2023-2024學(xué)年浙江省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)九年級上冊期末經(jīng)典模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.已知命題“關(guān)于X的一元二次方程/+內(nèi)+ι=o必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則能說明該命題是假命題的〃的一個(gè)值可以是

（）

A.1B.2C.3D.4

2.若SinA=CoS8,下列結(jié)論正確的是（）

A.ZA=ZBB.ZA+ZB=90C.ZA+ZB=180D.以上結(jié)論均不正確

3.如圖，在圓心角為45。的扇形內(nèi)有一正方形CDEF,其中點(diǎn)C、D在半徑OA上，點(diǎn)F在半徑OB上，點(diǎn)E在弧AB

上，則扇形與正方形的面積比是（）

A.π:8B.5π:8C.?/?π:4D.石π:4

4.我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔

各幾何.”設(shè)雞X只，兔y只，可列方程組為（）

x+y=35x+y-35x+y=35x+y=35

A.sB.s<

2x+2y=94[4x+2y=944x+4y=942x+4y=94

5.方程f=3X的解是（）

A.X-3B.%=3,Λ,2=0c.玉=?/?,/=OD.X=5/3

6.已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，當(dāng)y>0時(shí)，X的取值范圍是（）

A.-l<x<2B.x>2C.x<-lD.XV-I或x>2

7.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

A'磁B區(qū)13/Q

8.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某新能源汽車4s店的汽車

銷量自2018年起逐月增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店第一季度的汽車銷量就達(dá)244輛，其中1月份銷售汽車64輛.若該店1月

份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為X,則下列方程正確的是（）

A.64（l+x）2=244

B.64(l+2x)=244

C.64+64(l+x)+64(l+x)2=244

D.64+64(l+x)+64(l+2x)=244

9.下列四張撲克牌圖案，屬于中心對稱圖形的是（）

2

10.已知某函數(shù)的圖象P與函數(shù)丫=--的圖象關(guān)于直線x=2對稱,則以下各點(diǎn)一定在圖象尸上的是（）

X

A.（2,-1）B.（1,-2）C.（O,-1）D.（2,-1）

二、填空題（每小題3分,共24分）

11.若二次函數(shù)的圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則稱這樣的二次函數(shù)的圖象為標(biāo)準(zhǔn)拋物線.如圖,

自左至右的一組二次函數(shù)的圖象八，T2,T3……是標(biāo)準(zhǔn)拋物線，且頂點(diǎn)都在直線y=@x上，Tl與X軸交于點(diǎn)4（2,

3

0）,4（42在Al右側(cè)），4與X軸交于點(diǎn)兒,Ai,八與X軸交于點(diǎn)心,A4,....則拋物線7“的函數(shù)表達(dá)式為

12.已知，如圖，AB'C'∕∕BC＞且OA:A'A=4:3,則AABC與是位似圖形，位似比為

13.已知關(guān)于X的方程d+日+3=O的一個(gè)根是1,則k的值為

14.二次函數(shù)y=αχ2+∕fχ+c(“、氏C為常數(shù)且存0)中的X與y的部分對應(yīng)值如下表:

X-2-1012345

y50-3-4-30512

給出了結(jié)論：

(1)二次函數(shù)y=αχ2+∕>χ+c有最小值，最小值為一3；

(2)當(dāng)一LVXV2時(shí)，j<0；

2

(3)二次函數(shù)y=α∕+bχ+c的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在y軸兩側(cè).則其中正確結(jié)論是(填上

正確的序號)

15.若二次函數(shù)y=4Y-法+5(o≠0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,2),則2。一4。+2017的值是.

16.如圖，在QABCD中，AD=7,AB=2√3,ZB=60o.E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開，將AABE沿BC方向平

移到UDCF的位置，得到四邊形AEFD,則四邊形AEFD周長的最小值為.

17.從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度h(米)與小球運(yùn)動時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是h=12t-6t2,則小

球運(yùn)動到的最大高度為米；

18.如圖，在RtZXABC中，NAeB=90。，CO_LA5于點(diǎn)O,如果CD=4,那么AO?8O的值是.

