高中數(shù)學(xué) 集合的運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)精講及重點(diǎn)題型訓(xùn)練（原卷版）

1.3集合的運(yùn)算

?知識(shí)導(dǎo)圖

二、經(jīng)驗(yàn)分享

【知識(shí)點(diǎn)1、并集】

1.并集的概念

一般地，由屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作

（讀作"A并B"）,即NU5=e或xe5）.用Venn圖表示如圖所示：

由上述圖形可知，無論集合A,B是何種關(guān)系，NU3恒有意義，圖中陰影部分表示并集.

注意：并集概念中的“或”指的是只需滿足其中一個(gè)條件即可，這與生活中的“或”字含義不同.生活中

的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的.

2.并集的性質(zhì)

對(duì)于任意兩個(gè)集合A,8,根據(jù)并集的概念可得:

（1）4口皿8）,BN（/UB）；(2)A\JA=A^

(3)A\J0=A；⑷A\JB=B\JA.

【知識(shí)點(diǎn)2、交集】

1.交集的概念

一般地，由的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集,記作：(讀作“A交

B"),即幺|"|8={x|xe4且xe8}.用Venn圖表示如圖所示:

(1)A與B相交(有公共元素)(2)B，則幺口5=幺(3)A與B相離(幺口5=0)

注意：(1)交集概念中的“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合的交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元

素.(2)定義中的“所有”是指集合4和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.

2.交集的性質(zhì)

(1)(/口8)14(/口8)[8；(2)A^A=A；

(3)ACI0=0；(4)A[\B=B[}A.

【知識(shí)點(diǎn)3、全集與補(bǔ)集】

1.全集的概念

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U,

是相對(duì)于所研究問題而言的一個(gè)相對(duì)概念.學(xué)+科網(wǎng)

說明：“全集”是一個(gè)相對(duì)的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的.例如：我

們常把實(shí)數(shù)集R看作全集，而當(dāng)我們?cè)谡麛?shù)范圍內(nèi)研究問題時(shí)，就把整數(shù)集Z看作全集.

2.補(bǔ)集的概念

對(duì)于一個(gè)集合4由全集U中集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，

簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作6/，即=且天e/}.用Venn圖表示如圖所示：

[UI

A

C必

說明：（1）補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算.求集合人的補(bǔ)集的前提是A是

全集。的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個(gè)

概念.

（2）若xe。，則xe/或xegZ,二者必居其一.

3.全集與補(bǔ)集的性質(zhì)

設(shè)全集為U,集合A是全集。的一個(gè)子集，根據(jù)補(bǔ)集的定義可得：

（1）gU=0;（2）（3）①（偽/）=/;

（4）/u（a/）=°；（5）/n（a/）=o.

@誕題矍

（一）、集合的并集

例1.（1）、（2023春,浙江杭州,高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合/={4,5,6},8={3,5,7},則/口8=（）

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}

（2）,（2022?北京順義?二模）已知集合/=卜卜2Vx<1},3={x|x<0},則.

【變式訓(xùn)練1：】、（2023?上海松江??？寄M預(yù)測(cè)）已知集合力={-1』,3},5={1,3,5）,則Nu2=

【變式訓(xùn)練1-2】、（2022秋?江西景德鎮(zhèn)高一統(tǒng)考期中）集合/={x|0<x<8},2=<xW10），則/=

A.1^1^-<x<sjB.^x|0<x<10j

C.<x<81D.<x<loj

（二）、集合的交集

例2.⑴、（2023春?北京順義,高二牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）已知集合/={1,2,3,4},B={x\x>?},則

/口3=（）

A.0B.{3,4}C.{2,3}D.（2,4）

（2）、（2022秋?山東德州?高一校考階段練習(xí)）已知集合/={無，-2%-3=0},8={無|辦-4=0},若

4CB=B,則實(shí)數(shù)a的所有可能值的集合是

【變式訓(xùn)練2-1】.（2022秋?廣西桂林?高一校考階段練習(xí)）（多選題）若集合/={-1,2,3,4}，8={1,2,3,5},

則（）

A.={2,3}B./U8={Tl,2,3,4,5}

C.A=BD.AC\B=A\JB

［變式訓(xùn)練2-21（2023春廣西南寧高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合/=卜|34x<5},集合3=W4<x<6},

則/n^=（）

A.（3,6）B.[3,6）C.（4,5]D.（4,5）

（三）、集合的補(bǔ)集

例3.⑴、（2022秋?上海靜安,高一校考期中）設(shè)全集U=R,集合/={小-2>0},則.

（2）、（海南省?？谑械?地、瓊中黎族苗族自治縣瓊中中學(xué)等2校2023屆高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題）

設(shè)全集U={xeZ]|x|<3},集合/={x，_x=0},則。/=（）

A.{-2,0,2}B.{-2,2,3}

C.{-2,2}D.{-3,-2,2,3}

【變式訓(xùn)練3-1】、（2022秋?上海楊浦?高一上海市控江中學(xué)?？计谥校┤羧?{0,1,2,3},集合尸={2,3},

則e尸）.

【變式訓(xùn)練3-2】.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合。="|尤eN,且xV5},4={2,4},8={2,3},則

。（48）=（）

A.{1,5}B.{2}C.{0,1,5)D.{3,4}

（四）、集合中的新定義問題

解題技巧：集合中的新定義問題

（1）緊扣“新”定義：分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題

過程之中，這是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在.

（2）把握“新”性質(zhì)：用好集合的性質(zhì)（概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等）是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也

是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

（3）遵守“新”法則：準(zhǔn)確把握新定義的運(yùn)算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

例4.（1）、（2022秋?福建福州?高一福州三中?？计谥校ǘ噙x題）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果a,beG,

則-且6/0時(shí)，feG"時(shí)，我們就稱G是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①0是任何

b

數(shù)域的元素；②若數(shù)域G有非零元素，則2022eG；③集合尸=卜H=2后,左eZ}是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)

集是一個(gè)數(shù)域，⑤無理數(shù)集不是一個(gè)數(shù)域.其中正確的選項(xiàng)有（）

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

（2）、（2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）某城市數(shù)、理、化競(jìng)賽時(shí)，高一某班有26名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,

25名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，23名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，其中參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽的有7名，只參加數(shù)、物

兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名.若該班學(xué)生共有51名，則沒有

參加任何競(jìng)賽的學(xué)生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【變式訓(xùn)練4-1】.（2021秋?上海黃浦?高一上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)校考階段練習(xí)）若三個(gè)非零且互不

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相等的實(shí)數(shù)凡①。滿足一+：=—,則稱4c是調(diào)和的；若滿足a+c=26,則稱。，ac是等差的.已知集合

abc

M={x\-2021<x<2021,xeZ）,集合戶是”的三元子集，即尸={a,6,c}uM.若集合產(chǎn)中元素。也c既是

調(diào)和的，又是等差的，則稱集合尸為"大境集".不同的"大境集"的個(gè)數(shù)為.

【變式訓(xùn)練4-2】.（2022秋,四川成都,高一校聯(lián)考期中）高一某班有學(xué)生46人，其中體育愛好者有40人,

音樂愛好者有38人，還有3人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育也愛好音樂的學(xué)生人數(shù)為

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