廣東省東莞市中學(xué)松山湖學(xué)校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

廣東省東莞市中學(xué)松山湖學(xué)校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1、F2是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線C上一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率e為（）A． B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的定義和已知即可得出|PF1|，|PF2|，進(jìn)而確定最小內(nèi)角，再利用余弦定理和離心率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：設(shè)|PF1|＞|PF2|，則|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．則∠PF1F2是△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，∴，解得e=．故選：C．2.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為(

)A直角三角形

B等腰直角三角形C等邊三角形

D等腰三角形．參考答案：A略3.在中“”是“”的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.等比數(shù)列中，，，則等于（

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.設(shè)a，b是兩個(gè)平面向量，則“a＝b”是“|a|＝|b|”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A6.某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三邊的長(zhǎng)度分別為3，4，6，則此人(

)A．不能作出這樣的三角形 B．能作出一個(gè)銳角三角形C．能作出一個(gè)直角三角形 D．能作出一個(gè)鈍角三角形參考答案：D【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【專題】解三角形．【分析】若三角形兩邊分別為3，4，設(shè)第三邊為x，則根據(jù)三角形三邊故選可得：1＜x＜7，由余弦定理可得＜0，即開判定此三角形為鈍角三角形．【解答】解：若三角形兩邊分別為3，4，設(shè)第三邊為x，則根據(jù)三角形三邊故選可得：1＜x＜7，故可做出這樣的三角形．由余弦定理可得最大邊所對(duì)的角的余弦值為：＜0，此三角形為鈍角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知向量，，則等于（）A．﹣5 B．﹣4 C．2 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵向量，，∴=﹣1×2+1×0+（﹣1）×（﹣3）=1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．8.復(fù)數(shù)=().A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i參考答案：C9.過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作一條直線，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A、

B、

C、

D、參考答案：B略10.設(shè)a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷，結(jié)合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，則（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，則a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根據(jù)充分必要條件的定義可的判斷：a，b∈R，則“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式，充分必要條件的定義，屬于容易題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把座位編號(hào)為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為

．（用數(shù)字作答）參考答案：9612.若向量的夾角為，，則參考答案：略13.過(guò)點(diǎn)P(1，1)且與坐標(biāo)軸圍成面積為2的三角形的直線的條數(shù)是

。參考答案：314.已知函數(shù)y=f(x)的解析式為這三個(gè)中的一個(gè)，若函數(shù)為(－2,2)上的奇函數(shù)，則f(x)=

．參考答案：sinx

15.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF=，則下列結(jié)論中正確的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱錐A﹣BEF的體積為定值：（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．參考答案：（2）（3）【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；由兩個(gè)極端位置說(shuō)明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．【解答】解：對(duì)于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；對(duì)于（2），由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無(wú)公共點(diǎn)，故有EF∥平面ABCD，故正確；對(duì)于（3），由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD1B1B，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故正確；對(duì)于（4），由圖知，當(dāng)F與B1重合時(shí)，與當(dāng)E與D1重合時(shí)，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯(cuò)誤．∴正確命題的序號(hào)是（2）（3）．故答案為（2）（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對(duì)其中的點(diǎn)線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．16.

；若

.參考答案：0

4

17.在等差數(shù)列中，若，則有等式成立．類比上述性質(zhì)：在等比數(shù)列中，若，則有等式

成立．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿12分）己知函數(shù)．（1）若x=為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若=-1時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：（1）--------2分為f(x)的極值點(diǎn),且------------4分又當(dāng)=0時(shí),,-----------5分從而為f(x)的極值點(diǎn)成立.-------------6分(2)若時(shí),方程可得即在上有解----------8分即求函數(shù)的值域.

，令,由------------10分當(dāng)時(shí),,從而h(x)在上為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,從而h(x)在上為減函數(shù).,而h(x)可以無(wú)窮小,的取值范圍為.------------12分19.已知集合，其中。表示集合A中任意兩個(gè)不同元素的和的不同值的個(gè)數(shù)。(1)若，分別求和的值；(2)若集合，求的值，并說(shuō)明理由；(3)集合A中有2019個(gè)元素，求的最小值，并說(shuō)明理由。參考答案：(1)＝5，＝10(2)見解析；(3)最小值是4035【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行元素相加即可得出和的值；(2)因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．由集合，任取，由此能出的值；（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．由此能出的最小值．【詳解】（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10．（2）證明：因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以．又集合，不妨設(shè)，m＝1，2，…，n．，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即所有的值兩兩不同，因此．（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．事實(shí)上，設(shè)成等差數(shù)列，考慮，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此每個(gè)和等于中的一個(gè)，或者等于中的一個(gè)．所以最小值是4035。【點(diǎn)睛】本題考查，，，的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意集合性質(zhì)、分類討論思想的合理運(yùn)用．20.已知過(guò)橢圓M：(a＞b＞0)右焦點(diǎn)的直線交M于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C、D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．參考答案：略21.如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，橢圓的方程為：…（4分）（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意

…（5分）②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB，設(shè)直線l的方程為：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又=…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴，∴…（11分）∴所求直線的方程為：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為