19.(10分)如圖，4ABC的角平分線BD=1,ZABC=120o,NA、NC所對的邊記為a、c.

B

（2）求AABC的面積（用含a,C的式子表示即可）；

（3）求證：a,C之和等于a,C之積.

20.（6分）如圖，在RtaABC中，NACB=90。，NABC=30。，AC=IOcm,P為Be的中點(diǎn)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿

射線PC方向以百cm/s的速度運(yùn)動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

備用圖

（1）當(dāng)t=2?5s時(shí)，判斷直線AB與。P的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）已知。O為RtaABC的外接圓，若。P與。O相切，求t的值.

21.（6分）解不等式組：L,c

5x≤6+3%

22.（8分）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知拋物線y=αr2_40χ+30.

⑴求拋物線的對稱軸；

⑵當(dāng)?！?時(shí)，設(shè)拋物線與X軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè)），頂點(diǎn)為C，若ΔABC為等邊三角形，求。的值；

⑶過T（OJ）（其中一1≤t≤2）且垂直y軸的直線/與拋物線交于M,N兩點(diǎn).若對于滿足條件的任意f值，線段MN的

長都不小于1,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范圍.

y↑

5-

4-

3-

2-

1-

Illll___________Illll.

-5-4-3-2-1O12345x

23.（8分）如圖，C地在8地的正東方向，因有大山阻隔，由8地到C地需繞行A地，已知A地位于3地北偏東53。

方向，距離5地516千米，C地位于A地南偏東45。方向.現(xiàn)打算打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求建成高鐵后

434

從B地前往C地的路程.（結(jié)果精確到1千米）（參考數(shù)據(jù)：sin53。=—,cos53。==，tan53。=-）

553

24.（8分）如圖，已知AABC內(nèi)接于。O,且AB=AC,直徑AD交BC于點(diǎn)E,F是OE上的一點(diǎn)，使CF〃BD.

（2）若BC=8,AD=IO,求四邊形BFCD的面積.

25.（10分）如圖，反比例函數(shù)y=A（x>0）和一次函數(shù)y=∕≡+"的圖象過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）B、P.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）觀察圖象，直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)X的取值范圍是：.

（3）在圖中用直尺和25鉛筆畫出兩個(gè)矩形（不寫畫法），要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件：

①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)O,點(diǎn)產(chǎn)；

②矩形的面積等于k的值.

26.（10分）如圖，在東西方向的海岸線/上有長為300米的碼頭AB,在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東

45。方向上；同一時(shí)刻，在A點(diǎn)正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東22。方向上.

（1）求輪船M到海岸線/的距離；（結(jié)果精確到0.01米）

（2）如果輪船M沿著南偏東30。的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭48靠岸？請說明理由.

(參考數(shù)據(jù)：sin22o≈?0375,cos22o≈0.927,tan22o≈?0.404,G=LL)

ΔR

參考答案

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1、A

【分析】根據(jù)判別式的意義，當(dāng)m=l時(shí)，AVO,從而可判斷原命題為是假命題.

【詳解】，解：Δ=n2-4,

當(dāng)n=l時(shí)，AVO,方程沒有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)n=2時(shí)，△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)n=3時(shí)，△＞（）,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)n=4時(shí)，△＞（）,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng),

結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的

真命題叫做定理.任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命

題，只需舉出一個(gè)反例即可.

2、B

【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系S譏4=COS（90°-A）,得出∕A=90°—/3.

（詳解】VsinA=cos（90°—A）,sinA=CosB,

：.QQP-ZA=ZB,

.?.4+4=90°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握互為余角的正余弦關(guān)系：一個(gè)角的正弦值等于另一個(gè)銳角的余角的余弦值則這

兩個(gè)銳角互余.

3、B

【分析】連接OE,設(shè)正方形的邊長為a.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得OC=CF=a,在直角三角形OFC中，根據(jù)

勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根據(jù)扇形及正方形的面積公式求解.

