2024年新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題匯編三（含答案）

2024年新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題匯編（三）

題目1（2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（0=*+lnz—az—1有兩個(gè)

e

不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（02）B.（0,1）C.[0,1]D.（一。0，?）

題目囪（2023?廣東廣州*三廣東實(shí)修中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片ABCD沿長(zhǎng)邊AB

所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第二個(gè)平面ABEE,再沿寬邊AR所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第三個(gè)平面

AFGH,則第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是（）

瓜

A/64-V2C—D.

4。22

題目叵〕（2023?廣東廣州遇三廣東實(shí)*中學(xué)?？茧A就練習(xí)）己知所，日為兩個(gè)相互垂直的單位向量，忸=/,

則12由+司+同+4成+2〔3抗+24—司的最小值為（）

A.3V5B.5V5C.6A/5D.75/5

題目4〕（2023?廣東佛山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%，｝的前n項(xiàng)和為S”,且s=2,S：+1-3%,+1=

S.（S“+2?3n），則$2023=（）

題目回（2023?廣東佛山?高三校聯(lián)考階盤練習(xí)）如圖,某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為

O,現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E，且/2/490=2/80,在扇形AOC區(qū)域內(nèi)種植蘆葦，在

扇形。OD區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目，在四邊形ODEB區(qū)域內(nèi)種植荷花，并在湖面修建棧道OE和EB作為觀

光線路.當(dāng)。E+EB最大時(shí)，游客有更美好的觀賞感受，則DE+EB的最大值為（）

A-7B.4C.1D.6

題目叵］(2023?廣東廣州?寄三仲元中學(xué)?？?階就練習(xí))設(shè)a=21nl.01,6=lnl.02,c=H—L貝D

()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

—

題目pZ.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)坪中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知(0,5)，且，^cos2a=sin(a+十)，則sin2a

=()

A.—B.與C.-1D.1

44

題目8(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)壽中學(xué)?？茧A&練習(xí))若實(shí)數(shù)a,bed滿足色泮=卷苔=1,則(a—c)2

+(b—d)2的最小值是()

A.8B.9C.10D.11

題目回(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))已知角a，6€(0,不，且sin(a+￡)+cos(a-6)=0,

sinasin￡—3cosacos￡=0,則tan(a+0)=()

A.-2B.—C.~~D.2

題目Qo(2023?湖南費(fèi)沙?方三長(zhǎng)沙一中?？茧A茂練習(xí))已知數(shù)列；，羊,4,T'T'…，

其中每一項(xiàng)的分子和分母均為正整數(shù).第一項(xiàng)是分子與分母之和為2的有理數(shù);接下來兩項(xiàng)是分子與分母

之和為3的有理數(shù),并且從大到小排列;再接下來的三項(xiàng)是分子與分母之和為4的有理數(shù)，并且從大到小排

列，依次類推.此數(shù)列第n項(xiàng)記為an,則滿足a,=5且沱>20的位的最小值為()

A.47B.48C.57D.58

題目口！(2023?湖南茯沙?方三湖南彈大席申枝才階盤練習(xí))設(shè)函數(shù)((宓)是奇函數(shù)/(aOQWR)的導(dǎo)函數(shù)，

/(—1)=0,當(dāng)⑦>0時(shí)，xf(x')-fix')V0,則使得/(re)V0成立的x的取值范圍是()

A.(—00,—1)U(0,1)B.(—1,0)U(1,4-00)

C.(-oo,-l)U(-1,0)D.(0,1)U(l,+oo)

題目寶(2023?湖南長(zhǎng)沙通三湖南岬大府中校才階段練習(xí))A4BC中，。為47上一點(diǎn)且滿足前=。比,

若P為3。上一點(diǎn)，且滿足不=4荏+〃彩，兒〃為正實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()

A.4〃的最小值為B.Afi的最大值為1

16

C.的最小值為4D.哲+的最大值為16

題目Q3(2023?湖南茯沙?奇三根札中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義域是R的函數(shù)/(0滿足：VrrCR,

/(4+c)+/(—x)=O,f(l+c)為偶函數(shù),/(1)=1,則/(2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

題目口4(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三界禮中學(xué)?？茧A段嫉習(xí))如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路,遇水架

橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之

重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球,中等球與

最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為

2e，則模型中九個(gè)球的表面積和為()

A

A.6兀B.9兀C普D.2171

題目（2023?湖北武漢?高三丈漢市第六中學(xué)校取才階段練習(xí)）己知ABC,。是半徑為何的球體表面上

的四點(diǎn)，4B=2,NACB=90°,乙408=30°,則平面CAB與平面048的夾角的余弦值為（）

A

Bc—D.乎

-4-T3o

22

題目"16（2023.湖北武漢?奇三式漢市第六中學(xué)校取才階段練習(xí)）過雙曲線E：鼻-4=l（a>0,b>0）的左

ab

焦點(diǎn)F作砂+才=/的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T,該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)4,若兩=3而，則雙

曲線E的離心率為（）

A.V3B.V5C.D.

題目（2023?山東?商三校聯(lián)才階段練習(xí)）若/⑸=一三+岫+2+lg（2-|x|）（a€R）是偶函數(shù)，且

/（I—館）</（m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（一弓）B.（y,2）C.（y.+co）D.（-00.y）

a

題目方（2023?山東鵬三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知gQ）=g+a,/㈤=（步二l‘°15'及對(duì)任意刈6[-2,

{-X,—2Wa;VU,

2],存在工26[—2,2],使9（為）=/32）成立，則a的取值范圍是（）

A.[—1,+8）B.T—,11C.（0,1]D.（-8,1]

Lo」

題目19（多選題）（2023?廣東廣州?商三中山大學(xué)府屬中學(xué)?？茧A段嫉習(xí)）已知函數(shù)/3）=4,則下列選項(xiàng)

e

正確的是（）

A.函數(shù)/（①）在/=0處取得極小值0

B.7（e）</（3）

C.若函數(shù)/（⑼Wm在[1,3]上恒成立，則小>斗

e

D.函數(shù)無（0=/（乃--y有三個(gè)零點(diǎn)

題目J0（多選題）（2023?廣東廣州?寄三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（°）=

f2x4-l,x<0,,,°。,A

<J_3_2_,、八，函數(shù)gQ）=[/（力）]~一2時(shí)（n）+m-1,則下列結(jié)論正確的是（）

I~x~XXOQX?o2,Xhu

A.f3）有3個(gè)零點(diǎn)

B.gQ）可能有6個(gè)零點(diǎn)

C.若g（z）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（一8,—2）U[9,+8）

D.若g（c）恰有5個(gè)零點(diǎn)，則zn的取值范圍是（0,2]

題目②（多選題）（2023?廣東廣州?南三廣東實(shí)腌中學(xué)?？茧A盤練習(xí)）如圖，在正方體—

中，43=2,P是正方形ABC。內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在唯一點(diǎn)P,使得RPLBQ

B.存在唯一點(diǎn)P,使得直線。1P與平面ABCD所成的角取到最小值

C.若方聲而，則三棱錐P-3B。外接球的表面積為87r

D.若異面直線DF與4B所成的角為號(hào),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分

題目[22（多電/）（2023?廣東廣州扃三廣東實(shí)0中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（clsinz+ln必將八0的

所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛/｝，對(duì)于正整數(shù)n，則下列說法中正確的有（）

A.（n—l）7r<xn<TITCB.xn+i—xn<兀

｛『｝為遞減數(shù)列（）（4n1）7r

C.出”D.fx2n>-l+ln~

題目”3（多加目）（2023?廣東佛山牌三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖甲，在矩形ABCD中，4B=2,BC=1,E為

AB上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足將&AED沿OE折起后，點(diǎn)A在平面OCBE上的射影R總在棱DC上，

如圖乙，則下列說法正確的有（）

A.翻折后總有

B.當(dāng)ER=J時(shí)，翻折后異面直線AE與3C所成角的余弦值為。

C.當(dāng)EB=g時(shí),翻折后四棱錐A—DCBE的體積為第

，?5u

D.在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為十

題目②（多選題）（2023?廣東廣州?高三仲元中學(xué)校才階段練習(xí)）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-4BQ。中，43=

