《28.1 第2課時 余弦函數和正切函數》課件（兩套）

28.1銳角三角函數第二十八章銳角三角函數第2課時余弦函數和正切函數學習目標1.理解并掌握銳角余弦和正切的定義并能進行相關運算.（重點）2.能靈活運用銳角三角函數進行相關運算.（重點）導入新課問題引入

如圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？講授新課余弦一互動探究我們來試著證明前面的問題：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.從而因此由此可得，在有一個銳角等于α的所有直角三角形中，角α的鄰邊與斜邊的比值是一個常數，與直角三角形的大小無關．如下圖所示，在直角三角形中，我們把銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作cosα，即斜邊角的鄰邊α從上述探究和證明過程看出，對于任意銳角α，有

cosα=sin(90°-α)從而有

sinα=cos(90°-α)例1

求cos30°，cos60°，cos45°的值．

解:cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=；cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=cos45°=sin(90°-45°)=sin45°=典例精析例2如圖，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB于E，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半徑．解析：由于∠A、∠C所對的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例關系，可用未知數表示出它們的長．連接BD，易證△BDF∽△ABF，根據所得比例線段即可求得未知數的值，從而得到直徑AB的長，從而得到⊙O的半徑．解：連接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°．設AB=4x，則AF=5x，由勾股定理得，BF=3x．∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=∴△ABF∽△BDF，∴⊙O的半徑為1.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），那么cosα的值是（）A.B.C.D.練一練D2.如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠A=35°，則直角邊BC的長是（）A.B.C.D.A正切二我們已經知道，在直角三角形中，當一個銳角的大小確定時，那么不管這個三角形的大小如何，這個銳角的對邊（或鄰邊）與斜邊的比值也就確定（是一個常數）.

那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值是否也是一個常數呢？想一想問題如圖，△ABC

和△DEF

都是直角三角形，其中∠A=∠D=α

，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF

，∠A=∠D=α，∠C=∠F=

90°，∵∴∴

由此可得，在有一個銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對邊與鄰邊的比值是一個常數，與直角三角形的大小無關．

角的對邊角的鄰邊如下圖，在直角三角形中，我們把銳角α的對邊與鄰邊的比叫作角α的正切，記作tanα，即例3求tan30°，tan60°的值.從而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解

如圖，構造一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，由此得出典例精析于是

∠B=60°.

因此因此例4矩形ABCD中AB=10，BC=8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，求tan∠AFE．解析：根據題意，結合折疊的性質，易得∠AFE=∠BCF，進而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的長，根據三角函數的定義，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：由折疊的性質可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.

∴tan∠AFE=tan∠BCF=.銳角三角函數三典例精析例5如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA,cosA,tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此當堂練習1.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴大100倍,tanA的值（）A.擴大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定2.已知∠A,∠B為銳角，(1)若∠A=∠B,則cosA

cosB;(2)若tanA=tanB,則∠A

∠B.ABC┌C==提示:求銳角三角函數時,勾股定理的運用是很重要的.┌BCA36(1)3.在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)如圖(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;解:3.在Rt△ABC中,∠C=90°,(2)如圖(2),BC=3,tanA=,求AC和AB.B┌AC3(2)解:4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：∵5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC∴設AC=15k，則AB=17k所以課堂小結余弦函數和正切函數在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫做角α的余弦α確定的情況下，cosα,tanα為定值，與三角形的大小無關在直角三角形中，銳角α的對邊與鄰邊的比叫做角α的正切余弦正切性質ABCcba┌28.1銳角三角函數

第2課時余弦函數和正切函數1、理解余弦、正切的概念；2、培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.1、sinA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角.2、sinA是一個比值（數值）.3、sinA的大小只與∠A的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，特殊角的正弦函數值正弦

當直角三角形的一個銳角的大小確定時，其任意兩邊的比值都是唯一確定的嗎？為什么？∟

對邊a斜邊c鄰邊b我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即ACBBCAB和B′C′A′B′在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比及對邊與鄰邊的比是一個固定值.BACA′B′C′任意畫Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α.那么BCAC和B′C′A′C′有什么關系？，及由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，BCAB=B′C′A′B′，BCAC=B′C′A′C′.如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∟BACbca斜邊角A的對邊∠A的對邊記作a，∠B的對邊記作b，∠C的對邊記作c.角A的鄰邊對于銳角A的每一個值，sinA有唯一的值和它對應，所以sinA是A的函數，同樣地，cosA，tanA也是A的函數.銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數.【例】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值.ABC6【解析】1、如圖,在Rt△ABC中,銳角A的鄰邊和斜邊同時擴大100倍,tanA的值（）A.擴大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定ABCC2、下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對邊、鄰邊.ABCDBCACBDAD1.（湖州中考）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為()A.2B．C．D．【解析】選B.根據正切的函數定義，角A的正切應是它的對邊與鄰邊的比，所以B是正確，A是∠B的正切；C和D都錯．BBAEDC30°A2.（黃岡中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝則tanB＝（）3.（丹東中考）如圖，小穎利用有一個銳角是30°的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m（即小穎的眼睛距地面的距離），那么這棵樹高是（）B4．（懷化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=則cosB的值等于（）5.（東陽中考）如圖，為了測量河兩岸A.B兩點的距離，在與AB垂直的方向點C處測得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（）A.a·sinαB.a·tanα