【詳解】解：連接OE,設(shè)正方形的邊長為a,則正方形CDEF的面積是a?,

2

扇形與正方形的面積比=也;：a2=45"（屈:a=5π:1.

360360

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】等量關(guān)系為：雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35,2x雞的只數(shù)+4x兔的只數(shù)=94,把相關(guān)數(shù)值代入即可得到所求的方程組.

【詳解】解：雞有2只腳，兔有4只腳，

x+y=35

二可列方程組為:<

2x+4y=94

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組.如何列出二元一次方程組的關(guān)鍵點(diǎn)在于從題干中找出等量關(guān)系.

5、B

【分析】用因式分解法求解即可得到結(jié)論.

【詳解】Vx2-3x=0,

Λx(x-3)=0,

貝!]X=O或X-3=0,

解得：玉=3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、

配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解答本題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】根據(jù)已知圖象可以得到圖象與X軸的交點(diǎn)是(-1,0),(2,0),又y>0時(shí)，圖象在X軸的上方，由此可以

求出X的取值范圍.

【詳解】依題意得圖象與X軸的交點(diǎn)是(-b0),(2,0),

當(dāng)y>0時(shí)，圖象在X軸的上方，

此時(shí)XV-I或x>2,

Λx的取值范圍是XV-I或x>2,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與不等式，解答此題的關(guān)鍵是求出圖象與X軸的交點(diǎn)，然后由圖象找出當(dāng)y>0時(shí)，自變量X的范

圍，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

7、B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各圖的性質(zhì)求解.

【詳解】4、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

8、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

G不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了中心對稱圖形的概念.要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

8、C

【分析】設(shè)該店1月份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為X,等量關(guān)系為：1月份的銷售量+1月份的銷售

量X(1+增長率)+1月份的銷售量X(1+增長率)2=第一季度的銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可.

【詳解】設(shè)該店1月份到3月份新能源汽車銷售量的月平均增長率為X,

根據(jù)題意列方程：64+64(l+x)+64(l+x)2=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程.

9、B

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點(diǎn)的求解.

解答：解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、是中心對稱圖形，符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選B.

10、A

2

【分析】分別求出各選項(xiàng)點(diǎn)關(guān)于直線x=2對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)y=—-驗(yàn)證是否在其圖象上，從而得出答案.

X

【詳解】解：A.點(diǎn)（2,-1）關(guān)于χ=2對稱的點(diǎn)為點(diǎn)（2,—1）,

2

而（2,T）在函數(shù)y=--上，

X

，點(diǎn)（2,—1）在圖象P上；

B.點(diǎn)（1,一2）關(guān)于X=2對稱的點(diǎn)為點(diǎn)（3,—2）,

2

而（3,—2）不在函數(shù)丁=一［上，

二點(diǎn)（1,—2）不在圖象P上；

同理可C（O,—1）、D（2,T）不在圖象P上.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)關(guān)于直線的對稱時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線對稱是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分,共24分）

11、y=-盍卜-3χ2%+2"T石

【分析】設(shè)拋物線外，Ti,八…的頂點(diǎn)依次為8ι,Bi,Bi...,連接小Bi,A2Bi,A2B2,AiB2,AiB3,A4B3...,過拋物

線各頂點(diǎn)作X軸的垂線，由A45/2是等邊三角形，結(jié)合頂點(diǎn)都在直線J=IBX上，可以求出與（3,6）,A2（4,0）,

進(jìn)而得到外的表達(dá)式：γ=-√3（%-3）2+√3,同理，依次類推即可得到結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)拋物線Ti,T2,4…的頂點(diǎn)依次為B,B2,Bi...,連接4山”A2Bi,A2B2,A3B2,AiBi,A4B3...,過

拋物線各頂點(diǎn)作X軸的垂線，如圖所示:

???△4BA2是等邊三角形，

o

：.ABiAiA2=M,

?.?頂點(diǎn)都在直線尸乎X上，設(shè)Bl(W!,#〃?)，

/0

J.OCi=m,B?C∣==?m，

：.tanNBQG=蛆=正，

,

?OC13

：?NbIoCl=30。,

：?NOBlAl=30。，

:?OAγ=A?B[=2=A2Bγ9

ΛA1C1=A1B1?cos6O0=l,

o

B1C1=Λ1β1?sin60=√3,

:?OG=OAI+4G==3,

?B1(3,√3),A2(4,0),

設(shè)乃的解析式為：y=<z(x-3)2+√3,

則O=0(2-3)2+√5,

?"?a="V3，

2

：.Ti:y=-√3(χ-3)+√3,

同理，乃的解析式為：??--(x-6)2+2√3,

△的解析式為：?=--(x-12)2+4√3.

4

則T"的解析式為：γ=-^-(χ-3×2,,^l)2+2n^l√3?

,,2,,

故答案為：y=-^r(Λ-3×2-')+2-'√3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形中銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，直線表達(dá)式的應(yīng)用，圖形規(guī)律中類比歸納思想

的應(yīng)用，頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)解析式并求解，掌握二次函數(shù)解析式的求解是解題的關(guān)鍵.

12、M'B'C'7：1

【分析】由平行易得aABCs^AlTC,且兩三角形位似，位似比等于OAOOA.

【詳解】解：VA,B,√AB,B'C'∕∕BC,

Λ?ABC(^?A,B,C,,

AB'_B'0B'C'_OB'

~AB~~B0,~BC~~OB

ZA,B,O=ZABO,NC'B'O=NCBO,

A!B'_B'C'

，NA'B'C'=NABC,

~AB~~BC

Λ?ABC∞?A,B,C,,

Λ?ABC與是位似圖形，

位似比=AB：A,B,=OA:OA'=(1+3)：1=7：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似圖形交于一點(diǎn)的圖形的位似圖形，位似比等于對應(yīng)邊的比.

13、-1

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，把χ=l代入方程/+辰+3=0得關(guān)于攵的方程，然后解關(guān)于2的方程即可.

【詳解】解：把χ=l代入方程/+乙+3=0,

得：l+k+3=0,

解得：k=-l,

故答案為：-L

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

14、(2)(3)

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線χ=l,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解.

【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l,

所以，當(dāng)X=I時(shí)，二次函數(shù)y=aχ2+bx+c有最小值，最小值為-4；故（1）小題錯誤；

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，當(dāng)TVXV3時(shí)，yVO,

所以，-5VxV2時(shí)，yVO正確，故（2）小題正確；

二次函數(shù)y=aχ2+bx+c的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為（T,0）（3,0）,它們分別在y軸兩側(cè)，故（3）小題正

確；

綜上所述，結(jié)論正確的是（2）（3）共2個(gè).

故答案為：（2）（3）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值，拋物線與X軸的交點(diǎn)，仔細(xì)分析表格數(shù)據(jù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15、1

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)>=斯2一版+5（αHO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,2）得到如—4。=3,再整體代值計(jì)算即可.

【詳解】解：；二次函數(shù).丫=曲：2一α+53聲0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,2）,

：.4a-2h+5=2>

.,?2b—4a=3,

.?.2?-4α+2017=3+2017=l,

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用整體代值計(jì)算，此題比較簡單.

16、20

【解析】當(dāng)AELBC時(shí)，四邊形AEFD的周長最小，利用直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】當(dāng)AELBC時(shí)，四邊形AEFD的周長最小，

VAE±BC,AB=2√3?ZB=60o,

ΛAE=3,BE=g,

V?ABE沿BC方向平移到ADCF的位置，

ΛEF=BC=AD=7,

.?.四邊形AEFD周長的最小值為：14+6=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定出當(dāng)AEjLBC時(shí)，四邊形AEFD的周長最小.

17、6

【分析】現(xiàn)將函數(shù)解析式配方得/7=12卜6/=-6?-1)2+6,即可得到答案.

【詳解】h=12t-6t2=-6(t-l)2+6,

.?.當(dāng)t=l時(shí)，h有最大值6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

此題考查最值問題，確定最值時(shí)需現(xiàn)將函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式，再根據(jù)開口方向確定最值.