BC=1,A4=2,M為441的中點(diǎn)，過作長(zhǎng)方體的截面a交棱CG于'，則（）

A.截面a可能為六邊形B.存在點(diǎn)N,使得BN_L截面a

C.若截面a為平行四邊形，則14CN&2D.當(dāng)N與。重合時(shí),截面面積為空

4

題目［25（多出/）（2023?湖南長(zhǎng)沙.高三長(zhǎng)郵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐P-4BCD的底面是梯形,

BCHAD,AB=6C=CD=1,人。=2,24=。。=2,平面04。_1平面4瓦70,O,E分別為線段

AD,PA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是底面48c。內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC±BP

B.三棱錐8—nOE外接球的體積為畢

C.異面直線PC與OE所成角的余弦值為年

4

D.若直線PQ與平面ABCD所成的角為60°,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為瓜K

題目［26（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三長(zhǎng)碑中學(xué)校才階段練習(xí)）己知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足:對(duì)于任

意的⑨gCR,都有/（2+y）=/（x）+/（y）+1,且當(dāng)2>0時(shí)，/（x）>一1,若f（1）=1,則下列說法正確的有

（）

A./（0）=0B./（土）關(guān)于（1,1）對(duì)稱

C./（x）在R上單調(diào)遞增D./（I）+/（2）+…+/（2023）=2023?

題目口7（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?方三長(zhǎng)沙一中?？?階盤練習(xí)）己知圓。4+d=4和圓°：（工一寸+①一

3y=4,P,Q分別是圓。，圓。上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是（）

A.圓。與圓。有四條公切線

B.\PQ\的取值范圍是［3V2-4,3V2+4］

C.劣一y=2是圓。與圓。的一條公切線

D.過點(diǎn)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則存在點(diǎn)Q,使得4MQN=90°

題目［28（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?南三長(zhǎng)沙一中校才階段練習(xí)）己知函數(shù)

0）,若存在直線Z,使得2是曲線y=/Q）與曲線y=gQ）的公切線,則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）

A.JB.JC.2D.3

題目［29（多出/）（2023?湖南長(zhǎng)沙?商三湖南岸大附中校考汾段練習(xí)）己知P是拋物線0^=7的焦點(diǎn)，

力⑶，%）歸（附仍）是，上的兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則（）

A.若BB垂直。的準(zhǔn)線于點(diǎn)E,且［3笈|=2\OF\,則四邊形OFBB的周長(zhǎng)為與土產(chǎn)

B.若|”|=言,則△40尸的面積為］

C.若直線AB過點(diǎn)F,則2g+電的最小值為烏

D.若方則直線恒過定點(diǎn)（］,0）

題目［30（多出一）（2023?湖南長(zhǎng)沙4三湖南屏大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形AR。。中，43=4,3。=2,

E為邊AB的中點(diǎn),沿DE將4ADE折起，點(diǎn)A折至4處（4居平面ABCD）,P,Q分別在線段CE和側(cè)面

AQE上運(yùn)動(dòng)，且PQ=2,若M、N分別為線段4。、PQ的中點(diǎn)，則在△/￡>￡折起過程中，下列說法正確

的是（）

A.ZVliEC面積的最大值為2，

B.存在某個(gè)位置，使得BM_LAQ

C.三棱錐Ai-ED。體積最大時(shí),三棱錐A-EDC的外接球的表面積為167r

D.三棱錐力「即。體積最大時(shí),點(diǎn)N到平面4。。的距離的最小值為22一L

O

題目［H（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈：

空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線;峽谷的上空,橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的

曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣

泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為/Q）=ae工+兒一，（其中a,b是非零常數(shù),無理數(shù)e

=2.71828…），對(duì)于函數(shù)/Q）以下結(jié)論正確的是（）

A.a=b是函數(shù)/（0為偶函數(shù)的充分不必要條件；

B.a+b=0是函數(shù)人①）為奇函數(shù)的充要條件；

C.如果就<0,那么/（2）為單調(diào)函數(shù)；

D.如果曲>0,那么函數(shù)/Q）存在極值點(diǎn).

