2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)18 旋轉(zhuǎn)【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)18旋轉(zhuǎn)一、綜合題1．（1）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE．如圖2，將△CDE繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a°，連接BE和AD，小明發(fā)現(xiàn)AD=BE，BE⊥AD，請你證明該結(jié)論．（2）猜想探究：如圖3，將△CDE繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a°(0<α<90)，此時恰好有CE⊥BE，連接AD，延長BE，交AD拓展探究：（3）如圖4，將△CDE繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)a°(90<α<270)2．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠B=∠E=30°，AC=AF=6，用這兩個直角三角形研究圖形的變換.（1）【翻折】如圖1，將△DEF沿線段AB翻折，連接CF，下列對所得四邊形ACBF的說法正確的是.①AB平分∠CBF、∠CAF，②AB、CF互相平分，③S四邊形ACBF=12AB?CF，④A、C（2）【平移】

如圖2，將△DEF沿線段AB向右平移，使D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)，連接CD、CF、FB，請猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由.（3）【旋轉(zhuǎn)】如圖3，將△DEF繞點(diǎn)C(F)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AC∥ED，連接AE、AD，則旋轉(zhuǎn)角為°，AD=cm.3．在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．（一）嘗試探究：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，∠EAF＝30°，連接EF．（1）如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△A′B′E′（A′B′與AD重合），請直接寫出∠E′AF＝度，線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖3，當(dāng)?shù)c(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請?zhí)骄烤€段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展延伸：如圖4，在等邊△ABC中，E、F是邊BC上的兩點(diǎn)，∠EAF＝30°，BE＝1，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′（A′B′與AC重合），連接EE′，AF與EE′交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，連接MN，求線段MN的長度．4．如圖（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DEF都是等邊三角形，邊BC和EF在同一直線上，O是邊BC的中點(diǎn)，BE=CF，連接AD，則下列結(jié)論正確的是．（填序號即可）①OE=OF；②AD=BE；③AD⊥BE；④整個圖形是軸對稱圖形．（2）數(shù)學(xué)思考：將圖1中的△DEF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△ABC不動，連接AD和BE，如圖2，則AD和BE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；（3）拓展應(yīng)用：已知AB=8cm，DE=4cm，在圖1中的△DEF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)BE⊥DF時，求線段AD的長度．5．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上的動點(diǎn)（與點(diǎn)A，C不重合），連接BE．（1）將射線BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AC于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖1；②小深通過觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段AE，F(xiàn)C，EF存在以下數(shù)量關(guān)系：AE與FC的平方和等于EF的平方．小深把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成證明該猜想的幾種想法：想法1：將線段BF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BM，要證AE，F(xiàn)C，EF的關(guān)系，只需證AE，AM，EM的關(guān)系．想法2：將△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要證AE，F(xiàn)C，EF的關(guān)系，只需證EN，F(xiàn)N，EF的關(guān)系．…請你參考上面的想法，用等式表示線段AE，F(xiàn)C，EF的數(shù)量關(guān)系并證明；（一種方法即可）（2）如圖2，若將直線BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)135°，交直線AC于點(diǎn)F．若正方形邊長為2，AE：EC=2：6．（1）【問題初探】如圖1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊一點(diǎn)，以BD為腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°．連接CD，CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF．猜想并證明線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）【深入探究】在（1）的條件下，如圖2，將等腰Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）【拓展遷移】如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠BDE=12∠BAC．連接CD，CE，點(diǎn)F為CDRt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為：；②若BC=413，BD=23，當(dāng)點(diǎn)F在等腰△ABC內(nèi)部且∠BCF的度數(shù)最大時，線段AF的長度為7．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn).（1）觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值.8．