2023高考數學復習 23　最值、范圍問題

微專題23最值、范圍問題

高考定位解析幾何中的最值與范圍問題是解析幾何中的典型問題，是教學的重

點也是歷年高考的熱點.解決這類問題不僅要善于利用幾何手段對平面圖形進行

研究，而且要從代數角度進行函數、三角等相關運算.

真題研析類題突破研真題析類題

2

［高考真題］(2022?浙江卷)如圖，已知橢圓?√=L設A,B是橢圓上異于P(O,

1)的兩點，且點Q(0,J)在線段AB上，直線以,PB分別交直線y=-∣x+3于C,

D兩點.

⑴求點P到橢圓上點的距離的最大值；

(2)求ICDl的最小值.

解⑴設M(2√5COS8,Sine)(8∈［0,2兀))是橢圓上任意一點，

由P(0,1),知?PM?2=12COS2∕9+(1—sin9)2=13—11Sin2。一2sinθ

144(1'21441

=T-11sin9+γγ,Wη~p,當且僅當Sine=-??時取等號，

故IPM的最大值是卑??,

即點P到桶圓上點的距離的最大值為卑??

(2)易知直線AB的斜率存在，設直線A&y=kx+^,聯立直線AB與橢圓的方程,

消y整理得(爐+?卜+丘一(=0.

設AQi,?i),B(X2,"),

k

則Xl+冗2=一1，

^2+?

3

X1X2

?+?)

直線PA的方程為y="τ~x+?,

?I

代入y=-^x+3,

整理得XC=廣C**——V

xι+2yι-2(2?+1)xι~1

同理可得'嶗益T(VI，

則ICQl=yi7IkC-XDl="|⑵+票XLl4x2

(2攵+1)X2—1

Xl-X2,

1

[(2^+1)??-l][(2A:+1)Λ2-1]

_∣-_______________X?-X2

2Λ∕5∣(2?+l)2χ↑χ2—(2/:+1)(xι+x2)+1

3小Λ∕16?2+1,

=2-I3?+11

6√5W2+1Xd?+1

5?3k+l?

4^x(+lXl)

?6√5

-5?3k+↑?

6√5

5，

3

當且僅當4攵=不

3

即Z=需時等號成立,

所以當Z=諱時，∣CD∣取得最小值，最小值為力一.

樣題1(2022?北京豐臺區(qū)模擬改編)已知橢圓C=^-+y2=l的左、右頂點分別為A,

B,P是橢圓C上不同于A,B的一點，直線布，PB與直線尤=4分別交于點M,

N,若IMMW4,求點尸橫坐標的取值范圍.

解設PQn,n)(~~2<m<2),

易得A(—2,0),BQ,0),

所以直線AP,BP的方程分別為

Yl幾

y=κɑ+2),k=?L2),

令x=4,得點M的縱坐標為加=癮，

9H

點的縱坐標為

Nm—2

?6〃2〃4〃(加一4)

所以l

IMM=m-2"汴一4

因為點P在橢圓c±,

2

所以詈+/=1,

22

即m—4=-4n9

〃一4

則IMNI=

—n

因為IMNl<4,

m—4

所以一〃≤4,

即(〃L4)2W16/,

所以(〃?一4)2≤—4(m2—4),

整理得5m2-8m≤0,

Q

解得04"瑞

-Q-

故點P橫坐標的取值范圍是O,f.

99

樣題2(2022.馬鞍山模擬改編)在平面直角坐標系My中，橢圓E的方程為叁+]=

1,若坐標原點到直線/：y=丘+機的距離為1,直線/與E交于A,B兩點,求H同

的最大值以及此時直線/的方程.

