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2024年新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題匯編(三)
題目1(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(0=*+lnz—az—1有兩個(gè)
e
不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(02)B.(0,1)C.[0,1]D.(一。0,?)
題目囪(2023?廣東廣州*三廣東實(shí)修中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片ABCD沿長(zhǎng)邊AB
所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第二個(gè)平面ABEE,再沿寬邊AR所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到第三個(gè)平面
AFGH,則第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是()
瓜
A/64-V2C—D.
4。22
題目叵〕(2023?廣東廣州遇三廣東實(shí)*中學(xué)??茧A就練習(xí))己知所,日為兩個(gè)相互垂直的單位向量,忸=/,
則12由+司+同+4成+2〔3抗+24—司的最小值為()
A.3V5B.5V5C.6A/5D.75/5
題目4〕(2023?廣東佛山?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列{%,}的前n項(xiàng)和為S”,且s=2,S:+1-3%,+1=
S.(S“+2?3n),則$2023=()
題目回(2023?廣東佛山?高三校聯(lián)考階盤練習(xí))如圖,某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面,其圓心為
O,現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E,且/2/490=2/80,在扇形AOC區(qū)域內(nèi)種植蘆葦,在
扇形。OD區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目,在四邊形ODEB區(qū)域內(nèi)種植荷花,并在湖面修建棧道OE和EB作為觀
光線路.當(dāng)。E+EB最大時(shí),游客有更美好的觀賞感受,則DE+EB的最大值為()
A-7B.4C.1D.6
題目叵](2023?廣東廣州?寄三仲元中學(xué)???階就練習(xí))設(shè)a=21nl.01,6=lnl.02,c=H—L貝D
()
A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b
—
題目pZ.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)坪中學(xué)??茧A段練習(xí))已知(0,5),且,^cos2a=sin(a+十),則sin2a
=()
A.—B.與C.-1D.1
44
題目8(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)壽中學(xué)??茧A&練習(xí))若實(shí)數(shù)a,bed滿足色泮=卷苔=1,則(a—c)2
+(b—d)2的最小值是()
A.8B.9C.10D.11
題目回(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí))已知角a,6€(0,不,且sin(a+£)+cos(a-6)=0,
sinasin£—3cosacos£=0,則tan(a+0)=()
A.-2B.—C.~~D.2
題目Qo(2023?湖南費(fèi)沙?方三長(zhǎng)沙一中??茧A茂練習(xí))已知數(shù)列;,羊,4,T'T'…,
其中每一項(xiàng)的分子和分母均為正整數(shù).第一項(xiàng)是分子與分母之和為2的有理數(shù);接下來兩項(xiàng)是分子與分母
之和為3的有理數(shù),并且從大到小排列;再接下來的三項(xiàng)是分子與分母之和為4的有理數(shù),并且從大到小排
列,依次類推.此數(shù)列第n項(xiàng)記為an,則滿足a,=5且沱>20的位的最小值為()
A.47B.48C.57D.58
題目口!(2023?湖南茯沙?方三湖南彈大席申枝才階盤練習(xí))設(shè)函數(shù)((宓)是奇函數(shù)/(aOQWR)的導(dǎo)函數(shù),
/(—1)=0,當(dāng)⑦>0時(shí),xf(x')-fix')V0,則使得/(re)V0成立的x的取值范圍是()
A.(—00,—1)U(0,1)B.(—1,0)U(1,4-00)
C.(-oo,-l)U(-1,0)D.(0,1)U(l,+oo)
題目寶(2023?湖南長(zhǎng)沙通三湖南岬大府中校才階段練習(xí))A4BC中,。為47上一點(diǎn)且滿足前=。比,