題目［32（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?方三胞札中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,其前幾項(xiàng)和為

S”,前九項(xiàng)積為北，且滿足條件5>1,a-2022-O2023>1>（?2022—1）,（O2023-1）<0,則下列選項(xiàng)正確的是

（）

A.｛a?｝為遞減數(shù)列B.52022+1V52023

C.為儂是數(shù)列｛7%｝中的最大項(xiàng)D.TiM5>1

題目也（多出■）（2023?湖北人漢?南三丈漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)/Q）=COS2T—cosx+k

—

存在連續(xù)四個(gè)相鄰且依次能構(gòu)成等差數(shù)列的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的可能取值有（）

A.-2B.掾C.0D.4

o2

O國(guó)國(guó)（多選題）（2023?湖北我漢總?cè)錆h市第六中學(xué)校麟考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足ae"=blnb=3,

貝U（）

A.a=\nbB.ab=eC.b—a<e—1D.e+l<a+6<4

題目門5（多選題）（2023?山東?高三校聯(lián)才階及練習(xí)）已知x>0,函數(shù)/Q）=Inrc的圖象記為G,gQ）=1-

工的圖象記為6.則（）

X

A.函數(shù)乃一9（c）只有一個(gè)零點(diǎn)B.G與。2沒有共同的切線

C.當(dāng)。片1時(shí)，曲線G在曲線G的下方D.當(dāng)IV*Ve時(shí)，組%■</（4）

9（/（。））

題目回（2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)府屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法

求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列｛彩｝滿足xn+1=x?-^4（n€N*），則

稱數(shù)列｛與｝為牛頓數(shù)歹U.如果函數(shù)/Q）=工2—工—2,數(shù)列｛g｝為牛頓數(shù)歹U，設(shè)?=ln空）（neN*）且的

=1,數(shù)列｛aj的前九項(xiàng)和為Sn,則SH）=；g=.

題目回（2023?廣東佛山?方三校聯(lián)考■階段練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)

現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值4（入W1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名

字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，X（-2,l）,B（—2,4）,點(diǎn)P是滿足

A=y的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=42上的動(dòng)點(diǎn)，。在y

軸上的射影為則j-\PB\+\PQ\+|QH|的最小值為.

題目^38（2023?湖北武漢?高三式漢市第六中學(xué)校賽才階段練習(xí)）甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲,每次投擲一枚

質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不

大于3,則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4,則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳

給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始

時(shí)，球在甲手中，投擲九次骰子后S€N。,記球在甲手中的概率為Pn,則p3=；Pn=.

題目可（2023?廣東廣州?高三廣東實(shí)收中學(xué)校考階段練習(xí)）若兩個(gè)銳角a,0滿足產(chǎn)與舉丁=

2cosa+sm2a

田，則g（a+2￡+字）=一?

題目［40（2023?廣東廣州高三廣東實(shí)險(xiǎn)中學(xué)校考階盤練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，|力冏=2/。|,A，4

分別為邊AB,CD的中點(diǎn)，M,N分別為線段兒。（不含端點(diǎn)）和上的動(dòng)點(diǎn),滿足=黑1，直線

AXM,AJV的交點(diǎn)為P,已知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為.

?M

題目（2023?廣東佛山?商三?；蚩?階段練習(xí)）在正四棱錐P-ABCD中，已知PA=AB=2,0為底面

4B8的中心，以點(diǎn)O為球心作一個(gè)半徑為2g的球,則平面PCD截該球的截面面積為

題目12（2023?廣東廣州.南三仲元中學(xué)校考階盤嫉習(xí)）己知ae滅,函數(shù)/（x）=卜+?-a|+a在區(qū)間［1,

4］上的最大值是5,則a的取值范圍是

題目［43（2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三關(guān)哪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一半徑為單位長(zhǎng)度的球內(nèi)切于圓錐,則當(dāng)圓

錐的側(cè)面積取到最小值時(shí)，它的高為.

題目［44（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三太娜中學(xué)校才階段練習(xí)）已知雙曲線C：M-g=l（a>0,b>0）的左、右焦

Q~b~

點(diǎn)分別為理E，過雙曲線。上一點(diǎn)P向沙軸作垂線，垂足為Q,若|PQ|=I用引且P片與QE垂直,則雙曲

線。的離心率為.

I題亙區(qū)（2023?湖南長(zhǎng)沙*三長(zhǎng)沙一中?？茧A段嫉習(xí)）如圖,矩形。4BC中，|。4|=3,|。。|=2.M,N分

別為線段04AB上的動(dòng)點(diǎn),且滿足OM=tOA,BN=t后Z點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線CM與CN

交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線X+2T/-10=0的最小距離為.