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E兩點(diǎn)分別在AB，AC上，且DE∥BC，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時，線段BD，CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究當(dāng)0°≤α＜360°時，（1）中的結(jié)論有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決設(shè)DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋轉(zhuǎn)至A，B，E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BE的長．9．如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，過點(diǎn)O引一條射線OC，使∠AOC=50°，將一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn).當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.（1）∠BOC的度數(shù)是，圖1中與它互補(bǔ)的角是.（2）三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可表示為（用含t的代數(shù)式表示）；當(dāng)t=時，MO⊥OC.（3）【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上.如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)0≤t≤623，是否存在某個時刻，使得∠COM與10．閱讀下面材料.小炎遇到這個一個問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由.小炎是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中，她先嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB、AD是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法.她的方法是將△ABE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，再利用全等的知識解決這個問題（如圖2）.參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）寫出小炎的推理過程；（2）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足于關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；（3）如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的長.11．請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動點(diǎn)，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把△AEC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動點(diǎn)E在線段BC上，動點(diǎn)D運(yùn)動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請你找出一個條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù).12．如圖，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，①求線段DE與AC的位置關(guān)系；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，求S1（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、13．綜合與實(shí)踐問題情境：將兩個完全相同的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE按圖1方式放置，∠ACB=∠DCE=90°，將Rt△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD，AE與BD相交于點(diǎn)G．猜想證明：（1）在圖1中，請判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到CE//AB時，如圖2，證明：AE平分∠BAC；（3）若旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，連接BE、此時△BCE恰好是等邊三角形，AE與BC相交于點(diǎn)F，請你直接寫出BFCF14．含有45°的直角三角板ABC和含有30°的直角三角板BDE按如圖1放置，AB和BE重合.【操作一】三角板ABC保持不變，將三角板BDE繞著點(diǎn)B以每秒15°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn).當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.（1）當(dāng)t=0時，∠CBD=度.（2）求t為何值時，BD⊥BC.【操作二】如圖2，在三角板BDE繞著點(diǎn)B以每秒15°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，三角板ABC也繞著點(diǎn)B以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0<t≤18）.（3）求t為何值時，BD與AB重合.（4）試探索：在兩個三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得∠ABD與∠ABE中其中一個角是另一個角的兩倍？若存在，請求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請說明理由.15．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個案例，請補(bǔ)充完整.原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由.（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合.∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F、D、G共線.根據(jù)，易證△AFG≌，得EF=BE+DF.（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF.（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程.16．某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB=∠ECD=90°，隨后保持△ABC不動，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點(diǎn)F，連接CF.該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：【初步探究】（1）如圖2，當(dāng)ED∥BC時，則α=；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時，請直接寫出AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由.（4）如圖5，在△ABC與△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，若BC=mAC，CD=mCE（m為常數(shù)）.保持△ABC不動，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點(diǎn)F，連接CF，如圖6.試探究AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.17．如圖（1）（問題發(fā)現(xiàn)）