18、1

【分析】先由角的互余關(guān)系，導(dǎo)出NOcA=N8,結(jié)合NBOC=NCZM=90°,證明45CoS利用相似三角

形的性質(zhì)，列出比例式，變形即可得答案.

【詳解】解：VZACB=90o,COLAB于點(diǎn)O,

：.ZBCD+ZDCA=90°,ZB+ZBCD=90°

.".ZDCA=ZB,

又?.?N3OC=NCDA=90°,

:.4BCDsACAD,

；.BD：CD=CDsAD,

.,.AD?BD=CD2=42=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

三、解答題(共66分)

19、(l)a=2;⑵且c+走。或@"；⑶見解析.

444

【分析】(1)過點(diǎn)A作AELBD于點(diǎn)E,由角平分線定義可得NABE度數(shù)，在RtAABE中，由∕ABE=60°,可

得BE=I,由BE=BD,得點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，從而ADJ_BD,由此得解；

(2)范圍內(nèi)兩種情形：情形1：過點(diǎn)A作AFJ_BD于點(diǎn)過點(diǎn)。作CG_LBD延長線于點(diǎn)G,情形2：過點(diǎn)。作

CHJ_AB于點(diǎn)H交AB的延長線于點(diǎn)H,再由三角形的面積公式計(jì)算即可；

(3)由(2)的結(jié)論即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴過點(diǎn)A作AELBD于點(diǎn)E,

B

VBD平分/ABC,

.?./ABE=-/ABC=60o,

2

在RtΔABE中，∕ABE=60°,BE=Lc=I,

2

?：BE=BD,

??.點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，

二ADLBD,

?e?a=c=2；

⑵情形1：過點(diǎn)A作AFLBD于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作CGLBD延長線于點(diǎn)G,

ΛNABF=NCBG='/ABC=60°.

2

???在RtAABF中，NABF=60。，AF=-c

2

在RtACBG中，∕CBG=60°,CG=-a.

2

?"?SAABc=SAAHD+SABCD=—BDXAFH—BDXCG=——c+---&;

ZΛ∕?DX^ZΔ∕ΛDU4ΛDV-M22Jj

情形2：過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H交AB的延長線于點(diǎn)H,

則/CBH=60°,

在RtBCH中，CH=BC60o60°=-a,

2

于是SAABC=；BAxCH邛ac；

(3)證明：由(2)可得SAABC="c+"a=X3ac,

δabc444

pπ√3√3

444

則a+c=ac

【點(diǎn)睛】

此題主要考查學(xué)生對解直角三角形的理解及運(yùn)用，掌握三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理以及三角形

面積的解答方法是解決此題的關(guān)鍵.

20、(1)相切，證明見解析；(2)t為5瓜或空S

3

【分析】(1)直線AB與。P關(guān)系，要考慮圓心到直線AB的距離與。P的半徑的大小關(guān)系，作PHj_AB于H點(diǎn)，PH

為圓心P到AB的距離，在RtAPHB中，由勾股定理PH,當(dāng)t=2.5s時(shí)，求出PQ的長，比較PH、PQ大小即可，

(2)OP為兩圓的連心線，圓P與圓。內(nèi)切ro-rp=OP,圓。與圓P內(nèi)切，rp-ro=OP即可.

【詳解】(1)直線AB與。P相切.理由：作PH_LAB于H點(diǎn)，

VZACB=90o,NABC=30°,AC=IO,

ΛAB=2AC=20,BC=10√3?

?.?P為BC的中點(diǎn)

.,.BP=5√3

，PH」BP=述，

22

當(dāng)t=2?5s時(shí)，PQ=√3×-=^，

22

ΛPH=PQ=-二直線AB與。P相切，

2

(2)連結(jié)OP,

TO為AB的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，

ΛOP=-^AC=5,

2

Y。。為RtAABC的外接圓，

.?.AB為。O的直徑，

.?.OO的半徑OB=IO,

?.?OP與。o相切，

：.PQ-OB=OP或OB-PQ=OP即√3t-10=5或IO-Gt=5,

,t=56或t=孚，

故當(dāng)t為5百S或竽S時(shí)，OP與。O相切.