若P為3。上一點(diǎn),且滿足不=4荏+〃彩,兒〃為正實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()
A.4〃的最小值為B.Afi的最大值為1
16
C.的最小值為4D.哲+的最大值為16
題目Q3(2023?湖南茯沙?奇三根札中學(xué)??茧A段練習(xí))已知定義域是R的函數(shù)/(0滿足:VrrCR,
/(4+c)+/(—x)=O,f(l+c)為偶函數(shù),/(1)=1,則/(2023)=()
A.1B.-1C.2D.-3
題目口4(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三界禮中學(xué)??茧A段嫉習(xí))如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔,可謂是逢山開路,遇水架
橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之
重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型,中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球,中等球與
最大球和正四面體三個(gè)面均相切,最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切,已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為
2e,則模型中九個(gè)球的表面積和為()
A
A.6兀B.9兀C普D.2171
題目(2023?湖北武漢?高三丈漢市第六中學(xué)校取才階段練習(xí))己知ABC,。是半徑為何的球體表面上
的四點(diǎn),4B=2,NACB=90°,乙408=30°,則平面CAB與平面048的夾角的余弦值為()
A
Bc—D.乎
-4-T3o
22
題目"16(2023.湖北武漢?奇三式漢市第六中學(xué)校取才階段練習(xí))過雙曲線E:鼻-4=l(a>0,b>0)的左
ab
焦點(diǎn)F作砂+才=/的一條切線,設(shè)切點(diǎn)為T,該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)4,若兩=3而,則雙
曲線E的離心率為()
A.V3B.V5C.D.
題目(2023?山東?商三校聯(lián)才階段練習(xí))若/⑸=一三+岫+2+lg(2-|x|)(a€R)是偶函數(shù),且
/(I—館)</(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.(一弓)B.(y,2)C.(y.+co)D.(-00.y)
a
題目方(2023?山東鵬三校聯(lián)考階段練習(xí))已知gQ)=g+a,/㈤=(步二l‘°15'及對(duì)任意刈6[-2,
{-X,—2Wa;VU,
2],存在工26[—2,2],使9(為)=/32)成立,則a的取值范圍是()
A.[—1,+8)B.T—,11C.(0,1]D.(-8,1]
Lo」
題目19(多選題)(2023?廣東廣州?商三中山大學(xué)府屬中學(xué)??茧A段嫉習(xí))已知函數(shù)/3)=4,則下列選項(xiàng)
e
正確的是()
A.函數(shù)/(①)在/=0處取得極小值0
B.7(e)</(3)
C.若函數(shù)/(⑼Wm在[1,3]上恒成立,則小>斗
e
D.函數(shù)無(0=/(乃--y有三個(gè)零點(diǎn)
題目J0(多選題)(2023?廣東廣州?寄三中山大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(°)=
f2x4-l,x<0,,,°。,A
<J_3_2_,、八,函數(shù)gQ)=[/(力)]~一2時(shí)(n)+m-1,則下列結(jié)論正確的是()
I~x~XXOQX?o2,Xhu
A.f3)有3個(gè)零點(diǎn)
B.gQ)可能有6個(gè)零點(diǎn)
C.若g(z)恰有2個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是(一8,—2)U[9,+8)
D.若g(c)恰有5個(gè)零點(diǎn),則zn的取值范圍是(0,2]
題目②(多選題)(2023?廣東廣州?南三廣東實(shí)腌中學(xué)??茧A盤練習(xí))如圖,在正方體—
中,43=2,P是正方形ABC。內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則()
A.存在唯一點(diǎn)P,使得RPLBQ
B.存在唯一點(diǎn)P,使得直線。1P與平面ABCD所成的角取到最小值
C.若方聲而,則三棱錐P-3B。外接球的表面積為87r
D.若異面直線DF與4B所成的角為號(hào),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分
題目[22(多電/)(2023?廣東廣州扃三廣東實(shí)0中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(clsinz+ln必將八0的
