⅲ)若Sn=0，常數(shù)Cn使得Tn≤Cn?min{a1，a2，?，an}恒成立，求Cn的最大值．【解析】解：(1)由題意得，數(shù)列B為①0，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，1．(2)證明：反證法，若存在ai，使得ai≠ak，(i,k∈N*)，不妨設a1＞a2=a3=a4=?=an，n∈N*，則數(shù)列B：a2，a3，a4，?，an-1，an，an，則Sn=a1+a2+?+an=a1+(n-1)a2，Tn=na2，又a1＞a2，所以Tn＞Sn，不符合題意，故假設不成立，故若Tn=Sn，則有a1=a2=?=an．(3)由題意得，min{a1，a2，?，an}＜0，不妨設ak=min{a1，a2，?，an}，Tn≤Cn?min{a1，a2，?，an}恒成立，

18.數(shù)列{an}，{bn}的項數(shù)均為m(m＞2)，且an，bn∈{1，2，?，m}，{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，并規(guī)定A0=B0=0．對于k∈{0，1，2，?，m}，定義rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，?，m}}，其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．(Ⅰ)若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；(Ⅱ)若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，?，m-1，求rn；(Ⅲ)證明：存在0≤p＜q≤m,0≤r＜s≤m,使得Ap+Bs=Aq+Br．【解析】解：(Ⅰ)列表如下，對比可知r0=0，r1=1，r2=1，r3=2．i0123ai213Ai0236bi133Bi0147rk0112(Ⅱ)由題意知rn≤m且rn∈N，因為an≥1，bn≥1，an，bn∈{1，2，?，m}，所以An≥1，Bn≥1，當且僅當n=1時，等號成立，所以r0=0，r1=1，又因為2rj≤rj-1+rj+1，則rj+1-rj≥rj-rj-1，即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥...≥r1-r0=1，

{dn}：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，{fn}：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因為這三個數(shù)列中每兩個的距離大于等于3，所以，{bn}和{cn}中，ci=di，(i=4，5，6，7)中至少有三個成立，不妨設c4≠d4，c5≠d5，c6≠d6，由題意，c4和d4中一個等于0，而另一個等于1，又因為f4=0或1，所以f4=c4和f4=d4中必有一個成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一個成立，f6=c6和f6=d6中必有一個成立，所以“fi=ci(i=3，4，5)中至少有兩個成立”或”fi=di(i=4，5，6)中至少有兩個成立“中必有一個成立，

N-2)?2+1=2N-3，當且僅當：b2=b3=?=bN-1=2，bN=1，即A：0，2，4，?，2N-4，2N-3時，等號成立，此時存在“強緊數(shù)列”A：0，1，3，?，2N-3，故此情形下，aN的最小值為2N-3；②T1={2，3，?，k}，T2={k+1，k+2，?，N-1}，其中k=2，3，?，N-2．對任意i∈T1，有bi≥2，對任意j∈T2，有bj+1≥2．aN=a1+(b2+b3+?+bk)+bk+1+(bk+2+bk+3?+bN)≥0+(k-1)?2+1+(N-k-1)?2=2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；③T1=?，T2={2，3，?，N-1}．對任意i∈{2，3，?，N-1}，有bi-1≥2，aN=a1+b2+(b3+b4?+bN)≥0+2+(N-2)?2=2N-2＞2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3．綜上，aN的最小值為2N-3．

又因為b1+b2+?+bm=(b1+b2+?+b20)-(bm+1+bm+2+?+b20)≤(13+20)-(20-m)×1=13+m,且a1+a2+?+am≥m×1=m,所以d(A，B)=2[b1+b2+?+bm-(a1+a2+?+am)]≤2[(13+m)-m]=26，即d(A，B)≤26，又對于A=(1，1，1，?，14)，B=(14，1，1，?1)，有A，B∈S20，且d(I，A)=d(I，B)=13d(A，B)=26，綜上所得，d(A，B)的最大值為26．