題目區(qū)（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南”大附中校才院我練習(xí)）已知函數(shù)/（aOnF'-l'工>一1,若avb,

（e,rc<—1

/（a）=/（6）,則實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為.

題目147（2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三湖南”大附中?？茧A盤練習(xí)）在如圖所示的三角形數(shù)陣中，用&表示

第i行第，個(gè)數(shù)（i,*N*）,已知取尸1一責(zé)（iCN*）,且當(dāng)i>3時(shí)，除第i行中的第1個(gè)數(shù)和第i個(gè)數(shù)外海

行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，即可產(chǎn)ai_1,j_1+ai_1J（2V,4i-1）.若%,.2>2023,則正

整數(shù)m的最小值為.

0

2j_

22

33

一I-

44

7777

I448

152172115

-16T2T16

題目［48（2023?湖卡長(zhǎng)沙三界禮中學(xué)校考院段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所

成的角都相等,則平面a截此正方體所得截面面積的最大值為.

題目［49（2023?湖南長(zhǎng)沙?奇三界禮中學(xué)校才防段練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦,每根弦下有一個(gè)雁柱，雁

柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于

。軸，相鄰兩根弦間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=Ll',第九根弦（meN,從左數(shù)首根弦在y軸上,

20

稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線2：y=x+l交于點(diǎn)4（4,外）和B“D，則?"=.

n=0

（參考數(shù)據(jù):取1.嚴(yán)=8.14.）

題目歸0（2023.湖北大漢.高三武漢市第六中學(xué)校暇才階段練習(xí)）若函數(shù)/QXeo+Dlnz—az是（0,+8）

上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的最大值為.

題目回（2023?山東?高三校聯(lián)才階段練習(xí)）/（4）的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使㈤對(duì)一切

實(shí)數(shù)/均成立，則稱/（0為R函數(shù).現(xiàn)給出下列函數(shù)：

①/（力）=2⑦；②/3）="+1；

③/Q）=V2（sinx+cosx）；@f（x）=---x---

x—x+1

⑤/Q）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，月.對(duì)一切g(shù),g均有|/（為）一/（力2）|=2同一村.其中是夕函數(shù)的函

數(shù)序號(hào)是

2024年新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題匯編(三)

題目I(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)府屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=吃+11班一也—1有兩個(gè)

e

不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(02)B.(0,1)C.[0,1]D.(一。0，?)

【答案】A

[解析】由題意得/(I)=+Inx—ax—1=elnx-ax+lnx—ax—l,x>0,

令g?)=e'+￡—1,g'p)=e'+l>0,該函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，且g(0)=0,

故函數(shù)/(c)=+Ina;—ax-1.有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即力=\nx-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

e

令￡=Inx—ax=0,(x>0)即直線“=a與h(x)=上",(?>0)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

x

又成力)=-——野四，當(dāng)0VcVe時(shí)，h!(x)>0,h(rr)遞增，當(dāng)/>e時(shí)，h\x)<0,/i(x)遞減，

則九3)max=當(dāng)-0時(shí)，九3)=->—00,

ex

作出其圖象如圖：

由圖象可知直線y=a與h[x)=上史■,(□?>0)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需有a6(0,—),

故選：4.

題目⑶(2023?廣東廣州?高三廣東實(shí)心中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片力BCO沿長(zhǎng)邊

所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第二個(gè)平面ABEF,再沿寬邊4R所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第三個(gè)平面

HRGH,則第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是()

【答案】。

【解析】如圖，把兩個(gè)單位正方體疊放在一起,???

平面AAG",平面ABCR),平面分別代表第一，二，三個(gè)平面，

?.?四邊形為正方形，。。民J_

B2C2C0B0BOC2,

GA-L平面B2c夕忠0,GBzU平面ByCiCnBn,C2D2±C“B?,

?：BnC,C\C2D2-G,B?C,,C2D2CI平面A^CiD-,,：.C島J_平面A?B?C2D-2-,

同理可得：GA_L平面4AGR)；

平面AnBaC2D.2的法向量為QA,平面4百GA的法向量為明,

C“D產(chǎn)C?B>—V2,B?Di=Vl2+l2+22=V6,

AcosNBGD產(chǎn)二6=_[/星?！惝a(chǎn)冬，即亞與森的夾角為冬，

2xV2xV2233

所求銳二面角的大小的余弦值是。

故選：C.