所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列,得到數(shù)列{/},對(duì)于正整數(shù)n,則下列說法中正確的有()
A.(n—l)7r<xn<TITCB.xn+i—xn<兀
{『}為遞減數(shù)列()(4n1)7r
C.出”D.fx2n>-l+ln~
題目”3(多加目)(2023?廣東佛山牌三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖甲,在矩形ABCD中,4B=2,BC=1,E為
AB上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且滿足將&AED沿OE折起后,點(diǎn)A在平面OCBE上的射影R總在棱DC上,
如圖乙,則下列說法正確的有()
A.翻折后總有
B.當(dāng)ER=J時(shí),翻折后異面直線AE與3C所成角的余弦值為。
C.當(dāng)EB=g時(shí),翻折后四棱錐A—DCBE的體積為第
,?5u
D.在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為十
題目②(多選題)(2023?廣東廣州?高三仲元中學(xué)校才階段練習(xí))如圖,長(zhǎng)方體ABCD-4BQ。中,43=
BC=1,A4=2,M為441的中點(diǎn),過作長(zhǎng)方體的截面a交棱CG于',則()
A.截面a可能為六邊形B.存在點(diǎn)N,使得BN_L截面a
C.若截面a為平行四邊形,則14CN&2D.當(dāng)N與。重合時(shí),截面面積為空
4
題目[25(多出/)(2023?湖南長(zhǎng)沙.高三長(zhǎng)郵中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,四棱錐P-4BCD的底面是梯形,
BCHAD,AB=6C=CD=1,人。=2,24=。。=2,平面04。_1平面4瓦70,O,E分別為線段
AD,PA的中點(diǎn),點(diǎn)Q是底面48c。內(nèi)(包括邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()
A.AC±BP
B.三棱錐8—nOE外接球的體積為畢
C.異面直線PC與OE所成角的余弦值為年
4
D.若直線PQ與平面ABCD所成的角為60°,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為瓜K
題目[26(多選題)(2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三長(zhǎng)碑中學(xué)校才階段練習(xí))己知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足:對(duì)于任
意的⑨gCR,都有/(2+y)=/(x)+/(y)+1,且當(dāng)2>0時(shí),/(x)>一1,若f(1)=1,則下列說法正確的有
()
A./(0)=0B./(土)關(guān)于(1,1)對(duì)稱
C./(x)在R上單調(diào)遞增D./(I)+/(2)+…+/(2023)=2023?
題目口7(多選題)(2023?湖南長(zhǎng)沙?方三長(zhǎng)沙一中???階盤練習(xí))己知圓。4+d=4和圓°:(工一寸+①一
3y=4,P,Q分別是圓。,圓。上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是()
A.圓。與圓。有四條公切線
B.\PQ\的取值范圍是[3V2-4,3V2+4]
C.劣一y=2是圓。與圓。的一條公切線
D.過點(diǎn)Q作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,則存在點(diǎn)Q,使得4MQN=90°
題目[28(多選題)(2023?湖南長(zhǎng)沙?南三長(zhǎng)沙一中校才階段練習(xí))己知函數(shù)
0),若存在直線Z,使得2是曲線y=/Q)與曲線y=gQ)的公切線,則實(shí)數(shù)a的取值可能是()
A.JB.JC.2D.3
題目[29(多出/)(2023?湖南長(zhǎng)沙?商三湖南岸大附中校考汾段練習(xí))己知P是拋物線0^=7的焦點(diǎn),
力⑶,%)歸(附仍)是,上的兩點(diǎn),。為原點(diǎn),則()
A.若BB垂直。的準(zhǔn)線于點(diǎn)E,且[3笈|=2\OF\,則四邊形OFBB的周長(zhǎng)為與土產(chǎn)
B.若|”|=言,則△40尸的面積為]
C.若直線AB過點(diǎn)F,則2g+電的最小值為烏
D.若方則直線恒過定點(diǎn)(],0)
題目[30(多出一)(2023?湖南長(zhǎng)沙4三湖南屏大附中??茧A段練習(xí))如圖,矩形AR。。中,43=4,3。=2,
E為邊AB的中點(diǎn),沿DE將4ADE折起,點(diǎn)A折至4處(4居平面ABCD),P,Q分別在線段CE和側(cè)面