(3)證明：設A是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列a1，a2，an．當存在1≤i＜j≤n,使得ai≤aj時，交換數(shù)列A的第i項與第j項得到數(shù)列B，則S(B)-S(A)=2(iaj+jai-iai-jaj)=2(i-j)(aj-ai)≤0．當存在1≤m＜n,使得am+1=am+2=an=0時，若記數(shù)列a1，a2，am為C，則S(C)=S(A)．所以S(T2(A))≤S(A)．從而對于任意給定的數(shù)列A0，由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0，1，2，)可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak))．又由(Ⅱ)可知S(T1(Ak))=S(Ak)，所以S(Ak+1)≤S(Ak)．即對于k∈N，要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有S(Ak+1)≤S(Ak)-1．因為S(Ak)是大于2的整數(shù)，所以經過有限步后，必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=0．即存在正整數(shù)K，當k≥K時，S(Ak+1)=S(A)．

【解析】解：(1)因為數(shù)列A：4，3，2，1，a1≥a2≥?≥an，

再根據(jù)a1，a2，?，an為正整數(shù)，可知an-1=an=1．故當n≥2時，an-1=an=1．(3)當n=2時，S=2n-2=2，有an-1=an=1，此時T3=0+1-1=0，命題成立；當n≥3時，由(2)的結論，a1，a2，?，an中至少有兩個1，現(xiàn)假設a1，a2，?，an中共有m(m≥2)個1，即an=an-1=?=an-m+1=1，且an-m≥2，則a1≤m.因為若a1≥m+1，則S=a1+a2+?+an≥m+1+2(n-m-1)+m=2n-1，矛盾．所以a1≤m.根據(jù){Ti}(1≤i≤n+1)的定義可知，T2=a1≤m,0≤T3=a1-a2≤m,|T4|≤max{a3，T3}≤m,以此類推可知一直有|Tn-m+1|≤max{an-m，Tn-m}≤m,再由后面an=an-1=?=an-m+1=1，可知|Tn+1|≤1；另一方面Tn+1與S奇偶性相同，所以Tn+1=0．

【解析】解：(1)數(shù)列P的伴隨集合為{-1，0，1，2，3}，數(shù)列Q的伴隨集合為{3，5，6，9，10，12}．(2)先證明：對任意i≠k,或j≠l,則ai+aj≠ak+al(1≤i≤j≤n,1≤k＜l≤n)，假設ai+aj=ak+al(1≤i＜j≤n,1≤k＜l≤n)，當i=k,且j≠l,∵ai+aj=ak+al，則aj=al，即2j=2l，∴j=l,與j≠l矛盾，同理當i≠k,且j=l時，也不成立．當i=k,且j≠l時，不妨設i＜k,∵ai+aj=ak+al，則2i+2j=2k+2l，∴1+2j-i=2k-i+2l-i，左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，∴1+2j-i≠2k-i+2l-i，綜上，對任意i≠k,或j≠l,則ai+aj≠ak+al(l≤i＜j≤n,1≤k＜l≤n)，

，所以d(A1，A2)≠d(A2，A3)，所以A1，A2，A3，A4不是X4中的一個等距序列．(Ⅱ)證明：設A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)，C=(c1，c2，c3)，把a1a2a3，b1b2b3，c1c2c3分別稱作A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)，C=(c1，c2，c3)的第一個，第二個，第三個坐標，若d(A，B)=x,x∈{0，1，2，3}則A，B中有x個對應坐標不相同，例如當d(A，B)=1時，說明A，B中有1個對應坐標不相同，其中A=(1，1，0)，B=(1，1，1)，就是符合d(A，B)=1的一種情況．當d(A，B)=d(B，C)=0時，A=B=C，所以d(A，C)=0是偶數(shù)；當d(A，B)=d(B，C)=1時，則A，B中有1個對應坐標不相同，并且B，C中有1個對應坐標不相同，所以A，C中有0或2個對應坐標不相同，當有0個對應坐標不相同時，即A=C則d(A，C)=0，當有2個對應坐標不相同時，d(A，C)=2，都滿足d(A，C)為偶數(shù)；當d(A，B)=d(B，C)=2時，A，B中有2個對應坐標不相同，并且B，C中有2個對應坐標不相同，所以A，C中有0或2個對應坐標不相同，當有0個對應坐標不相同時，即A=C則d(A，C)=0，當有2個對應坐標不相同時，d(A，C)=2，都滿足d(A，C)為偶數(shù)；當d(A，B)=d(B，C)=3時，A，B中有3個對應坐標不相同，并且B，C中有3個對應坐標不相同，

