二次函數(shù)中四邊形的存在性問題-2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型歸納與練習(xí) （原卷版）

專題02二次函數(shù)中四邊形的存在性問題

目錄

最新?？碱}熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】梯形存在性

【題型二】平行四邊形存在性

【題型三】矩形存在性

【題型四】菱形存在性

【題型五】正方形存在性

【題型一】梯形存在性

【典例分析】

(2023楊浦區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，拋物線y=αx2+bx+c過

點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0).C(2,3)三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸；

(2)分別聯(lián)結(jié)A。、DC,CB,直線y=4x+"z與線段OC交于點(diǎn)E,當(dāng)此直

線將四邊形ABCO的面積平分時(shí)，求m的值；

(3)設(shè)點(diǎn)F為該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、尸為頂點(diǎn)的四

邊形是梯形時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【提分秘籍】

梯形是相對限制較少的一類四邊形，要使得一個(gè)四邊形是梯形，只需要有其中一組對邊平

行，另一組對邊不平行即可。所以，在此類問題中，要么對點(diǎn)有較高的限制(在某一直線

上)，要么對梯形形狀有較高要求(等腰或直角)。綜合利用各個(gè)條件，才能求出最后的結(jié)

果

【變式演練】

L(2023青浦區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中(如圖)，已知拋物線y=x2-

2x,其頂點(diǎn)為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不

動(dòng)點(diǎn)”.

①試求拋物線y=x2-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②向左或向右平移拋物線y=f-2x,使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線

的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對稱軸與X軸交于點(diǎn)C,且四邊形OABC是梯形，求新拋

物線的表達(dá)式.

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y

I「

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-

-

2.【2021年青浦二?！?12分)已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xay中，拋物線

y=oc2+公+3的圖象與X軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,對稱

軸是直線X=1,頂點(diǎn)是點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBOC為梯形時(shí)，求點(diǎn)

P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)E為X軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan(ZPBO+Z

PEo)=S時(shí)，求OE的長.

【題型二】平行四邊形存在性

【典例分析】

（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y=a/+Ax-2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)Z（1,0）、B

（2,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）將拋物線向左平移加個(gè)單位（卬＞2）,平移后點(diǎn)/、B、。的對應(yīng)點(diǎn)分別記

作4、3、G,過點(diǎn)G作X軸，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)后在y軸負(fù)半軸上，使得

以。、E、6為頂點(diǎn)的三角形與G〃相似，

①求點(diǎn)后的坐標(biāo)；（用含力的代數(shù)式表示）

②如果平移后的拋物線上存在點(diǎn)E使得四邊形4月%為平行四邊形，求力的

值.

【提分秘籍】

解平行四邊形的存在性問題一般分三步：

第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算.

難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也

可以使計(jì)算又好又快.

已知定點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同，選用的方法也不同，通常有以下兩種情況：

1、如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已

知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3

個(gè)交點(diǎn).

2、如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.

【變式演練】

1.[2021年楊浦二?！咳鐖D，已知在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，直線y=x-5與X

軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,拋物線y=αr+6x+c經(jīng)過AxB兩點(diǎn).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與Λ-軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線

AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在第(2)小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC,在NQCB內(nèi)作射線CO與拋物線的

對稱軸相交于點(diǎn)D,使得NQCD=ZABC1求線段DQ的長.

5^

4-

3-

2-

1.

12345X

2.(2021?上海寶山區(qū)?九年級一模)已知拋物線丁=亦2+加5。0)經(jīng)過

A(4,0),8(-1,3)兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。與點(diǎn)B關(guān)于拋

物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)BC、BD.

B.

(1)求該拋物線的表達(dá)式以及對稱軸；

(2)點(diǎn)E在線段BC上，當(dāng)NCED=NoBD時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在對稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)。、A、M、N為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積.

3.【2021年崇明二?！?12分)已知拋物線y=0r2+bχ-4經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),

B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)

結(jié)AC、BC、CD、BD.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對稱軸；

(2)當(dāng)SAB8=4SMOC時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)E是X軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)A、D、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

【題型三】矩形的存在性

【典例分析】

例L在平面直角坐標(biāo)系中，拋物境?=-χ2+fcc+3過點(diǎn)4(T,0),點(diǎn)M是該拋物線

的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是?軸上一點(diǎn)，點(diǎn)。是坐標(biāo)中面內(nèi)一點(diǎn)，如果以“、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊

形是矩形，求該矩形的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo).

有一個(gè)是直用以A、M為定點(diǎn)，找出y軸上符合題意的點(diǎn)

P的坐標(biāo)

"邊形A、M.P、Q是利用平行四邊形的性質(zhì)求出符合題

平行舊邊形意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：

1、C

例2：直線V=X-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線V=IX-X-3經(jīng)過點(diǎn)B

與直線y=x-3交于點(diǎn)E(8,5),且與X軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)。若點(diǎn)P在拋物線上,

在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q,使得以P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊為矩形？若存在,

求出點(diǎn)Q坐標(biāo).

