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文檔簡(jiǎn)介

§6.4

高階線性微分方程

CONTENT目錄1高階線性微分方程概念2二階常系數(shù)齊次線性微分方程

n階線性微分方程的一般形式為時(shí)，當(dāng)

稱式為n階齊次線性微分方程.時(shí),稱式為n階非齊次線性微分方程.當(dāng)

一、高階線性微分方程定理1.如果是齊次線性微分方程的兩個(gè)解，則也是方程的解，其中為任意常數(shù)。為了解決齊次線性微分方程通解問(wèn)題，我們需要引入一個(gè)新的概念，即所謂函數(shù)的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)。定義:是定義在區(qū)間

I上的n個(gè)函數(shù)，則稱這n個(gè)函數(shù)在I上線性相關(guān)；否則稱為線性無(wú)關(guān)。

例如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān);使得若存在不全為0的常數(shù)設(shè)說(shuō)明：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的情形，它們線性相關(guān)與否，只要看它們的比是否為常數(shù)，如果比是常數(shù)，那么它們就是線性相關(guān)；否則線性無(wú)關(guān)。定理2.如果是微分方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù)。例18.例19.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p,q為常數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,其根稱為特征根.因?yàn)閞為常數(shù)時(shí)，函數(shù)所以令的解為

稱為微分方程的特征方程,1.當(dāng)則微分因此方程的通解為：時(shí),有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:(r為待定常數(shù))代入得2.當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根所以可以取u=x,則得因此原方程的通解為2.當(dāng)3.當(dāng)時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根

通解例20.的通解.

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