28.已知n為正整數(shù)，集合Mn={(x1，x2，?，xn)|xi∈{0，1}，i=1，2，?，n}，對于Mn中任意兩個元素α=(a1，a2，?，an)和β=(b1，b2，?，bn)，定義：α-β=(|a1-b1|，|a2-b2|，?，|an-bn|)；d(α，β)=|a1-b1|+|a2-b2|+?+|an-bn|．(Ⅰ)當n=3時，設α=(0，1，0)，β=(1，0，0)，寫出α-β，并計算d(α，β)；(Ⅱ)若集合S滿足S?M3，且?α，β∈S，d(α，β)=2，求集合S中元素個數(shù)的最大值，寫出此時的集合S，并證明你的結論；(Ⅲ)若?α，β∈Mn，且d(α，β)=2，任取γ∈Mn，求d(α-γ，β-γ)的值．【解析】解：(1)α-β=(1，1，0)，d(α，β)=2．(2)最大值是4．此時S={(0，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}或S={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}．若還有第5個元素，則必有(1，0，0)，(0，1，1)和(0，0，1)，(1，1，0)和(0，1，0)，(1，0，1)和(1，1，1)，(0，0，0)之一出現(xiàn)，其對應的d(α，β)=3，不符合題意．(3)解：設α=(a1，a2，?，an)，β=(b1，b2，?，bn)，γ=(c1，c2，?，cn)，所以ai，bi，ci∈{0，1}，|ai-bi|∈{0，1}，(i=1，2，3，?n)從而α-β=(|a1-b1|，|a2-b2|，?，|an-bn|)∈Mn，又d(α-γ，β-γ)=||a1-c1|-|b1-c1||+||a2-c2|-|b2-c2||+?+||an-cn|-|bn-cn||，當ci=0時，||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|；當ci=1時，||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|．所以d(α-γ，α-β)=d(α，β)，所以d(α-γ，α-β)=2．29.已知n為正整數(shù)，數(shù)列X：x1，x2，?，xn，記S(X)=x1+x2+?+xn，對于數(shù)列X，總有x∈{0，1}，k=1，2，?，n,則稱數(shù)列X為n項0-1數(shù)列．若數(shù)列A：a1，a2，?，an，B：b1，b2，?，bn，均為n項0-1數(shù)列，定義數(shù)列A*B：m1，m2，?，mn，其中mk=1-|ak-bk|，k=1，2，?，n.(Ⅰ)已知數(shù)列A：1，0，1，B：0，1，1，直接寫出S(A*A)和S(A*B)的值；(Ⅱ)若數(shù)列A，B均為n項0-1數(shù)列，證明：S((A*B)*A)=S(B)；(Ⅲ)對于任意給定的正整數(shù)n,是否存在n項0-1數(shù)列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n,并說明理由．【解析】解：(I)S(A*A)=3，S(A*B)=1；(II)證明：對于兩個0-1數(shù)列A：a1，a2，?，an，B：b1，b2，?，bn，記數(shù)列A*B：c1，c2，?，cn，則對于ck(1，2，3，?，n)，若ak=1，則此時|ak-bk|=1-bk，ck=1-|ak-bk|=bk，若ak=0，則此時|ak-bk|=bk，ck=1-|ak-bk|=1-bk，故對于數(shù)列(A*B)*A：d1，d2，?，dn，考慮dk的值(k=1，2，?，n)：若ak=1，則dk=ck=bk，若ak=0，則dk=1-ck=1-(1-bk)=bk，故(A*B)*A與B是同一數(shù)列．所以S((A*B)*A)=S(B)；(III)若n是奇數(shù)，則不存在n項0-1數(shù)列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n,證明如下：對于3個n項0-1數(shù)列A，B，C，記xi=3-|ai-bi|-|bi-ci|-|ci-ai|(i=1，2，?