AQE上運(yùn)動(dòng),且PQ=2,若M、N分別為線段4。、PQ的中點(diǎn),則在△/£>£折起過程中,下列說法正確
的是()
A.ZVliEC面積的最大值為2,
B.存在某個(gè)位置,使得BM_LAQ
C.三棱錐Ai-ED。體積最大時(shí),三棱錐A-EDC的外接球的表面積為167r
D.三棱錐力「即。體積最大時(shí),點(diǎn)N到平面4。。的距離的最小值為22一L
O
題目[H(多選題)(2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三雅禮中學(xué)??茧A段練習(xí))同學(xué)們,你們是否注意到,自然下垂的鐵鏈:
空曠的田野上,兩根電線桿之間的電線;峽谷的上空,橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的
曲線形態(tài).事實(shí)上,這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣
泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,這類函數(shù)的表達(dá)式可以為/Q)=ae工+兒一,(其中a,b是非零常數(shù),無理數(shù)e
=2.71828…),對(duì)于函數(shù)/Q)以下結(jié)論正確的是()
A.a=b是函數(shù)/(0為偶函數(shù)的充分不必要條件;
B.a+b=0是函數(shù)人①)為奇函數(shù)的充要條件;
C.如果就<0,那么/(2)為單調(diào)函數(shù);
D.如果曲>0,那么函數(shù)/Q)存在極值點(diǎn).
題目[32(多選題)(2023?湖南長(zhǎng)沙?方三胞札中學(xué)??茧A段練習(xí))設(shè)等比數(shù)列{斯}的公比為q,其前幾項(xiàng)和為
S”,前九項(xiàng)積為北,且滿足條件5>1,a-2022-O2023>1>(?2022—1),(O2023-1)<0,則下列選項(xiàng)正確的是
()
A.{a?}為遞減數(shù)列B.52022+1V52023
C.為儂是數(shù)列{7%}中的最大項(xiàng)D.TiM5>1
題目也(多出■)(2023?湖北人漢?南三丈漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))若函數(shù)/Q)=COS2T—cosx+k
—
存在連續(xù)四個(gè)相鄰且依次能構(gòu)成等差數(shù)列的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的可能取值有()
A.-2B.掾C.0D.4
o2
O國(guó)國(guó)(多選題)(2023?湖北我漢總?cè)錆h市第六中學(xué)校麟考階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b滿足ae"=blnb=3,
貝U()
A.a=\nbB.ab=eC.b—a<e—1D.e+l<a+6<4
題目門5(多選題)(2023?山東?高三校聯(lián)才階及練習(xí))已知x>0,函數(shù)/Q)=Inrc的圖象記為G,gQ)=1-
工的圖象記為6.則()
X
A.函數(shù)乃一9(c)只有一個(gè)零點(diǎn)B.G與。2沒有共同的切線
C.當(dāng)。片1時(shí),曲線G在曲線G的下方D.當(dāng)IV*Ve時(shí),組%■</(4)
9(/(。))
題目回(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)府屬中學(xué)??茧A段練習(xí))英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法
求函數(shù)零點(diǎn)時(shí),給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列{彩}滿足xn+1=x?-^4(n€N*),則
稱數(shù)列{與}為牛頓數(shù)歹U.如果函數(shù)/Q)=工2—工—2,數(shù)列{g}為牛頓數(shù)歹U,設(shè)?=ln空)(neN*)且的
=1,數(shù)列{aj的前九項(xiàng)和為Sn,則SH)=;g=.
題目回(2023?廣東佛山?方三校聯(lián)考■階段練習(xí))希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)
現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值4(入W1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來,人們將這個(gè)圓以他的名
字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中,X(-2,l),B(—2,4),點(diǎn)P是滿足
A=y的阿氏圓上的任一點(diǎn),則該阿氏圓的方程為;若點(diǎn)Q為拋物線E:y2=42上的動(dòng)點(diǎn),。在y
軸上的射影為則j-\PB\+\PQ\+|QH|的最小值為.