如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）（探究證明）

如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；（3）（拓展延伸）

如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段BE的長度．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如圖，延長BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∴∠DCA=∠ECB，在△ADC和△BEC中，DC=EC∠DCA=∠ECB∴△ADC≌△BEC(∴AD=BE，∵∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠AGF，∴∠DAC+∠AGF=90°，∴∠AFG=90°，∴BE⊥AD；（2）解：正方形，理由：∵∠DCE=90°，由（1）知，∠EFD=90°，∴四邊形CDEF是矩形，∵DC=EC，∴四邊形CDFE是正方形；（3）解：由（1）知，BE⊥AD，S四邊形AEDB∵CE+CB>BE，∴當(dāng)點(diǎn)C在線段BE上，且AC⊥BE時，即△CDE繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)180°時，四邊形AEDB的面積有最大值，此時BE=AD=2+1=3，∴S四邊形AEDB即四邊形AEDB的面積的最大值為922．【答案】（1）①③④（2）解：∵△DEF沿線段AB向左平移，∴AB∥CF，CF=BE.∵△DEF是直角三角形，D是AB的中點(diǎn)，∴BE=BD=BF=1∴CF=BD∵AB∥CF，∴四邊形BDCF是平行四邊形.∵BD=BF，∴四邊形ABEF是菱形.（3）120；63．【答案】（1）30；BE＋DF＝EF（2）解：如圖3，在BE上截取BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，且AG＝AF，∵∠DAF＋∠DAE＝30°，∴∠BAG＋∠DAE＝30°，∵∠BAD＝60°，∴∠GAE＝60°-30°＝30°，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，∵AG＝AF，∠GAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝FE，又∵BE-BG＝GE，BG＝DF，∴BE-DF＝EF，即線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為BE-DF＝EF；（3）解：如圖4，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′E′，則AE＝AE′，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等邊三角形，又∵∠EAF＝30°，∴AN平分∠EAF，∴AN⊥EE′，∴直角三角形ANE中，ANAE＝3∵在等邊△ABC中，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴AMAB＝3∴ANAE又∵∠MAN＋∠EAM＝30°，∴∠BAE＝∠MAN，∴△BAE∽△MAN，∴MNBE=AMAB，即∴MN＝324．【答案】（1）①③④（2）解：AD=3BE，連接AO，OD，由圖1，OB=OC，BE=CF，可得OE=OF．△DEF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OE=OF仍然成立．∵△DEF是等邊三角形，∴DO⊥EF，∠EDO=1∴OD=3同理，AO⊥OB，OA=3∴AO：OB=DO：∴∠BOE=∠AOD．∴△BOE∽△AOD．∴AD=3BE，延長BE交AD于H點(diǎn)，交AO于l點(diǎn)，又∠AIH=BIO，∴△AIH∽△BIO．∴∠HIA=∠IOB=90°．∴AD⊥BE．（3）解：當(dāng)BE⊥DF時，∵AD⊥BE，∴A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線．如備用圖1，設(shè)BE=xcm，則AD=3xcm．∵∴在Rt△ABH中，(3解之得：x=?3±15∴x=即AD=35如備用圖2．設(shè)BE=ycm，則AD=3ycm．∵∴在Rt△ABH中，(y?23解之得：y=3又y>0，∴y=即AD=35綜上所述，AD=355．【答案】（1）解：①補(bǔ)全圖形，如圖1所示：②AE想法1：過B作MB⊥BF，使BM=BF，連接AM、EM，如圖2所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵∠3=45°，∴∠MBE=∠3=45°，在△MBE和△FBE中，BM=BF∠4=∠3∴△MBE≌△FBE(SAS)，∴EM=EF，∵∠4=90°?∠ABF，∴∠4=∠5，在△AMB和△CFB中BM=BF∠4=∠5∴△AMB≌△CFB(SAS)，∴AM=FC，∴∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，AE∴AE想法2，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，將△ABE沿BE翻折，得到△NBE，∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC=BN∵∠EBF=45°，∴∠EBN+∠NBF=45°∴∠ABE+∠FBC=45°∴∠FBC=∠NBF在△NBF和△CBF中，BN=BC∠FBC=∠NBF∴△NBF≌△CBF，∴∠3=∠4=45°，∴∠2+∠3=90°，在Rt△ENF中，EN∴AE（2）解：如圖所示，過B作MB⊥BE，使BM=BE，連接ME、MF、AM，∵直線BE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)135°，交直線AC于點(diǎn)F，∴∠FBE=180°?135°=45°，∴∠MBF=90°?45°=45°，∴∠FBE=∠MBF，在△MBF和△EBF中，BM=BE∠MBF=∠FBE∴△MBF≌△EBF(SAS)，∴MF=EF，∵∠MBA=90°?∠ABE，∠EBC=90°?∠ABE，∴∠MBA=∠EBC，在△AMB和△CBE中，BM=BE∠MBA=∠EBC∴△AMB≌△CBE(SAS)，∴AM=EC，∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，∴∠MAF=90°，在Rt△MAF中，AF∴AF∵正方形邊長為2，∴AC=22∵AE：設(shè)EC=3x，則AE=2x∴AE+EC=5x=2解得：x=∴AE=設(shè)AF=a，則EF=AF+AE=4∵AF∴a2解得：a=∴AF=26．【答案】（1）解：AF=12CE如圖，延長AF交CE于點(diǎn)P，∵△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵△BDE為等腰直角三角形，∠DBE=90°，∴DB=EB，∠DBC=∠EBC=45°，又∵BC=BC，∴△DBC≌△EBC，∴CD=CE，在Rt△ADC中，∵點(diǎn)F為斜邊CD的中點(diǎn)，∴AF=1∴AF=1設(shè)∠DCB=α，則∠ACF=45°?α，∵△DBC≌△EBC，∴∠FCP=2∠DCB=2α，在Rt△ADC，∵點(diǎn)F為斜邊CD的中點(diǎn)，∴AF=FC，∴∠ACF=∠FAC=45°?α，∴∠PFC=∠ACF+∠FAC=90°?2α，∴∠FPC=180°?∠PFC?∠FCP=180°?