題目7(2023?廣東廣州局三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段舔習(xí))己知力，方為兩個(gè)相互垂直的單位向量，忸=/,

則12抗+司+h+4芬|+213沆+24一目的最小值為()

A.3y/5B.5V5C.6V5D.75/5

【答案】B

【解析】因由，而為兩個(gè)相互垂直的單位向量，不妨設(shè)亦=(1,0),而=(0,1),

因|司=[，可設(shè)下=QM，其中x2+y2=-y,

124

則2m+n=(2,1),m+4p=(4a;4-1,4g),3m+2n—p=(3—x,2—y),

|2m+n|=V22+l2=V5,

\m4-4p|=V(4a;4-1)2+(47/)2=J16/+8N+1+16g2=y/4x2+4y2+8x+4=2,(a+1)2+=,

213m+2n-p|=2^/(x-3)24-(7/—2)2,

設(shè)&=J(N+1)?+才,ct2=，(力-3/+(g-2y,

0'J|2m+n|+|m4-4p|+213沆+2n—p|=V5+2(4+咐,

其中4表示點(diǎn)Q,g)與點(diǎn)(一1,0)的距離,4表示點(diǎn)(①形)與點(diǎn)(3,2)的距離,

如圖

2

設(shè)點(diǎn)（一1,0）與點(diǎn)（3,2）所在的直線為則其方程為：得二=;二，即y=＜3+1）,

x=

聯(lián)立。/+才，=1;，得（|x=0）或＜~~5

匕=01x--^-,------------_

即當(dāng)＜_1或《3，時(shí)，&+d2取的最小值5（-1-3）2+（0-2）2=2%,

ly=2ly=w

所以\2m+n|+|m+4p|+2卜沆+2n-p|=V5+2（4+（4）的最小值為575,

故選：B

題目1）（2023?廣東佛山?南三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”,且5=2,S3-3%“+產(chǎn)

)

Sn(S”+2W),則$2。23=

口32023-1C32023+1D32期+1

A.32儂—1。2

【答案】。

【解析】由題設(shè)S3-3”(SN+LS“)=S”(S“+2-3”),則S1+i-Si=3"(Sn+1+S?),

n

又｛%｝都為正項(xiàng)，則Sn>0,故Sn+1-Sn=3,

所以S2023—S2022+-?+S3—S2+S2—S]=321,22+...4-32+3=—―---

1—3

q2023_qq2023I1

所以S2023-S1=S2023-2—-,故*S，2023==2,

故選：。

題目51（2023?廣東佛山病三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖,某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為

O,現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E,且NDOE=2乙40。=2NCOD,在扇形4OC區(qū)域內(nèi)種植蘆葦，在

扇形。OO區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目，在四邊形。DE3區(qū)域內(nèi)種植荷花，并在湖面修建棧道OE和作為觀

光線路.當(dāng)DE+EB最大時(shí)，游客有更美好的觀賞感受，則OE+E3的最大值為（）

QQ

A.4B.4C.3D.6

42

【答案】。

【解析】設(shè)Z.AOC=a，則Z.DOE=2a,/COD=a^BOE=兀-4a,

0V4。V兀,0VaVV2aVT■，則sina、cos2a為正數(shù).

42

在三角形ODE中，連接DE,由余弦定理得：0E=j4+4-2x2x2xcos2a=，8—8cos2a=V16sin2a

=4sina,

在三角形BOE中，由余弦定理得：

EB=J4+4—2x2x2xcos(7：—4a)=，8+8cos4a=V16cos22a=4CQS2a=4(1—2sin%),

所以DE+EB=Asina+4(1—2sin%)=-8sin2tr+4sina+4,

由于sinaE(0,—^),所以當(dāng)sina=--------=時(shí)，OE+EB取得最大值，

v2f2X(-8)4

也即sin/A9C=《時(shí)，DE+EB取得最大值為一8xC『+4x《+4=叁

4,4，42

題目叵(2023.廣東廣州通三伸元中學(xué)校才階代練習(xí))設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=STUI-l.則

()

A.a<6<cB.b<c<aC.b<.a<.cD.c<a<6

【答案】8

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以bVQ;

下面比較c與a,b的大小關(guān)系.