題目^38(2023?湖北武漢?高三式漢市第六中學(xué)校賽才階段練習(xí))甲,乙,丙三人進(jìn)行傳球游戲,每次投擲一枚
質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:當(dāng)球在甲手中時(shí),若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙,若點(diǎn)數(shù)不
大于3,則甲將球保留;當(dāng)球在乙手中時(shí),若骰子點(diǎn)數(shù)大于4,則乙將球傳給甲,若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳
給丙;當(dāng)球在丙手中時(shí),若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球傳給甲,若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始
時(shí),球在甲手中,投擲九次骰子后S€N。,記球在甲手中的概率為Pn,則p3=;Pn=.
題目可(2023?廣東廣州?高三廣東實(shí)收中學(xué)校考階段練習(xí))若兩個(gè)銳角a,0滿足產(chǎn)與舉丁=
2cosa+sm2a
田,則g(a+2£+字)=一?
題目[40(2023?廣東廣州高三廣東實(shí)險(xiǎn)中學(xué)校考階盤練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,|力冏=2/。|,A,4
分別為邊AB,CD的中點(diǎn),M,N分別為線段兒。(不含端點(diǎn))和上的動(dòng)點(diǎn),滿足=黑1,直線
AXM,AJV的交點(diǎn)為P,已知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分,則該雙曲線的離心率為.
?M
題目(2023?廣東佛山?商三?;蚩?階段練習(xí))在正四棱錐P-ABCD中,已知PA=AB=2,0為底面
4B8的中心,以點(diǎn)O為球心作一個(gè)半徑為2g的球,則平面PCD截該球的截面面積為
題目12(2023?廣東廣州.南三仲元中學(xué)校考階盤嫉習(xí))己知ae滅,函數(shù)/(x)=卜+?-a|+a在區(qū)間[1,
4]上的最大值是5,則a的取值范圍是
題目[43(2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三關(guān)哪中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,有一半徑為單位長(zhǎng)度的球內(nèi)切于圓錐,則當(dāng)圓
錐的側(cè)面積取到最小值時(shí),它的高為.
題目[44(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三太娜中學(xué)校才階段練習(xí))已知雙曲線C:M-g=l(a>0,b>0)的左、右焦
Q~b~
點(diǎn)分別為理E,過雙曲線。上一點(diǎn)P向沙軸作垂線,垂足為Q,若|PQ|=I用引且P片與QE垂直,則雙曲
線。的離心率為.
I題亙區(qū)(2023?湖南長(zhǎng)沙*三長(zhǎng)沙一中??茧A段嫉習(xí))如圖,矩形。4BC中,|。4|=3,|。。|=2.M,N分
別為線段04AB上的動(dòng)點(diǎn),且滿足OM=tOA,BN=t后Z點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線CM與CN
交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線X+2T/-10=0的最小距離為.
題目區(qū)(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南”大附中校才院我練習(xí))已知函數(shù)/(aOnF'-l'工>一1,若avb,
(e,rc<—1
/(a)=/(6),則實(shí)數(shù)a-2b的取值范圍為.
題目147(2023?湖南長(zhǎng)沙?玄三湖南”大附中??茧A盤練習(xí))在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用&表示
第i行第,個(gè)數(shù)(i,*N*),已知取尸1一責(zé)(iCN*),且當(dāng)i>3時(shí),除第i行中的第1個(gè)數(shù)和第i個(gè)數(shù)外海
行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和,即可產(chǎn)ai_1,j_1+ai_1J(2V,4i-1).若%,.2>2023,則正
整數(shù)m的最小值為.
0
2j_
22
33
一I-
44
7777
I448
152172115
-16T2T16
題目[48(2023?湖卡長(zhǎng)沙三界禮中學(xué)校考院段練習(xí))已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所
成的角都相等,則平面a截此正方體所得截面面積的最大值為.
題目[49(2023?湖南長(zhǎng)沙?奇三界禮中學(xué)校才防段練習(xí))如圖1所示,古箏有多根弦,每根弦下有一個(gè)雁柱,雁
柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中,每根弦都垂直于
。軸,相鄰兩根弦間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=Ll',第九根弦(meN,從左數(shù)首根弦在y軸上,
20
稱為第0根弦)分別與雁柱曲線和直線2:y=x+l交于點(diǎn)4(4,外)和B“D,則?"=.
n=0
(參考數(shù)據(jù):取1.嚴(yán)=8.14.)