(90°?2α)=90°，∴AF⊥CE；（2）解：結(jié)論AF=12CE如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，OF，延長AF分別交BC，CE于點(diǎn)K，H，∵點(diǎn)F，O分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴BD=2OF，∵BD=BE，∴BE=2OF，在等腰Rt△ABC中，∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴BC=2BO=2AO，AO⊥BC，∴OF∵點(diǎn)F，O分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴OF∥BD，∴∠FOC=∠DBC，∵∠AOF=90°?∠FOC，∴∠CBE=∠DBE?∠DBC=90°?∠DBC=90°?∠FOC，∴∠AOF=∠CBE，∴△AOF∽△CBE，∴AFCE=∵△AOF∽△CBE，∴∠OAF=∠BCE，在△AOK和△CKH中，∵∠OAK=∠KCH，∠AKO=∠CKH，∴∠CHK=∠AOK=90°，即AF⊥CE．綜上：AF=12CE（3）CE=23AF7．【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN（2）解：△PMN是等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD?△ACE(∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位線得，PN=12BD∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S8．【答案】（1）BD＝EC（2）解：如圖2中，結(jié)論不變．理由：∵AB＝AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC．（3）42或229．【答案】（1）130°；∠AOC（2）15t度；83或（3）解：當(dāng)OM在OC左側(cè)時，（ⅰ）∠COM：由題意得：2×5t=130?15t，解得：t=26（ⅱ）∠COM：由題意得：5t=2(解得：t=52②當(dāng)OM在OC右側(cè)時，（?。螩OM：由題意得：5t=2(解得：t=52（ⅱ）∠COM：∠COE=2：∴綜上所述，當(dāng)t=265或52710．【答案】（1）解：如圖所示，將△ABE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三點(diǎn)共線，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF；（2）∠B+∠ADC=180°（3）解：如圖所示，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，∴∠B=∠ACG，BD=CG=1，AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°，∠ACG+∠ACB=90°，即∠ECG=90°，∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGE(SAS)，∴GE=DE，在Rt△CEG中，由勾股定理得GE=C∴DE=GE=511．【答案】（1）解：DE（2）解：關(guān)系式DE證明：將△ADB沿直線AD對折，得△AFD，連接FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，F(xiàn)D=DB，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC?∠BAE=90°?(∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC∴∠DFE=∠AFD?∠AFE=135°?45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF即DE解法二：將△EAC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△TAB.連接DT.∴∠ABT=∠C=45°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE(SAS)，∴DT=DE，∵D∴DE（3）解：當(dāng)AD=BE時，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.如圖，與（2）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，∴AD=DF，∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.若使△DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴當(dāng)AD=BE時，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形，且頂角∠DFE為120°.12．【答案】（1）解：①如圖②中，由旋轉(zhuǎn)可知：CA=CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAD=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴∠DCA=60°，∵∠ECD=90°，∠DEC=30°，∴∠CDE=60°，∴∠EDC=∠DCA，∴DE∥AC，②∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，則，AB=2AC，AD=AC，∴AD=BD，∴S△BDC=∴S△BDC∵DE∥AC，∴S△ADC∴S即：S1（2）解：如圖③中，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°?∠DCE=180∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，∠ACN=∠DCM∠ANC=∠DMC=9∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN=DM，∴SS∴S△BDC13．【答案】（1）解：AE=BD，AE⊥BD，證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD，又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，又∵∠1=∠2，∠BGA=180°-∠CBD-∠2∠BCA=180°-∠CAE-∠1，∴∠BGA=∠BCA=90°，∴AE⊥BD（2）解：證明：∵CE//AB，∴∠BAE=∠AEC，又∵AC=CE，∴∠EAC=∠AEC，∴∠BAE=∠EAC，∴AE平分∠BAC，解決問題：（3）解：314．【答案】（1）105（2）解：由題意，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到BD⊥BC時，旋轉(zhuǎn)角度為105°?90°=15°或105°+90°=195°，∴t=15°÷15°=1或t=195°÷15°=13，故當(dāng)t=1或13時，BD⊥BC（3）解：由題意，AB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為5t°，BD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為15t°，∵0<t≤18，∴當(dāng)BD與AB重合時，15t°?5t°=60°，解得：t=6（4）解：當(dāng)BD與AB重合前時，若∠ABD=2∠ABE，如圖2，則∠ABD=2∴5t°+60°?15t°=40°，解得t=2；若∠ABE=2∠ABD，如圖，則∠ABD=1∴5t°+60°?15t°=20°，解得t=4；當(dāng)BD與AB重合后，如圖∠ABE=2∠ABD，則∠ABD=60°，∴15t°=60°+5t°+60°，解得t=12，綜上，滿足條件的t值為2或4或12.15．【答案】（1）SAS；△AFE（2）∠B+∠D=180°（3）解：聯(lián)想