記/(c)=21n(l+⑼-，l+4r+1,則/(0)=0,f(x)=一下:廣=,

1+cVI+(1+x)Vl+4x

由于1+42-(1+w)2=2x-x2=x(2—x)

所以當(dāng)0<a：<2時(shí)，1+4,一(1+工)2>0,即^^>(1+劣)j(乃>o,

所以/(工)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即ZlnLOlAjTUI-lMlJaAc;

令g(x)=ln(l+2x)--1+4。+1,則g(0)=0,g(x)=---,

1+2，Vl+4x(l+x)vl+4x

由于1+4rr—(1+2:r)2=—4步,在工>0時(shí)，1+4z—(1+2a;)2<0,

所以g'Q)<0,即函數(shù)g(x)在［0,+00)上單調(diào)遞減,所以5(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<VL04-1,即bV

綜上，b<c<a,

故選：3.

［方法二］:

令/(re)-ln()-x-l(x>1)

/(x)=一包=丫<0,即函數(shù)/(⑼在(1,+oo)上單調(diào)遞減

x4-1???

/(Vl+0.04)<f(l)=0,??.bVc

令gQ)=21n(丁丁)—l(l<rr<3)

(x—1)(3—x)

。'㈤=>0,即函數(shù)gQ）在（1,3）上單調(diào)遞增

"+3

g?\+0.04)〈g(l)=0,/.a)c

綜上，b<c<a,

故選：B.

題目工（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)理中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a6（0號(hào)），且在os2a=sin（a+于），則sin2a

=（）

A.-4B.4C.-1D.1

44

【答案】8

【解析】:，^cos2a=sin(a+，

*.*V2(cos2a—sin2a)=~^(sina+cosa),

(cosa+sina)(cosa-sina--y=0,

又(0奇)，則sina>0,cosa>0,即cosa+sina>0

所以cosa—sina=,

因?yàn)閍E(0,*),所以2a€(0㈤，sin2a>0.

由cosa—sina=4平方可得1—sin2a=4，即sin2a="4?，符合題意.

244

綜上，sin2a=-y.

4

故選：3.

題目8（2023?湖南長(zhǎng)沙?甫三長(zhǎng)哪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a,bed滿足七/二號(hào)=1,則（a—c）2

0Cl—1

+（b—d）2的最小值是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】/

【解析】由°二"=1,得b=a-2ert,令f（x）=x—2e*,則/（x）=1—2e”,

0

令f⑸=0#sc=—ln2,當(dāng)x>—ln2時(shí),/Q）V0J（①）單調(diào)遞減,當(dāng)x<—ln2時(shí)，/'（力）>0,/（x）單調(diào)遞

增；

由:一f=1,得d=-c+2,令g（力）=-x+2,

/⑺,gQ）的圖像如下圖:

???

則(Q—c)2+(b—d)2表示夕=/(C)上一點(diǎn)A/(a,b)與n=g(i)上一點(diǎn)N(c,d)的距離的平方，

顯然，當(dāng)過“點(diǎn)的/(⑼的切線與g(x)平行時(shí)，最小，

設(shè)y=/(①)上與y=g(i)平行的切線的切點(diǎn)為伏))，由f(g)=1-26°=-1,解得g=0,

所以切點(diǎn)為％(0,—2),切點(diǎn)到g=gQ)的距離的平方為L(zhǎng))=8,

\VI+1)

即(a-c>+(b—d)2的最小值為8;

故選：A

題目叵(2023?湖南出沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A盤練習(xí))已知角a，BG(0,兀),且sin(a+￡)+cos(a—￡)=0,

sinasin"-3cosacos￡=0,則tan(a+0)=()

A.-2B.—C.~~D.2

【答案】。

【解析】由sin(a+6)+cos(a-0)=0,可得sinacos￡+cosasinf+cosacos^+sinasin￡=0,即

sinacos￡+cosasin^_】

cosacos0+sinasin/3

故tan°+tan%=_1又sinasin0—3cosacos0=0,故sinasin/3=3cosacosg,

1+tanatanp

tana+tan￡

即tanatan0=3,代入=-1可得tana+tan^=-4.

1+tantztan/?

,,小tana+tan6

故tan(za+S)=----------2