題目歸0(2023.湖北大漢.高三武漢市第六中學(xué)校暇才階段練習(xí))若函數(shù)/QXeo+Dlnz—az是(0,+8)
上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的最大值為.
題目回(2023?山東?高三校聯(lián)才階段練習(xí))/(4)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使㈤對(duì)一切
實(shí)數(shù)/均成立,則稱/(0為R函數(shù).現(xiàn)給出下列函數(shù):
①/(力)=2⑦;②/3)="+1;
③/Q)=V2(sinx+cosx);@f(x)=---x---
x—x+1
⑤/Q)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),月.對(duì)一切g(shù),g均有|/(為)一/(力2)|=2同一村.其中是夕函數(shù)的函
數(shù)序號(hào)是
2024年新高考數(shù)學(xué)選填壓軸題匯編(三)
題目I(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)府屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=吃+11班一也—1有兩個(gè)
e
不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(02)B.(0,1)C.[0,1]D.(一。0,?)
【答案】A
[解析】由題意得/(I)=+Inx—ax—1=elnx-ax+lnx—ax—l,x>0,
令g?)=e'+£—1,g'p)=e'+l>0,該函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù),且g(0)=0,
故函數(shù)/(c)=+Ina;—ax-1.有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即力=\nx-ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
e
令£=Inx—ax=0,(x>0)即直線“=a與h(x)=上",(?>0)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn),
x
又成力)=-——野四,當(dāng)0VcVe時(shí),h!(x)>0,h(rr)遞增,當(dāng)/>e時(shí),h\x)<0,/i(x)遞減,
則九3)max=當(dāng)-0時(shí),九3)=->—00,
ex
作出其圖象如圖:
由圖象可知直線y=a與h[x)=上史■,(□?>0)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn),需有a6(0,—),
故選:4.
題目⑶(2023?廣東廣州?高三廣東實(shí)心中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片力BCO沿長(zhǎng)邊
所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第二個(gè)平面ABEF,再沿寬邊4R所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第三個(gè)平面
HRGH,則第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是()
【答案】。
【解析】如圖,把兩個(gè)單位正方體疊放在一起,???
平面AAG",平面ABCR),平面分別代表第一,二,三個(gè)平面,
?.?四邊形為正方形,。。民J_
B2C2C0B0BOC2,
GA-L平面B2c夕忠0,GBzU平面ByCiCnBn,C2D2±C“B?,
?:BnC,C\C2D2-G,B?C,,C2D2CI平面A^CiD-,,:.C島J_平面A?B?C2D-2-,
同理可得:GA_L平面4AGR);
平面AnBaC2D.2的法向量為QA,平面4百GA的法向量為明,
C“D產(chǎn)C?B>—V2,B?Di=Vl2+l2+22=V6,
AcosNBGD產(chǎn)二6=_[/星?!惝a(chǎn)冬,即亞與森的夾角為冬,
2xV2xV2233
所求銳二面角的大小的余弦值是。
故選:C.