有一個(gè)是直角以A、C為定點(diǎn)，找出拋物線上符合條件

的P點(diǎn)

四邊形C、B、P,Q是利用平行四邊形的性質(zhì)求出符合題

平行B邊形意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；________________

Iy

MM

②以為對角線,，有兩

①以AM為邊，有兩種AM

情況，以勾股定理求種情況，以勾股定理

出點(diǎn)P坐標(biāo)后，再根據(jù)求出點(diǎn)P坐標(biāo)后，再根

對稱性，利用中點(diǎn)坐據(jù)對稱性，利用中點(diǎn)

坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)

標(biāo)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)Q

--------------------->-X.AX

例3：將拋物線S)=MV+狀沿X軸翻折，得到

拋物線C2,如圖，現(xiàn)將拋物線C向左平移冽個(gè)單位長度,

平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與X軸的交點(diǎn)從翎

右依次為.4、Bi將拋物線C向右也平移也個(gè)單位長度,

平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N,與X軸的交點(diǎn)從左到右

依次為D、E.在平移謔中，渴N、N、E.

M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)

的值；若不存在，請說明理由.

【提分秘籍】

二次函數(shù)中的矩形存在性問題相交于平行四邊形的存在性問題而言，其難度更大。本

文將從知識(shí)梳理和例題講解兩部分進(jìn)行講解，具體分析矩形存在性問題中的“定”與

“動(dòng)”以及具體的解題策略。

能宿存急?類商說韶解泡茶父

【題型四】菱形的存在性

【典例分析】

(2022?嘉定區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系(如圖)中，已知拋物線y=

a*+Δx+3經(jīng)過點(diǎn)力(3,0)、6(4,1)兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為。點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求四邊形加%的面積；

(3)設(shè)拋物線y=aV+33的對稱軸是直線1,點(diǎn)〃與點(diǎn)6關(guān)于直線/對稱，

在線段a'上是否存在一點(diǎn)￡,使四邊形力〃◎'是菱形，如果存在，請求出點(diǎn)E

的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

5-

4-

3-

2-

1-

Illll__________11II1.

-5-4-3-2-1°12345x

【提分秘籍】

在解決函數(shù)背景下的菱形的存在性問題，我們需要先厘清菱形的判定：

(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都相等的四邊是菱形；

(3)對角線互相垂足平分的四邊形是菱形。在目前的問題中，涉及的是：兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)半

動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)全動(dòng)點(diǎn)問題或一個(gè)定點(diǎn)，三個(gè)半動(dòng)點(diǎn)的問題。

解題思路：

思路1：先平四，再菱形

先根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定一組方程，再利用鄰邊相

等，即利用距離公式列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解。

思路2：先菱形，再平四

在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)定點(diǎn)和1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，利用距離公式求

出半動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。再根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出另一個(gè)全動(dòng)點(diǎn)

的坐標(biāo)。

模型分析：

分析：根據(jù)題意，先標(biāo)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，A(l,l),B(5,4),C(m,O),D(x,y),再

依據(jù)思路1和思路2分析解答。

以思路1為例：先平四，再等腰以AB為對角線為例，先計(jì)算AB、CD中點(diǎn)，再利用AC=BC,

可以得到C、D坐標(biāo)。

以此類推，得出另外兩種情況，即以AC、AD為對角線，解關(guān)于m,x,y的三元一次方

程組，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

以思路2為例：先等腰，再平四

先求點(diǎn)C,點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的

存在性問題確定點(diǎn)C,在確定點(diǎn)D。

以AB=AC為例，利用距離公式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后再利用平行四邊形的存在性，計(jì)

算BC、AD的中點(diǎn)，求出點(diǎn)D坐標(biāo)。

以此類推，得到另外兩種情況，即AC=BC,AB=BCo先求出m的值，再解關(guān)于x,y的

二元一次方程組。

但是針對具體的問題要具體分析，畫出圖形，看能否簡便運(yùn)算。

【變式演練】

1.(2021年虹口區(qū))(本題滿分12分，第(1)小題4分，第(2)小題4分，第

(3)小題4分)

如圖8,在平面直角坐標(biāo)系XQy中，直線/：y=—x+b與X軸、歹軸分別交于點(diǎn)4、3,

4

與雙曲線H：y=&交于點(diǎn)P(2,-),直線x=m分別與直線/和雙曲線H交于點(diǎn)E、D.

X2

(1)求A和6的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)K在線段48上時(shí)，如果ED=B0,求/的值；

(3)點(diǎn)。是y軸上一點(diǎn)，如果四邊形比必是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

2.[2021年徐匯區(qū)二?！咳鐖D，已知拋物線γ=2f+〃?與y軸交于點(diǎn)C,直線

4

y=-5χ+4與y軸和X軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,過點(diǎn)C作CoLAjB,垂足為

點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)E在X軸上，以CD為對角線作口CEDF.

(1)當(dāng)點(diǎn)C在NABO的平分線上時(shí)，求上述拋物線的表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，如果口CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，求點(diǎn)F的坐

標(biāo)；

(3)如果點(diǎn)E是Bo的中點(diǎn),且。"DF是菱形，求m的值.

【題型五】正方形的存在性

【典例分析】

(2022?長寧區(qū)二模)如圖，已知菱形4≡的頂點(diǎn)4、8分別在X軸、y軸的正

半軸上，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(4,1),拋物線y=8*+Zzr<?c經(jīng)過點(diǎn)月、B、D,對稱

6

軸為直線X=圖.

10

(1)求拋物線的表達(dá)式;

（2）求證：菱形4朋是正方形；

（3）聯(lián)結(jié)OC,如果P是X軸上一點(diǎn)，且它的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)，NPCD

=ΛBCO,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【提分秘籍】

從未知量的角度來說，正方形可以有4個(gè)“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個(gè)等量關(guān)系，考

慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個(gè)）垂直（1個(gè)）且相等（1個(gè)）.

比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如

果要求在某條線上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個(gè)

數(shù)，可能無解.

從動(dòng)點(diǎn)角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：