【數(shù)學(xué)】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試模擬卷-2023-2024高一下冊(cè)期中模擬卷人教A版

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．測(cè)試范圍：人教A版2019必修第二冊(cè)第6章-第八章8.33．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知單位向量的夾角為，則（

）A． B．0 C．1 D．22．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A． B．2 C． D．3．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則（

）A．2 B． C． D．14．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B． C．4 D．25．已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．在中，是的外心，為的中點(diǎn)，是直線上異于M、O的任意一點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．97．已知復(fù)數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．18．已知邊長(zhǎng)為等邊三角形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，則下列結(jié)論一定正確的為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得09．已知滿足，則（

）A．B．復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．D．的實(shí)部與虛部之積為10．已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長(zhǎng)為，則（

）A．圓錐的母線長(zhǎng)為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得圓臺(tái)的體積為11．梯形中，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則（

）A．B．C．為定值8D．若，則的最小值為三．填空題本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.13．如圖，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6，兩底面半徑分別為2，7，則此圓臺(tái)的表面積為．

14．我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“@未來(lái)坐標(biāo)系”，如圖所示，分別為正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“@未來(lái)坐標(biāo)”，記，已知，分別為向量，的“@未來(lái)坐標(biāo)”，若向量，的“@未來(lái)坐標(biāo)”分別為，，則向量，的夾角的余弦值為.

四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．（13分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）.(1)求m的值；(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16．（15分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．17．（15分）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

(1)若，，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，當(dāng)為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？18．（17分）已知中，所對(duì)的邊分別是，邊上的中線，設(shè)=（，），=（，），且，若動(dòng)點(diǎn)滿足．(1)求角的集合；(2)求的最小值；(3)若，且，為的面積，求的最大值及此時(shí)的值．19．（17分）已知，是平面內(nèi)任意兩個(gè)非零不共線向量，過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn)O作，，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線、為x、y軸的正半軸，建立平面坐標(biāo)系，如左圖.我們把這個(gè)由基底，確定的坐標(biāo)系稱為基底坐標(biāo)系.當(dāng)向量，不垂直時(shí)，坐標(biāo)系就是平面斜坐標(biāo)系，簡(jiǎn)記為.對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，則稱實(shí)數(shù)對(duì)為點(diǎn)Р在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

今有斜坐標(biāo)系（長(zhǎng)度單位為米，如右圖），且，，設(shè)(1)計(jì)算的大小；(2)質(zhì)點(diǎn)甲在上距O點(diǎn)4米的點(diǎn)A處，質(zhì)點(diǎn)乙在Oy上距O點(diǎn)1米的點(diǎn)B處，現(xiàn)在甲沿的方向，乙沿的方向同時(shí)以3米/小時(shí)的速度移動(dòng).①若過(guò)2小時(shí)后質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)C點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)D點(diǎn)，請(qǐng)用，，表示；②若時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)甲到達(dá)M點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)乙到達(dá)N點(diǎn)，求兩質(zhì)點(diǎn)何時(shí)相距最短，并求出最短距離.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律結(jié)合已知條件直接求解即可.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以，故選：A2．C【分析】根據(jù)題意，由斜二測(cè)畫法還原該平面圖形的原圖，計(jì)算可得．【詳解】在直角梯形中，，，則，直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，，所以該平面圖形的高為.故選：C.3．D【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理列出關(guān)于方程，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)?，由余弦定理得，即，可得，解得或（舍去?故選：D.4．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與共軛復(fù)數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】，則，故.故選：B.5．C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，外接球的半徑為，依題意求出、，即可得，最后由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則，解得，可知，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：C.6．B【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】

因?yàn)槭堑耐庑模瑸榈闹悬c(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B7．B【分析】先利用復(fù)數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時(shí)各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到的最大值.【詳解】根據(jù)題意，得，當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)，所以.故選：B.8．B【分析】利用余弦定理求出，從而求出，即可判斷A、B，再由正弦定理判斷C，利用余弦定理求出，，即可判斷D.【詳解】依題意，，，且，由余弦定理，即，解得或，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以，則，所以，，故A錯(cuò)誤，B正確；又，，所以，所以，故C錯(cuò)誤；又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B9．ACD【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)，逐一判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】設(shè)，則由已知得，即，所以解得所以，則，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，的實(shí)部為，虛部為1，所以的實(shí)部與虛部之積為，故C，D項(xiàng)正確.故選：ACD10．ACD【分析】先求出圓錐的母線和底面半徑的長(zhǎng)，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】

對(duì)于A，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，則，故，故A正確.對(duì)于B，圓錐的高為，則，故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，圓錐的體積為，故C正確.對(duì)于D，沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得小圓錐的體積為，故所得圓臺(tái)的體積為，故D正確.故選：ACD.11．AC【分析】由平面向量的線性運(yùn)算即可判斷A，由線段的比值結(jié)合三角形的面積公式即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷C，由平面向量三點(diǎn)共線定理結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷D【詳解】由幾何圖形關(guān)系可得，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛闉槎ㄖ?，故C正確；因?yàn)?，且三點(diǎn)共線，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，根據(jù)投影向量的概念，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，所以，而，則，故，則在方向上的投影向量為，即在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故答案為：13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式和圓的面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意知，圓臺(tái)上底面半徑，下底面半徑，母線長(zhǎng)，由圓臺(tái)表面積公式，可得：．故答案為：.14．【分析】由題意可得，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】依題意，，，所以，，，所以，即向量，的夾角的余弦值為.故答案為：15．(1)；(2)；【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，再利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由已知條件可求得實(shí)數(shù)m的值；（2）利用復(fù)數(shù)的除法求，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）由題意，復(fù)數(shù)，所以，

則，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得；（2）復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，解得16．(1)(2)【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；（2）和中，由余弦定理求出和，得和，進(jìn)而可求四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）在中，，，則，，在中，由正弦定理得，.（2）在和中，由余弦定理得，，得，又，得，則，，四邊形ABCD的面積.17．(1)(2)，【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值.【詳解】（1）由知.因?yàn)?，所以正四棱錐的體積正四棱柱的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積.（2）設(shè)，下部分的側(cè)面積為，則，，，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，，.即當(dāng)為時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是.18．(1)；(2)；(3)時(shí)，取得最大值.【分析】（1）由題意可得，分和分別求解即可；（2）由題意可得三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，于是有，令可得，即可得答案；（3）由題意可得，再由正弦定理及面積公式可得，從而有，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】（1）解：由，得，則，若，則或，求得；若則，求得，所以角的集合為；（2）解：因?yàn)?，又因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，且，所以點(diǎn)在線段上，故，設(shè)則，所以當(dāng)時(shí)取得最小值；（3）解：由（1）的結(jié)論和可得，又，所以由正弦定理得：，所以，于是，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.19．(1)(2)①；②小時(shí)后，兩質(zhì)點(diǎn)相距最短，最短距離為