∣m∣

解由坐標原點到直線/：y=依+機的距離為1,可知

Λ∕I+?2

得m2=k2-∣-1,

y=kx+m,

聯立

得(23+l)x2+Akmjc+2∕n2—8=0,

當直線/與橢圓E交于兩點時，滿足/>0,

即J=(4W-4(2?2+l)(2zn2-8)>0,

得∕=56S+24>0恒成立，

設A(XI,yι),B(X2,>2),

4krn2汴一8

則Xl÷X223+1'XIX2=2斤+］，

則IABl=??∣l+爾(尤i+x2)2-4九1X2

=2√2?√T÷P??^

2啦?/(?2+1)(7?2+i5~

12F+1，

令2Λ2+lj

則記=丁~

代人得|A8|=A.3D：7LD

=#\/-T)+16,

由f21,可知0<;W1,

故當f=l時，IABl取得最大值2瓜

此時，Z=O,w=+l,直線/的方程為y=l或y=-1.

綜上，IABl的最大值為2加，直線/的方程為y=l或y=—1.

樣題3(2022?長沙聯考改編)已知橢圓C：~+y2=l,其右焦點為R經過點尸的

直線/交橢圓C于P,。兩點，點M—1，0),求aNPQ面積的最大值.

解易知/不與X軸重合，設/的方程為x=my+l,P(XI,yι),Q(X2,*),

.xz=my-?-1

J=8m2+8>0,

2m

所以"+"=一赤，

2

(XI、”.f-.~~?~Tl~^；∕δ(/M+D2&X?‰2+ι

所以Iy2-H=N(yι+y2)-4yιy2=γ(//?+2)2=^+2

所以SANPQ=習NflIy2—??∣=2×2×∣>'2-yι∣=∣p—yι∣=

令t=y∕m2+l,則t?1,

當且僅當r=γ,

即r=l時，等號成立，

此時，/層+1=1,即加=0,

所以ANPQ面積的最大值為也.

規(guī)律方法求解范圍、最值問題的常見方法

(1)利用判別式來構造不等關系.

(2)利用已知參數的范圍，在兩個參數之間建立函數關系.

(3)利用隱含或已知的不等關系建立不等式.

(4)利用基本不等式.

訓練已知拋物線γ2=2px(p>0)的焦點/到點M(0,2)的距離為小.

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線AB過點(2,0)與拋物線交于A,B兩點,B關于X軸的對稱點為。，直

線Ao與X軸的交點為E,求點E到直線AB的距離的取值范圍.

解(1)由題意可知拋物線的焦點理，0),則點尸到M(0,2)的距離

d=?l噴+4=小,

解得p=2或〃=—2(舍負)，

所以拋物線的方程為V=4χ.

(2)設直線AB的方程為X=〃少+2,

A(xι,γ∣),3(x2,”)，O(X2,—y2),

{x=my-?-2,

聯立直線AB與拋物線的方程2

[y2=4x,

消去X可得y2-4my-S=Q,

J=16m2+32>0,

所以yι+y2=4∕n,yi”=-8.

直線AO的方程為

yι+j2

Lyl=(X—Xl),

X]~X2

?.,—yi(Xl-X2)y∣Λ2÷V2XI

當y=0時，X=Xl+q-T--------=λ,?.

y十"y∣+γ2

將x2=∕ny2+2,XI="zyι+2代入上式可得

迎送

√VII乙乙,

y?+yι

所以點風一2,0),

所以點E到直線AB的距離

?=L2-2|_4

?/l+(-//2)2γ∣1+zn2

因為qi+'p'i,

所以"∈(0,4],

即點E到直線43的距離的取值范圍為(O,4],

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.(2022?贛州模擬改編)已知直線y=履+〃2與橢圓：了+產=1相交于A,B兩點,

與y軸交于點M,若存在加使得為+3為=4而，求實數m的取值范圍.

解設A(XI,??),Ba2,”)，

XX

又M(O,m)，由次1+3為=4而得(Xi+3x2,γι+3y2)=(0,4m),Λ∣=-32,

得(4?2+1)Λ2+8kmx-i-4m2—4=0.

