2023-2024學(xué)年河北省卓越聯(lián)盟高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學(xué)年河北省卓越聯(lián)盟高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖是一個(gè)程序框圖,執(zhí)行該程序框圖，則輸出的“值是（）

A.2B.3

C.4D.5

2.在拋物線y2=2px（p〉0）上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為（）

1

A.—B.2

2

C.1D.4

3.設(shè)aeH,若函數(shù)y=e"'+3x,xeH有大于零的極值點(diǎn)，則

A.a>—3B.〃<—3

11

C.a>—D.〃<----

33

4.已知橢圓C：工+==1（。〉6〉0）的左，右焦點(diǎn)用，心，過原點(diǎn)的直線/與橢圓C相交于V,N兩點(diǎn).其中M

ab

W制〉/

在第一象限.=|可閭則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

'I阿—3

A/6-1

A.(0,B.(0,76-2]

2

C.(0,73-1]

5.一個(gè)動(dòng)圓與定圓E:（x-3）2+/=4相外切，且與直線/：光=—1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）

A.y=6xB.y=4x

C.y=8%D.y2=12x

6.礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物

線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示.已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線

￡:*=_2加+4（2>0）的焦點(diǎn)為FQ-萬），則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)R的距離為（）

安全施物線q-已二

C.2aD.-

2

7.已知平面口的一個(gè)法向量為“=（1,2,1）,A（l,0,—1）,5（。,—1,1）,且A三則點(diǎn)A到平面a的距離為（）

8.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且4=3,%=15,則4=（

9.已知點(diǎn)P是橢圓工+工=1上一點(diǎn),點(diǎn)。［了oj,則|PQ|的最小值為

43

3A/6

丁

10.如圖，在長方體ABCB—44。。］中，AB=BC=2,CCt=1,則直線AQ和四。夾角的余弦值為（）

DiG

BB3

V,3

11.等差數(shù)列｛4｝中，S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，%+。8=10,則$9=()

A.40B.45

C.50D.55

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過x軸上的點(diǎn)尸分別向圓G：(%-1)?+(V+4I=7和圓:(x—2)2+(y—5)2=9引

切線，記切線長分別為4,4.則4+d2的最小值為()

A.20B.3/

C.40D.56

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在四棱錐P—ABC。中，。是邊中點(diǎn)，底面455.00=1.在底面ABC。中，BC//AD,

CD±AD,BC=CD=1,AD=2.

P

(1)求證：A3〃平面POC；

(2)求直線PC與平面BIB所成角的正弦值.

22

14.已知曲線三+乙=1的焦距是10,曲線上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2,則點(diǎn)尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為

a16

15.已知直線4:（a-3）x+（4—a）y+l=O與4：2（a-3）x-2y+2=0平行，貝!.

+

16.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”"=1,4+1—%+1+%（%>0），貝!!不+《+~^.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知以點(diǎn)A（—1,2）為圓心的圓與直線機(jī)：x+2y+7=0相切，過點(diǎn)8（—2,0）的動(dòng)直線/與圓A相交于跖

N兩點(diǎn)

（1）求圓A的方程

（2）當(dāng)MN=2M時(shí)，求直線/方程

18.（12分）如圖所示，在直三棱柱ABC—431G中，AB=2,AC=AAl=4,1ABC=90

（1）求三棱柱ABC—的表面積S；

（2）求異面直線48與AC所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

19.（12分）已知點(diǎn)尸為拋物線「：y2=2px（。>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1J）在拋物線「上且在x軸上方，|尸耳=2.

（1）求拋物線「的方程;

（2）已知直線/：%=沖+1與曲線F交于A,5兩點(diǎn)（點(diǎn)A,3與點(diǎn)尸不重合），直線物與x軸、y軸分別交于C、D

兩點(diǎn)，直線網(wǎng)與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求直線/的方程.

20.（12分）已知橢圓￡：?+孑=1（?！?〉0）過點(diǎn)。）,-乎j,且離心率6=等，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；

（2）判斷是否存在直線/,使得直線/與橢圓E相交于兩點(diǎn)，直線/與丁軸相交于點(diǎn)C,且滿足

CN=-2CM，若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知橢圓C：工+二=1(。>/,〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,焦距為2n，過點(diǎn)工作直線交橢

ab

圓。于V、N兩點(diǎn)，△耳MN的周長為8后.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若斜率為:的直線/與橢圓相交于A3兩點(diǎn)，求定點(diǎn)尸(2,1)與交點(diǎn)A,3所構(gòu)成的三角形鉆面積的最大值.