題目7(2023?廣東廣州局三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段舔習(xí))己知力,方為兩個(gè)相互垂直的單位向量,忸=/,
則12抗+司+h+4芬|+213沆+24一目的最小值為()
A.3y/5B.5V5C.6V5D.75/5
【答案】B
【解析】因由,而為兩個(gè)相互垂直的單位向量,不妨設(shè)亦=(1,0),而=(0,1),
因|司=[,可設(shè)下=QM,其中x2+y2=-y,
124
則2m+n=(2,1),m+4p=(4a;4-1,4g),3m+2n—p=(3—x,2—y),
|2m+n|=V22+l2=V5,
\m4-4p|=V(4a;4-1)2+(47/)2=J16/+8N+1+16g2=y/4x2+4y2+8x+4=2,(a+1)2+=,
213m+2n-p|=2^/(x-3)24-(7/—2)2,
設(shè)&=J(N+1)?+才,ct2=,(力-3/+(g-2y,
0'J|2m+n|+|m4-4p|+213沆+2n—p|=V5+2(4+咐,
其中4表示點(diǎn)Q,g)與點(diǎn)(一1,0)的距離,4表示點(diǎn)(①形)與點(diǎn)(3,2)的距離,
如圖
2
設(shè)點(diǎn)(一1,0)與點(diǎn)(3,2)所在的直線為則其方程為:得二=;二,即y=<3+1),
x=
聯(lián)立。/+才,=1;,得(|x=0)或<~~5
匕=01x--^-,------------_
即當(dāng)<_1或《3,時(shí),&+d2取的最小值5(-1-3)2+(0-2)2=2%,
ly=2ly=w
所以\2m+n|+|m+4p|+2卜沆+2n-p|=V5+2(4+(4)的最小值為575,
故選:B
題目1)(2023?廣東佛山?南三校聯(lián)考階段練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列{斯}的前n項(xiàng)和為S”,且5=2,S3-3%“+產(chǎn)
)
Sn(S”+2W),則$2。23=
口32023-1C32023+1D32期+1
A.32儂—1。2
【答案】。
【解析】由題設(shè)S3-3”(SN+LS“)=S”(S“+2-3”),則S1+i-Si=3"(Sn+1+S?),
n
又{%}都為正項(xiàng),則Sn>0,故Sn+1-Sn=3,
所以S2023—S2022+-?+S3—S2+S2—S]=321,22+...4-32+3=—―---
1—3
q2023_qq2023I1
所以S2023-S1=S2023-2—-,故*S,2023==2,
故選:。
題目51(2023?廣東佛山病三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面,其圓心為
O,現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E,且NDOE=2乙40。=2NCOD,在扇形4OC區(qū)域內(nèi)種植蘆葦,在
扇形。OO區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目,在四邊形。DE3區(qū)域內(nèi)種植荷花,并在湖面修建棧道OE和作為觀
光線路.當(dāng)DE+EB最大時(shí),游客有更美好的觀賞感受,則OE+E3的最大值為()
A.4B.4C.3D.6
42
【答案】。
【解析】設(shè)Z.AOC=a,則Z.DOE=2a,/COD=a^BOE=兀-4a,
0V4。V兀,0VaVV2aVT■,則sina、cos2a為正數(shù).
42
在三角形ODE中,連接DE,由余弦定理得:0E=j4+4-2x2x2xcos2a=,8—8cos2a=V16sin2a
=4sina,
在三角形BOE中,由余弦定理得:
EB=J4+4—2x2x2xcos(7:—4a)=,8+8cos4a=V16cos22a=4CQS2a=4(1—2sin%),
所以DE+EB=Asina+4(1—2sin%)=-8sin2tr+4sina+4,
由于sinaE(0,—^),所以當(dāng)sina=--------=時(shí),OE+EB取得最大值,
v2f2X(-8)4
也即sin/A9C=《時(shí),DE+EB取得最大值為一8xC『+4x《+4=叁
4,4,42
題目叵(2023.廣東廣州通三伸元中學(xué)校才階代練習(xí))設(shè)a=21nl.01,b=lnl.02,c=STUI-l.則
()
A.a<6<cB.b<c<aC.b<.a<.cD.c<a<6
【答案】8
【解析】[方法一]:
a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,
所以bVQ;
下面比較c與a,b的大小關(guān)系.