VJ=(8M2-4×(4?2+l)×(4∕√-4)>0,

即64k2—16m2+16>0,

.?.4?2-λn2+1>0,

由根與系數的關系得Xl+X2=-XIX2=北+：,

又Xl=-3x2,

.4km

??X2=4∕+1'

2

(4kmY4/7z2—4

為?%I,

則2=_3/=_3(4F+J=4F+1

.*.16k2m2—4?2+m2—1=0,

.2^2~1

,"4-16m2*

代入4?2-m2+1>0,

///2-J1

得"j一m2>0,~τ<m2<l,

1—4m4

解得機∈(-1,—0u(3,1),

.?.實數，〃的取值范圍是

I-加&1)?

2.如圖，已知橢圓Cf+γ=l,點P(2,1)為橢圓C上一點.過點尸作兩直線/1

與/2分別交橢圓C于A,B兩點，若直線人與/2的斜率互為相反數，求IABl的最

大值.

解設直線/1為y=k(χ-2)+1,

則直線h為y——左(x—2)+1,

y=k(X—2)+1,

聯立

=1,

整理得(2d+l)f+(4A—8d)x+(8F—8A—4)=0,

由J=(4?-8?2)2-4(2A2÷1)(8。一8A—4)=16(2+1)2>0,解得A≠一1,

R,8Λ2-8JI-4

又由XAXP=-2∣c+1-

4Zr-4?-2

可得XA=

2床+1

—2—1

-

貝1]yA=k(xA2)+1=一2Zr+l

4?2+4%-2

同理可得XB=

2d+1

-2?2+4?+l

”=2廬+1^^'

所以IABF=(XA-XBp+(泗一”)2=(2玄%)2=號≤J28]=16,

-，43+/+42\4出市+4

當且僅當七=±半時，等號成立,

因此，IABl的最大值為4.

3?(2022?淮安調研)設橢圓C：,+g=l(α>A>O)的左、右焦點分別為Fι,F2,離心

率為:，過原點。的動直線/與橢圓C交于M,N兩點，其中點M在第一象限，

且IMF2∣+WB∣=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過乃的直線交C于A,B兩點，求面積的最大值.

解(1)連接MFi,NFi.

線段MN與線段尸互相平分，則四邊形MnNR2為平行四邊形，

則INBI=IMRI,又IMF2∣+∣Nf'2∣=4,

所以IMRl+1MF2∣=2α=4,故a=2,

又e=2=T'故c=l,貝IJb=小，

故橢圓C的方程為Y+?=i.

(2)由題意知直線AB的斜率不為0,設直線AB的方程為x=/ny—1,A(x?,y?),

B(X2,m),

x=my-1,

{<+f=l,

消X得(3m2+4)γ2-6加)-9=0,

貝IJ=36m2+36(3m2+4)>0,

I6m

-9

3∕n2+4,

又尸ιB∣=2,所以的面積

5?ABF2=2∣FιF2∣?∣γι~y2∣

=^×2×??∣(y∣+y2)2―領口

=A∕f-?^-f+-36-

?[3m2+4)+3m2+4

144(w2÷1)

^?∣(3m2÷4)2

令r=n?+i,121,

所以當f=l,即m=O時取得最大值3,

所以4A8F2面積的最大值為3.

二'創(chuàng)新拓展練

4.(2022?長郡中學模擬)設橢圓C：5+5=1的左、右頂點分別為A,B.

⑴若P,。是橢圓上關于X軸對稱的兩點,直線AP,BQ的斜率分別為k?,fo(hfo≠O),

求同十網的最小值;

(2)已知過點。(0,—3)的直線/交橢圓。于M,N兩個不同的點，直線AM,AN

分別交y軸于點S,T,記丞=2前，訪=〃慶>(0為坐標原點)，當直線/的傾斜

角。為銳角時，求a+"的取值范圍.

解(1)由題意設點P(X0,yo),(2(x0,—yo),—3<xo<3,不妨令O<yo<小，

因為A(-3,0),3(3,0),

所以左1§，kι=

xo—3

則同十網=音一+A=事,

3+Xo3—Xo9~x6

由您+g=1可得9—面=黑

y??

則同+|依|=都,

因為O<