高考數(shù)學(xué)5年高考真題與模擬04數(shù)列理

【備戰(zhàn)2013】高考數(shù)學(xué)5年高考真題精選與最新模擬專題04數(shù)列

理

[2012高考試題】

1.[2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列但"｝中，&=1,4=5則(??｝的前5項(xiàng)和

邑二

A.7B.15C.20D.25

【答案】3

【解析】因?yàn)?=1，4=5,所以可+生=%+/=6,所以數(shù)列的前$項(xiàng)和

^=5(aLZf￡)=5(aL：ai)=5><6=15

2.12012高考真題浙江理7】設(shè)S"是公差為d(d#0)的無(wú)窮等差數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和，

則下列命題錯(cuò)誤的是

A.若d<0,則數(shù)列｛S?｝有最大項(xiàng)

B.若數(shù)列｛S?1有最大項(xiàng)，則d<0

C.若數(shù)列｛S?｝是遞增數(shù)列，則對(duì)任意〃eN",均有5">°

D.若對(duì)任意"wN*,均有S”>°,則數(shù)列(S?｝是遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：一1,。，1,2,3,....滿足數(shù)列｛S*｝是遞增

數(shù)列，但是S*>0不成立.故選C.

3.12012高考真題新課標(biāo)理5】已知｛""｝為等比數(shù)列，2+%=2,%%=-8,則4+%o=

()

(A)7⑻5(0-5(￡?)-7

【答案】D

【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以生&=%&-=-S,又牝-所以

a4=4,=—一a；=-2,a--4-trt*a：=4,a-=-~a1=-S,a「=1

%+q:=一若氏=-2,a-=4,解得a1:=_8,可=1,仍有%+q：=_-,綜上

選D.

1.n7V

cin=_sin—g_.

4.[2012高考真題上海理18]設(shè)“25,d?=a\+a2+--+??,在

S”S2,…,Si。。中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】當(dāng)3"幺』時(shí),4>0,當(dāng)26中臺(tái)9時(shí),^<0,但其絕對(duì)值要小于1爐幺4

時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)門(mén)口”三打時(shí)，4>口，當(dāng)？6M?wgg時(shí)，冬：〈口，但其絕對(duì)值要小于二三'?三?4

時(shí)相應(yīng)的值，.??當(dāng)區(qū)曾口Q0時(shí),均有S，>L

5.[2012高考真題遼寧理6]在等差數(shù)列｛a｝中,已知&+所16,則該數(shù)列前考項(xiàng)和51=

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

l-J：

va,+<?,,=a4+<?；=16..'.5,,=~=88

【解析】在等差數(shù)列中，2,答案為

B

7T

6.[2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)7(x)=2x-cosx,｛4｝是公差為京的等差數(shù)列，

/(%)+/(%)+…+/(/)=5%，則"(。3)]2-。1。5=()

1

2三2

-不

AOa8

、I）、16

t答案】D

【解析】--/(a)=(2a-cosa)-(2a:-cosa:)----(2a-cosa)=

兀

即2（q+生+…+生）-（8叼+3生+…+c。汨）=5'而也｝是公差為§的等差數(shù)

列，代入2(/+%+…+%)-(cos6+cos生+…+cos生)=5笈，gp1°生一[cos(生——)

<rr<rr^rr

+cos(a3-Q)+cos生+cos(生+1)+cos(生+j)】=5冗

-71.71

v(2cos—+2cos—+1)cos%

48不是萬(wàn)的倍數(shù),

10%=5兀,:「?"(內(nèi))〕一=(2X—-0)2-(—-—)(—+—)

_13乃

16,故選D.

7.[2012高考真題湖北理7]定義在（-8,0）U（0,E）上的函數(shù)/（x）,如果對(duì)于任意給

定的等比數(shù)列｛/（”"）｝仍是等比數(shù)列，則稱/（X）為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義

在（一雙0）U（0,??）上的如下函數(shù)：

①，（勸=/；②/（x）=2*；③/（xXi/iTi；④/（x）=lnlxl.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的〃X）的序號(hào)為

①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，4氏-2=笈-1,①

Jla”f凡->)=a,；。；-:=?"liJ=f-14+1)②

f(ajf(4-)=242J=2々-*h2"?=f2(%)③

〃4)『(4-:)=他an|==/論z)④

J=h卜加鼠-:卜㈣4M「=

8.12012高考真題福建理2】等差數(shù)列瓜｝中，ai+as=10,a4=7,則數(shù)列｛aj的公差為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B.

%=%+%=5____

【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知,2，又,.?4=7,.?4=%—%=2

9.12012高考真題安徽理4】公比為正等比數(shù)列｛*的各項(xiàng)都是正數(shù)，且為卬=16,

則1幅％6=()

(A)4(B)5(C)6(D)7

【答案】B

［解析】〃3ali=16=a；=16=%=4n%6=%'d=32<z>log2al6=5

10.12012高考真題全國(guó)卷理5】已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為as=5,S尸15,則

數(shù)列1-的前100項(xiàng)和為

1009999101

(A)而(B)101(0Too(D)WO

【答案】A

【解析】由%=5廠5=15得％=L"=1,所以用=1+("1)=〃，所以

---1-------1---——1―---1-

&q：Tn(ri+1)n”+1,又

1111111111100

%a：al：.alzl1223100101101101,選打

lL【2012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S“。若S2=3a2+2,

S4=3ai+2,貝UQ-o

【答案】2

【解析】將S：=3&+2,S尸34+2兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用A,a表示的式子.

q+qg=3o1g+2

即L+3,+巧/+，才=為,+2,兩式作差得：。：+a爐=3巧式/-1）,即.