記/(c)=21n(l+⑼-,l+4r+1,則/(0)=0,f(x)=一下:廣=,
1+cVI+(1+x)Vl+4x
由于1+42-(1+w)2=2x-x2=x(2—x)
所以當(dāng)0<a:<2時(shí),1+4,一(1+工)2>0,即^^>(1+劣)j(乃>o,
所以/(工)在[0,2]上單調(diào)遞增,
所以/(0.01)>/(0)=0,即ZlnLOlAjTUI-lMlJaAc;
令g(x)=ln(l+2x)--1+4。+1,則g(0)=0,g(x)=---,
1+2,Vl+4x(l+x)vl+4x
由于1+4rr—(1+2:r)2=—4步,在工>0時(shí),1+4z—(1+2a;)2<0,
所以g'Q)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+00)上單調(diào)遞減,所以5(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<VL04-1,即bV
綜上,b<c<a,
故選:3.
[方法二]:
令/(re)-ln()-x-l(x>1)
/(x)=一包=丫<0,即函數(shù)/(⑼在(1,+oo)上單調(diào)遞減
x4-1???
/(Vl+0.04)<f(l)=0,??.bVc
令gQ)=21n(丁丁)—l(l<rr<3)
(x—1)(3—x)
。'㈤=>0,即函數(shù)gQ)在(1,3)上單調(diào)遞增
"+3
g?\+0.04)〈g(l)=0,/.a)c
綜上,b<c<a,
故選:B.
題目工(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)理中學(xué)校考階段練習(xí))已知a6(0號(hào)),且在os2a=sin(a+于),則sin2a
=()
A.-4B.4C.-1D.1
44
【答案】8
【解析】:,^cos2a=sin(a+,
*.*V2(cos2a—sin2a)=~^(sina+cosa),
(cosa+sina)(cosa-sina--y=0,
又(0奇),則sina>0,cosa>0,即cosa+sina>0
所以cosa—sina=,
因?yàn)閍E(0,*),所以2a€(0㈤,sin2a>0.
由cosa—sina=4平方可得1—sin2a=4,即sin2a="4?,符合題意.
244
綜上,sin2a=-y.
4
故選:3.
題目8(2023?湖南長(zhǎng)沙?甫三長(zhǎng)哪中學(xué)??茧A段練習(xí))若實(shí)數(shù)a,bed滿足七/二號(hào)=1,則(a—c)2
0Cl—1
+(b—d)2的最小值是()
A.8B.9C.10D.11
【答案】/
【解析】由°二"=1,得b=a-2ert,令f(x)=x—2e*,則/(x)=1—2e”,
0
令f⑸=0#sc=—ln2,當(dāng)x>—ln2時(shí),/Q)V0J(①)單調(diào)遞減,當(dāng)x<—ln2時(shí),/'(力)>0,/(x)單調(diào)遞
增;
由:一f=1,得d=-c+2,令g(力)=-x+2,
/⑺,gQ)的圖像如下圖:
???
則(Q—c)2+(b—d)2表示夕=/(C)上一點(diǎn)A/(a,b)與n=g(i)上一點(diǎn)N(c,d)的距離的平方,
顯然,當(dāng)過“點(diǎn)的/(⑼的切線與g(x)平行時(shí),最小,
設(shè)y=/(①)上與y=g(i)平行的切線的切點(diǎn)為伏)),由f(g)=1-26°=-1,解得g=0,
所以切點(diǎn)為%(0,—2),切點(diǎn)到g=gQ)的距離的平方為L(zhǎng))=8,
\VI+1)
即(a-c>+(b—d)2的最小值為8;
故選:A
題目叵(2023?湖南出沙?高三長(zhǎng)沙一中??茧A盤練習(xí))已知角a,BG(0,兀),且sin(a+£)+cos(a—£)=0,
sinasin"-3cosacos£=0,則tan(a+0)=()
A.-2B.—C.~~D.2
【答案】。
【解析】由sin(a+6)+cos(a-0)=0,可得sinacos£+cosasinf+cosacos^+sinasin£=0,即
sinacos£+cosasin^_】
cosacos0+sinasin/3
故tan°+tan%=_1又sinasin0—3cosacos0=0,故sinasin/3=3cosacosg,
1+tanatanp
tana+tan£
即tanatan0=3,代入=-1可得tana+tan^=-4.
1+tantztan/?
,,小tana+tan6
故tan(za+S)=----------2
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