22.(10分)已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為耳卜28,0)、耳(2夜,0),長軸長為6

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵已知過點(diǎn)(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長度

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復(fù)計(jì)算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果.

【詳解】初始值：5=0,〃=1

當(dāng)〃=1時(shí)，S=S+(〃—g)=0+(1—g)=；<4,進(jìn)入循環(huán)；

當(dāng)〃=1+1=2時(shí)，s=S+(〃—g)=；+(2—3)=?<4,進(jìn)入循環(huán)；

當(dāng)〃=2+1=3時(shí)，(IX210(1\235,

S=S+(九-9=彳+(3-9=—>4

終止循環(huán)，輸出〃的值為3.

故選：B

2、B

【解析】由方程可得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，進(jìn)而由拋物線的定義可得4+4=5,解之可得0值

2

【詳解】解：由題意可得拋物線y2=2px(0〉0)開口向右，

焦點(diǎn)坐標(biāo)或，0),準(zhǔn)線方程x=-g,

由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5,

即4-(-9=5,解之可得p=2.

故選：B.

3、B

【解析】設(shè)>=/'+3%，則/'(x)=3+ae",若函數(shù)在xCR上有大于零的極值點(diǎn)

即尸(x)=3+ae&'=0有正根，當(dāng)有/'(%)=3+4/工=0成立時(shí)，顯然有a<0,

13

此時(shí)x=—ln(-一).由％>0,得參數(shù)a的范圍為a<—3.故選B

aa

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

4、D

【解析】由題設(shè)易知四邊形片為矩形，可得|崢|2-2。|“凡|+2/=0,結(jié)合已知條件有

a>\MF2|>(6—1)。

即可求橢圓C的離心率的取值范圍.

△=〃—2〃〉0

【詳解】由橢圓的對稱性知：|NKI=|Mg|,^\MF2\+\MFi\=2a,

又|AW|=|￡閭，即四邊形8為矩形，

所以I4『+|MK|2=4C2,則2|崢『—4a|"J+4a2=4°2且M在第一象限，整理得

2222

\MF2\-2a\MF2\+2b=0,A=a-2b>0

所以|叫="廬記又騙=需=署褊邛即四叫“向3

產(chǎn)用="-^^"百一叫整理得工<3=?！?5

[a2>2a2-2c22?2

所以正<e〈百—1.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對稱性及矩形性質(zhì)可得IMEJ2-2。|曄|+2/=0,由已知條件得到

<"〉|MF21>,進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.

A>0

5、D

【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡即可.

【詳解】定圓/：（》—3）2+/=4的圓心/（3,0）,半徑為2,

設(shè)動(dòng)圓圓心尸點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,動(dòng)圓的半徑為r,d為動(dòng)圓圓心到直線I=-1的距離，即r,

則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，PF-2=r,d=r

所以而—1+/_2=x+l，

化簡得：y2=12x

二動(dòng)圓圓心軌跡方程為y2=Ux

故選：D

6、D

【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線E的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出P值即可計(jì)算作答.

小2、p23

【詳解】依題意，拋物線E的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（。，一），則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)R的距離為￡=一+彳，P>0,解得P=4,

p2p2

于是得拋物線E的方程為d=-8y+4,由y=。得，%=±2,即拋物線E與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為/（±2,0）,

因此，|ME|=J（±2'+§）2=（,

所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)F的距離為

2

故選：D

7、B

【解析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出

【詳解】VA（l,0,-l）,B（0,-l,l）,

UUU

AAB=（-1,-1,2）,又平面a的一個(gè)法向量為〃

\AB-n\屈

點(diǎn)A到平面a的距離為=火

同6

故選：B

8、B

【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.

【詳解】32=%-4=15—3=12,所以d=4.

故選：B

9、D

z[\2z[x2(2、[Ac

【解析】設(shè)P(x,y),貝！I,PQ2=x—+/=%--+3=^(%-l)2+—.

\4JI14J416

所以當(dāng)x=l時(shí)，|P0的最小值為店=空.

故選D.

10、D

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出明4。的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.

【詳解】如圖：以。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,?？谒诘闹本€為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),

4(2,0,0),2(0,0,1),4(2,2,1),

所以叫=(一2,0,1),^￡>=(-2,-2,-1),

/4nRn\ARBD4-1亞

所以\??//|也向V5XV4Z4ZT5，

所以直線和耳。夾角的余弦值為g,

【解析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)“若n+m=k+/,則為+(=%.+0”即可求解

【詳解】

5^±^X9=^^X9=—x9=45

222

故選：B

12、D

【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式，將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點(diǎn)共線距離最小即可求解.

