新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3正態(tài)分布學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊

3．3正態(tài)分布新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一正態(tài)曲線與正態(tài)分布函數(shù)p(x)＝12πσe-x-μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0，μ∈R)為參數(shù)，p(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線?.此時我們稱隨機(jī)變量批注?概率密度曲線能反映隨機(jī)變量X的取值規(guī)律以及它取值在某個區(qū)間的概率，它所起到的作用與離散型隨機(jī)變量分布列的作用是相同的．要點二正態(tài)分布密度曲線的特點1．曲線位于x軸上方，與x軸不相交；2．曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱；3．p(x)在________處達(dá)到最大值124．當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；5．σ越大，正態(tài)曲線越扁平，σ越小，正態(tài)曲線越尖陡；6．曲線與x軸之間所夾區(qū)域的面積等于________．要點三正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)?，則E(X)＝________，D(X)＝________．批注?特別地，數(shù)學(xué)期望μ＝0，方差σ2＝1時的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．要點四正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率1．P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%；2．P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%；3．P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈99.73%?.批注?在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，簡稱為原則．基礎(chǔ)自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．()2．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，則P(X<4)等于()A．15B．14C．133．如圖是三個正態(tài)分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲線，則三個隨機(jī)變量X，Y，Z對應(yīng)曲線的序號依次為()A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②4．已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，則μ＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性正態(tài)曲線的應(yīng)用例1已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖象如圖所示．(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式；(2)求出總體隨機(jī)變量的期望與方差．方法歸納正態(tài)密度函數(shù)解析式的求法利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實質(zhì)，主要有兩點：一是對稱軸x＝μ，二是最值1σ2π，這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ鞏固訓(xùn)練1(多選)某市高二期末質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的項是()A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同正態(tài)分布的概率計算例2設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．方法歸納正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略鞏固訓(xùn)練2在某次測驗中，測驗結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，則P(70<ξ<90)＝________．正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用例3某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下(單位：cm)：979798102105107108109113114設(shè)這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(1)求μ與σ；(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z(單位：cm)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．①從這批零件中隨機(jī)抽取5個，設(shè)這5個零件中內(nèi)徑小于87cm的個數(shù)為X，求E(4X＋3)；②若該車間又新購一臺新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：cm)分別為86，95，103，109，118.以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問這臺設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？說明理由．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99.方法歸納正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．鞏固訓(xùn)練3在某校舉行的一次數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布N(70，100)．已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有16名．(1)試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少？(2)若該校計劃獎勵競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生，試問此次競賽獲獎勵的學(xué)生約為多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.3．3正態(tài)分布新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點]要點一N(μ，σ2)要點二2．x＝μ3．x＝μ6．1要點三μσ2[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：因為X～N(4，σ2)，所以直線X＝4為正態(tài)分布的對稱軸，所以P(X<4)＝12答案：D3．解析：由題意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因為當(dāng)σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三個隨機(jī)變量X，Y，Z對應(yīng)曲線的序號依次為①，②，③.答案：A4．解析：因為P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝-1+52答案：2題型探究·課堂解透例1解析：(1)從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝8000對稱，最大值為1500所以μ＝8000，由12π·σ＝15002所以概率密度函數(shù)的解析式為P(x)＝12πσe-x-μ22σ2＝(2)則總體隨機(jī)變量的均值為8000，方差為250000.鞏固訓(xùn)練1解析：由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.答案：AD例2解析：因為X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因為P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ≈12(0.9545－0.6827)＝鞏固訓(xùn)練2解析：因為ξ服從正態(tài)分布N(80，σ2)，所以P(ξ<80)＝0.5，所以P(70<ξ<90)＝2[P(ξ<90)－P(ξ<80)]＝2[1－P(ξ>90)－P(ξ<80)]＝2(1－0.2－0.5)＝0.6.答案：0.6例3解析：(1)μ＝110(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝110(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，則σ(2)①∵Z服從正態(tài)分布N(105，36)，∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－0.99732＝0.00135，則X～B(5，0.00135)∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.00135＋3＝3.027.②∵Z服從正態(tài)分布N(105，36)，∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973，∴5個零件中恰有一個內(nèi)徑不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率為〖C510.99734×(1∵86?[87，123]，∴試生產(chǎn)的5個零件就出現(xiàn)了1個不在[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，出現(xiàn)的頻率是0.013355的15倍左右，根據(jù)3σ原則，需要進(jìn)一步調(diào)試．鞏固訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，因為X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，則P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