(i=1，2，?，n-1)，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個．【解析】解：(Ⅰ)因為T(A)：0，1，1，所以n-1=3，即n=4．因為t1=0，t2=1，t3=1，所以a1＞a2，a2＜a3，a3＜a4，又因為ai∈{1，2，3，4}(i=1，2，3，4)，所以a2=1，a1=4，或a4=4，當a1=4時，a3=2，a4=3，當a4=4時，a1=3，a3=2，或a1=2，a3=3，綜上所述，所有具有性質P的數(shù)列A為：4，1，2，3、3，1，2，4、2，1，3、4．證明：(Ⅱ)由于數(shù)列E：e1，e2，…，en-1(n≥2)，其中ei∈{0，1}(i=1，2

經檢驗數(shù)列A符合題意．證明：(Ⅲ)對于符合題意的數(shù)列A：a1，a2，…，an(n≥5)，①當n為奇數(shù)時，存在數(shù)列A'：an，an-1，…，a1符合題意，且數(shù)列A與A'不同，T(A)與T(A')相同，按這樣的方式可由數(shù)列A'構造出數(shù)列A，所以當n為奇數(shù)時，這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個，當n=3時，這樣的數(shù)列A也有偶數(shù)個．②當n為偶數(shù)時，如果n,n-1是數(shù)列A中不相鄰的兩項，交換n與n-1得到數(shù)列A'符合題意，且數(shù)列A與A'不同，T(A)與T(A')相同，按這樣的方式可由數(shù)列A'構造出數(shù)列A，所以這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個；如果n,n-1是數(shù)列A中相鄰的兩項，由題設可知：必有an-1=n,an=n-1，a1=n-2，除這三項外，a2，a3，…，an-2是一個n-3項的符合題意的數(shù)列A，由①知這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個；綜上所述，這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個．31.已知集合An={(x1，x2，…，xn)|xi∈{-1，1}(i=1，2，…，n)}．x,y∈An，x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)，其中xi，yi∈{-1，1}(i=1，2，…，n)．定義x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn．若x⊙y=0，則稱x與y正交．(Ⅰ)若x=(1，1，1，1)，寫出A4中與x正交的所有元素；(Ⅱ)令B={x⊙y|x,y∈An}．若m∈B，證明：m+n為偶數(shù)；(Ⅲ)若A?An，且A中任意兩個元素均正交，分別求出n=8，14時，A中最多可以有多少個元素．【解析】解：(Ⅰ)A4中所有與x正交的元素為(-1，-1，1，1)(1，1，-1，-1)，(-1，1，-1，1)，(-1，1，1，-1)，(1，-1，-1，1)，(1，-1，1，-1

．所以m+n=2k-n+n=2k為偶數(shù)．…(8分)(Ⅲ)8個，2個n=8時，不妨設x1=(1，1，1，1，1，1，1，1)，x2=(-1，-1，-1，-1，1，1，1，1)．在考慮n=4時，共有四種互相正交的情況即：(1，1，1，1)，(-1，1，-1，1)，(-1，-1，1，1)，(1，-1，-1，1)分別與x1，x2搭配，可形成8種情況．所以n=8時，A中最多可以有8個元素．…(10分)N=14時，不妨設y1=(1，1…1，1)，(14個1)，y2=(-1，-1…-1，1，1…1)(7個1，

