3.4.3第1課時(shí)用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3.4.3第1課時(shí)新授課用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系1.會用向量法求線線角、線面角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角的關(guān)系.在必修課程中，我們學(xué)習(xí)過異面直線所成的角，直線與平面相交所成的角，以及兩個(gè)平面相交所成的二面角.那么，在空間中怎樣描述這些角呢？這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？知識點(diǎn)1：兩條直線所成的角當(dāng)兩條直線平行時(shí)，規(guī)定它們所成的角為0；當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時(shí)，在空間任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線a'和b'，使得a'∥a，b'∥b,當(dāng)兩條直線a與b相交時(shí)，我們把兩條直線交角中范圍在

內(nèi)的角叫作兩條直線所成的角(如圖①)；ab圖①把a(bǔ)'，b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖②).圖②aba'b'O思考1：若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ與兩個(gè)方向向量所成的角〈a，b〉有怎樣的關(guān)系？歸納總結(jié)若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ∈且θ與兩個(gè)方向向量所成的角〈a，b〉相等或互補(bǔ).也就是說，當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，故cosθ＝|cos〈a，b〉|.例1:如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB=2，BC=1，AA'=3.求AC'與A'D所成角的余弦值.解：設(shè)s1，s2分別是AC'和A'D的一個(gè)方向向量，取∵A(0,0,0)，C'(2,1,3)，A'(0,0,3)，D(0,1,0)，設(shè)AC'與A'D所成角為θ，故AC'與A'D所成角的余弦值為則練一練1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，求B1M與D1N所成角的余弦值.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，故AC'與A'D所成角的余弦值為知識點(diǎn)2：直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的投影所成的銳角就是這條直線與這個(gè)平面所成的角.當(dāng)一條直線與一個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定這條直線與這個(gè)平面所成角的大小為0；當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直時(shí)，規(guī)定這條直線與這個(gè)平面所成角的大小為

思考2：觀察如圖直線l的一個(gè)方向向量l與平面α的一個(gè)法向量n兩者的夾角〈l，n〉與直線l和平面α所成的角θ的關(guān)系是什么？歸納總結(jié)設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量，故sinθ＝|cos〈l，n〉|.則直線l與平面α所成的角θ∈且θ=或θ=解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC，AA'所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一個(gè)法向量.由△ABC是邊長為2的正三角形，可得例2:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長為2，AA'=

，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.設(shè)直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角為θ，故直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值為則例2:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長為2，AA'=

，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.歸納總結(jié)利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝練一練解：平面α的一個(gè)法向量n=(2,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a=(1,2,3)，2.若平面α的一個(gè)法向量n=(2,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a=(1,2,3)，則l與α所成角的正弦值為()A.B.