22

詳解】C1：(x-l)+(y+4)=7,圓心(1,T),半徑八="

22

C2:(x-2)+(y-5)=9,圓心(2,5),半徑々=3

設(shè)點(diǎn)P(xo,O),

2222

則4+4=^(%0-1)+(0+4)-7+^(XO-2)+(O-5)-9

=1)，9+加廠2『+16='(%一丁+(0+3(+J(x°―2)2+(0—4)2,

即(七,0)到(L—3)與(2,4)兩點(diǎn)距離之和的最小值，

當(dāng)伉,0)、(1,-3),(2,4)三點(diǎn)共線時(shí),4+4的和最小，

即&+d2的和最小值為J(l—2)2+(—3-4『=回=5&.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1)證明見解析

⑵-

3

【解析】(1)由題意，證明3aM是平行四邊形，從而可得然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；

(2)證明是平行四邊形，從而可得O5LAT),由題意，可建立以08,。。,OP為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)

\n-PC\

系，求出平面A5P的法向量w=(x,y,z),利用向量法即可求解直線PC與平面所成角的正弦值為」------L.

\n\-\PC\

【小問1詳解】

證明：由題意BC=Q4,又BC〃OA,所以8aM是平行四邊形，所以A5〃0C,

又A3C平面POC,OCu平面POC,所以〃平面POC；

【小問2詳解】

解：BC=OD,BC//OD,所以是平行四邊形，所以05〃。。，OB=CD,而CDLA。，

所以05,AT),以05OP為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

X

則B(l,0,0),A(0,-l,0),尸(0,0,1),AB=(1,1,0),AP=(0,1,1),

設(shè)平面A3P的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

,n-AB=%+y=0_,,~

則〈取x=i,則y=—l,z=l,所以〃=(1,—1,1),PC=(1,1,-1)

n-AP=y+z=0

\n'PC\i

設(shè)直線PC與平面PAB所成角為0,貝Usin0=」-----L=L,

\n\-\PC\3

所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為1.

14、2面一2或m

【解析】對參數(shù)。進(jìn)行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.

【詳解】由題意，曲線的半焦距為5,若曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則"16,所以a—16=25na=41,而橢圓

上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)距離是2,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2d-2；

若曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0<a<16,所以16—a=25na=—9,舍去；

若曲線是雙曲線，則a<0,容易判斷雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，所以16+(—a)=25na=-9,不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的上

半支，上下焦點(diǎn)分別為耳(0,5),6(0,-5),因?yàn)閷?shí)半軸長為%容易判斷點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離的最小值為4+5=9>2,

不合題意，所以點(diǎn)尸到上焦點(diǎn)的距離為2,則它到下焦點(diǎn)的距離|咫卜尸耳1+8=10.

故答案為：2屈-2或10.

15、3

【解析】根據(jù)平行可得斜率相等列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€//(a—3)x+(4—a)y+l=0與4:2(。一3)x—2y+2=0平行，

所以—2(a—3)—2(4—a)(a—3)=0,解得夕=3或。=5,

又因?yàn)閍=5時(shí)，4:2x—y+1=0,l2:4x—2y+2=0,

所以直線3重合故舍去，

而a=34：y+l=0,/2：—2y+2=0,所以兩直線平行.

所以a=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情

況.同時(shí)還要注意X,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件

⑵在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論

1c」1、

【解析】根據(jù)題意求得4+1-4=1,得到%,=〃，利用等差數(shù)列的求和公式，求得《=2-(---------),結(jié)合裂項(xiàng)法求

nn+1

和法，即可求解.

【詳解1由%—??+i=?,；+。”，可得a；什「a；=an+i+an，即(an+l-an)(an+l+an)=an+1+an,

因?yàn)闉椤?,所以4=1,

又因?yàn)閝=l,所以=1+("-1)義1=”，

可得I

所以￡=后J=2x(丁力)

111C?1、/1、11、rc-1、2n

所以不+不++F=2X[(1_J)+(]_1)++z(---------7)]-2x(1--------)=-----.

Ji??zzJnn+1〃+l〃+l

2n

故答案為:

n+1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(x+1)2+(y-2)2=20；(2)3x-4y+6=0或x=—2.