與用圖

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓相切時(shí)求運(yùn)動時(shí)間t問題，關(guān)鍵點(diǎn)到直線的距離與半徑是否相等，會求點(diǎn)到直

線的距離，會用t表示半徑與點(diǎn)到直線的距離，抓住兩圓相切分清情況，由圓心在圓O內(nèi)，沒有外切，只有內(nèi)切，要

會分類討論，掌握圓P與圓O內(nèi)切ro-rp=OP,圓O與圓P內(nèi)切，ΓP-ΓO=OP.

21、-2<x≤3

【分析】由題意分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得到不等式組的解集.

x+3>l①

【詳解】解:<

5%≤6+3Λ(2)

由①得X>—2,由②得x≤3,

故不等式組的解集為：-2<x≤3.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答

此題的關(guān)鍵.

4-8

22、(l)x=2;(2)√r3；(3)α≥-ggα≤--.

33

【解析】(1)利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出拋物線的對稱軸；

(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，由(1)可得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用等邊三角形的性

質(zhì)可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值；

(3)分0>0及α<0兩種情況考慮：①當(dāng)α>0時(shí)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于a的一元一次不等

式，解之即可得出a的取值范圍；②當(dāng)α<0時(shí)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于a的一元一次不等式，

解之即可得出a的取值范圍.綜上，此題得解.

【詳解】⑴?.?y=0χ2-40r+3α=α(x-2)--α,

.?.拋物線的對稱軸為直線X=2.

⑵依照題意，畫出圖形，如圖1所示.

當(dāng)>=0時(shí)，0χ2-40χ+3α=0,即α(x—I)(X—3)=O,

解得：Xl=1,%2=3.

由(1)可知，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,一。).

Vα>O,

**?—a<O>

；ΔA3C為等邊三角形，

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,—G),

:?-a=—V3,

?*?a—?/??

⑶分兩種情況考慮，如圖2所示：

①當(dāng)α>0時(shí)，a■一3)4一1，

,4

解得：a≥-i

3

②當(dāng)α<0時(shí)，

Q

解得：a≤——.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的三種形式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)以及解一元一次不等式.

23、建成高鐵后從B地前往C地的路程約為722千米.

【分析】作AOj_BC于O,分別根據(jù)正弦、余弦的定義求出BD、AD,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD的長,

最后計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖：作AZ)_LBC于O,

?ADBD

在RtZ?AO8中，COSZDAB=——,SinNZMB=——，

ABAB

34

.,.AD=AB?cosZDAB=516×-=309.6,BD=AB?sinZDAB=5l6×-=412.8,

55

在RtZkAOC中，NZMC=45。，

：.CD=AD=309.6,

；.BC=BD+CDF22,

答：建成高鐵后從5地前往C地的路程約為722千米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了方向角問題，掌握方向角的概念和熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

24、(1)見解析；(2)四邊形BFCD的面積為1.

【分析】(1)由48=4C可得注3=川C，然后根據(jù)垂徑定理的推論即可證得結(jié)論；

(2)先根據(jù)ASA證得aBEOgZiCER從而可得CF=5,于是可推得四邊形BFCo是平行四邊形，進(jìn)一步即得四

邊形屈FCD是菱形；易證4AECS2?CED,設(shè)OE=X,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于X的方程，解方程即可求出X

的值，再根據(jù)菱形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：?.?A3=AC,.?.若β=4°,

YAE過圓心。，工BE=CE;

(2)解：'：AB=AC,BE=CE,：.ADLBC,ZBAD=ZCAD,：.NBED=NCEF=9Q。,

'：CF/∕BD,：.ZDBE=ZFCE,

：.?BED^ΔCEF(ASA),：.CF=BD,

：.四邊形BFCD是平行四邊形，

?.?4OJ"8C,.?.平行四邊形"CO是菱形;

：.BD=CD,：.BD=CD':?NCAE=NECD,VZAEC=ZCED=90o,