所以任意三個元素都不正交．綜上，n=14時，A中最多可以有2個元素．…(13分)32.給定有窮數(shù)列A：a1、a2、?、an(n≥3，n∈N*)，定義數(shù)列A的絕對差分數(shù)列B：b1、b2、?、bn-1(n≥3，n∈N*)，其中bk=|ak+1-ak|(1≤k≤n-1，k∈N*)．若數(shù)列B是單調不減的，即b1≤b2≤?≤bn-1，則稱數(shù)列A是X數(shù)列．(1)直接寫出下面兩個數(shù)列的絕對差分數(shù)列，并判斷其是否為X數(shù)列：①A1：1、2、4、5；②A2：2、-2、-8、0；(2)已知各項均為整數(shù)的X數(shù)列A：a1、a2、?、a10滿足a1≤a2≤?≤a10，并且其差分數(shù)列是等差數(shù)列，若a1=3，a4=6，求a10的所有可能值；(3)已知X數(shù)列A：a1、a2、?、an是1、2、3、?、n(n≥3，n∈N*)的一個排列，若其差分數(shù)列B：b1、b2、?、bn-1滿足b1+b2+?+bn-1=n+2，求n的所有可能值．【解析】解：(1)①數(shù)列A1的絕對差分數(shù)列為1、2、1，不是X數(shù)列；②數(shù)列A2的絕對差分數(shù)列為4、6、8，是X數(shù)列；(2)設數(shù)列A的絕對差分數(shù)列為B：b1、b2、……、b9，依題意，數(shù)列B為等差數(shù)列，且公差d＞0，又a1≤a2≤?≤a10，則bk=|ak+1-ak|=ak+1-ak≥0，其中1≤k≤9，k∈N?，又數(shù)列A各項均為整數(shù)，則數(shù)列B各項也均為整數(shù)，且a4=a1+b1+b2+b3，所以6=3+3(b1+d)，解得b1+d=1，又b1≥0且b1，d∈Z，則b1=0，d=1或b1=1，d=0，若b1=0，d=1，則a10=a1+b1+b2+……+b9=3+9b5=3+9×4=39；

若n=3，顯然沒有符合上述要求的數(shù)列B；若n=4，顯然沒有符合①③的數(shù)列B，此時數(shù)列數(shù)列A為2、3、1、4或3、2、4、1，均符合題意；若n=5，顯然沒有符合②③的數(shù)列B，此時數(shù)列數(shù)列A為4、3、2、1、5或2、3、4、5、1，均符合題意；若n=6，假設數(shù)列B符合①，此時數(shù)列A的前5項不妨設為a1、a1+1、a1+2、a1+3、a1+4，則最后一項為a1+8或a1，而a1已經排列過，a1+8＞n=6，則此時不存在這樣的數(shù)列A；假設數(shù)列B符合②，此時數(shù)列A的前4項不妨設為a1，a1+1、a1+2、a1+3，若倒數(shù)第二項為a1+1，而a1+1已經排列過，顯然不合題意；若倒數(shù)第二項為a1+5，則最后一項為a1+2(不合題意)或a1+8，而a1+8＞n=6，則此時不存在這樣的數(shù)列A；假設數(shù)列B符合③，此時數(shù)列A的前3項不妨設為a1、a1+1、a1+2，若倒數(shù)第三項為a1，而a1+1已經排列過，顯然不合題意；若倒數(shù)第三項為a1+4，則倒數(shù)第二項為a1+2(不合題意)或a1+6，而a1+6＞n=6，則此時不存在這樣的數(shù)列A；相應地，當n≥7時，均不存在符合題意的數(shù)列A；綜上，n的值為4或5．

N-2)?2+1=2N-3，當且僅當：b2=b3=?=bN-1=2，bN=1，即A：0，2，4，?，2N-4，2N-3時，等號成立，此時存在“強緊數(shù)列”A：0，1，3，?，2N-3，故此情形下，aN的最小值為2N-3；②T1={2，3，?，k}，T2={k+1，k+2，?，N-1}，其中k=2，3，?，N-2．對任意i∈T1，有bi≥2，對任意j∈T2，有bj+1≥2．aN=a1+(b2+b3+?+bk)+bk+1+(bk+2+bk+3?+bN)≥0+(k-1)?2+1+(N-k-1)?2=2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；③T1=?，T2={2，3，?，N-1}．對任意i∈{2，3，?，N-1}，有bi-1≥2，aN=a1+b2+(b3+b4?+bN)≥0+2+(N-2)?2=2N-2＞2N-3．故此情形下，aN的最小值不小于2N-3．綜上，aN的最小值為2N-3．34.已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)對于A=(a1，a2，…，an)∈Sn，B=(b1，b2，…，bn)∈Sn，定義A與B之間的距離：d(A，B)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|．若d(A，B)=1，則稱A，B相關，記為A?B．若Sn中不同的元素A1，A2，…，Am(m≥2)，滿足A2?A3，…，Am-1?Am，Am?A1，則稱A1，A2，…，Am為Sn中的一個閉環(huán)．(Ⅰ)請直接寫出S2中的一個閉環(huán)A1，A2，A3，A4；(Ⅱ)若