【解析】(1)利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；

(2)根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程

【詳解】(1)由題意知4(—1,2)到直線x+2y+7=0的距離為圓A半徑r,

1-1+4+71廣

所以r=J——=~\=2非,

A/5

所以圓A的方程為(x+iy+(y—2)2=20

(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為0,則由垂徑定理可知/MQA=90。，且MQ=M，

在RtAAMQ中由勾股定理易知AQ=^AM--MQ1=1,

設(shè)動(dòng)直線/方程為：丁=左(％+2)或彳=-2,顯然彳=-2符合題意

/、\-k+2k-2\3

由A(—1,2)到直線I距離為1知??=1得左=]

所以3x-4y+6=0或彳=-2為所求直線/方程

【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題

18、(1)24+1273;(2)arccos—

10

【解析】(1)利用S=2SAABC+S惻，可得三棱柱ABC-AiBC的表面積S；

(2)連接BG,確定NBAC就是異面直線AB與AC所成的角(或其補(bǔ)角)，在△AB3中，利用余弦定理可求結(jié)論

【詳解】(1)在aABC中，因?yàn)锳B=2,AC=4,ZABC=90°,所以BC=2/.SAABC=^-ABXBC=2

所以S=2SAABC+S惻=4垢+(2+273+4)X4=24+12/

(2)連接BG,因?yàn)锳C〃AC,所以NBAC就是異面直線AiB與AC所成的角(或其補(bǔ)角)

尺

在△ABC中，A】B=2\石，BQ=2'歷，AC=4,由余弦定理可得cosNBA?=土，

即異面直線A3與AC所成角的大小為arccos正

所以ZBAiCi=arccos

10

【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關(guān)鍵是正確作出線線角，屬于中檔題

19、(1)>2=4%；

(2)y=x-l^y=-x+l.

【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出P即可作答.

⑵聯(lián)立直線，與拋物線F的方程，用點(diǎn)A,5坐標(biāo)表示出點(diǎn)C,D,M,N的坐標(biāo),

列出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.

【小問1詳解】

拋物線「的準(zhǔn)線：x=-g由拋物線定義得附=l+g=2,解得p=2,

所以拋物線「的方程為V=4x.

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)P(Lt)在r：y2=4x上，且，＞0,貝！k=2,即尸(1,2),依題意，加w0,設(shè)B(x2,y2),

y2-4%

由「'消去X并整理得y2—4my—4=0,則有%+%=4加，％%=-4,

x=my+l

k=%—2==44

直線物的斜率是叢x,-lK?x+2,方程為V—2=-^%—1),

1/iy.+2

4

令y=。，貝！|x=—%,令x=0,則y=2以。,即點(diǎn)c(—1,0),點(diǎn)1)(0,2%。),

2%+22必+2

同理點(diǎn)M(-匹,0),點(diǎn)N(0,—七)，

則|cM」“r,|DN|=4?1二%)四邊形SW的面積S有：

112(%+2)(%+2)

S43」X2X,4「=產(chǎn)出+/一*21

2111122(%+2)(%+2)回+2)(%+2)|E%+2(%+%)+4|

16m2+162m2+2,??2,I|2,,

=/丁=丁帆十前’當(dāng)且僅當(dāng)駟=時(shí)即M=i時(shí)取"="

所以當(dāng)772=±1時(shí)四邊形CDMN的面積最小值為4,直線/的方程為y=x-l或y=—x+1.

2

20、(1)——Fy2=1；

2

⑵存在，方程為y+和y=.

?25-25

【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)、離心率和”,4c關(guān)系可構(gòu)造方程求得"c,由此可得橢圓方程；

（2）設(shè)/：＞="+?5（左/0）,與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，根據(jù)共線向量可得々=-2%，代入韋達(dá)定理中

可構(gòu)造關(guān)于左的方程，解方程可求得左，進(jìn)而得到直線方程.

【小問1詳解】

11,

/+萬=1

a=E2

由題意得：＜，解得:b=l，，橢圓E的方程為土+V=1；

a2c=l2

a1=b2+c2

【小問2詳解】

由題意知：直線/斜率存在且不為零，可設(shè)/：＞=日+冷化/0）,加（%,%）,N（%,%），

y=kx+—

-5

由＜得：（1+242）x2=貝!J;

55

—+/=1

12?

CN=-2CM)了2，%一=-2x1,yi-

4限

5(1+2左2)\2

'4小k8

-2x

〔5(1+2公?5(1+2r)'

解得：上2=[,，左=±正,

22