-"3=0,解之得：倍去）.

12.[2012高考真題四川理16]記[劃為不超過(guò)實(shí)數(shù)》的最大整數(shù)，例如，Pl=2,[1.5]=1,

ai

Xn+[r一]

x*

[-0.3]=-1。設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足』=Q,玉"一[2"cN），現(xiàn)有下

列命題：

①當(dāng)a=5[3寸，數(shù)列｛居｝的前3項(xiàng)依次為5,3,2；

②對(duì)數(shù)列*"｝都存在正整數(shù)k,當(dāng)n?k時(shí)總有％=4；

③當(dāng)〃21時(shí)，%>y[a-l

④對(duì)某個(gè)正整數(shù)%,若Z+iX,則x"=[G]。

其中的真命題有。（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

【答案】①③④

【解析】當(dāng)&=5時(shí)，芭=&=5J2，”-2.，故①正確；同

樣嗡證可得③④正確，②錯(cuò)誤.

13.12012高考真題新課標(biāo)理16】數(shù)列伍"｝滿足°"M+(一D"”"=2〃-1,則｛%｝的前60項(xiàng)

和為_(kāi)______

【答案】1830

【解析】由47+(-1＞生—得，

a一=(T)&]++1=(-1)，:[(-1)^a,+2n-l]+2n+l

K

=-an+(-l)(2n-l)+2n+lt

即a-+4=(T)"(%-D+%+1,也有A.+a,-=-(-1)+1)+2,-3,兩

式相加得外+%+4-：+=_MF'.，設(shè)4為整數(shù)，

則a&T+4：_：+4y+a4i-4=-2(-1)*'，+4(4-+1)+4=16k+10,

1414

S;:=工(％』+八一+%1+%1)=工(16左+10)=1830

于是Z2

14.［2012高考真題遼寧理14］已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，且

a；=%o,2(a“+%+2)=5a“+|,則數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式&=。

【答案】2"

［解析］:=%。",=a闖％=q，：?an=q"，

2(a“+a“+2)=5a“+”，2a“(1+/)=5anq,：.2(1+q?)=5/解得q=2或q=g(舍去)，：.an=2"

15.12012高考真題江西理12］設(shè)數(shù)列｛aj,｛bj都是等差數(shù)列，若為+仇=?，

【答案】35

【解析】設(shè)數(shù)列的公差分別為d力，則由生+&=21,得

q+,+2(6+W=21,即2(6+d)=21_1=14,所以6+d=7,

所以生+四=q+4+4。+d)=了+4x-=35

"]=_1

16.12012高考真題北京理10]已知似"｝等差數(shù)列S”為其前n項(xiàng)和。若'2,5?=%

則〃2二

S.,=—>7：+—^7

【答案】生=1,-44

S、=a：na】+a、=a：=>q+a+d=臼+2d=d=0=!

【解析】因?yàn)?-2

,-S..=1孫+k(汽一l)d=-?7：+—

所以a：=a1+d=l,■-44.

17.[2012高考真題廣東理11圮知遞增的等差數(shù)列｛a?｝滿足吁1,%二電一一4,則a,=

【答案】2n-l

【解析】由生=":一'得到l+"=Q+d）：-4,即H：=4,應(yīng)為包；是因曾的等差

數(shù)列，所以d=2,故&=%T.

1

lrim.=---=

18.【2012高考真題重慶理12]”》42+5〃-〃

【答案】5

19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、2為公比的等比

數(shù)列，體積分別記為匕‘匕，…，則忸*1+%+…+匕）-?

8

【答案】亍.

1

【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項(xiàng)，§為公比的等比數(shù)列,

1--

_8,:

7T8八1、8

匕1-8三Q一正）?螞（八+r：+…+匕）=三

”=o=O,..二一35

tin.

a.=ncos—+1

2cl.【式”2高考真題福建理14]數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式2，前n項(xiàng)和為。

貝ISxi:=__________

【答案】3018.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)’的周期是4,所以數(shù)列SJ的每相鄰四項(xiàng)之和是一個(gè)常

■*OP

S?.,=^±x6=301S

數(shù)6,所以i4

21[2012高考江蘇20]（16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛"J和出/滿足:

can+b?

n￡N*

<-----

〃eN*,求證：數(shù)列J是等差數(shù)歹|」；

(1)設(shè)

%=41*—

(2)設(shè)明n&N*,且｛《J是等比數(shù)列，求4和々的值.

；?數(shù)列-I是以1為公差的等差數(shù)列.

..a>0,i>0.->-4-5J

'2-L

京士地(*)

設(shè)等比數(shù)列SJ的公比為g,由4>°知勺>°,下面用反證法證明片1

&1=—="va?4Wn>logc—?r-

若g”則q，，當(dāng),勾時(shí)，~=用/><，與（*）矛盾.

小，11

a^—>a2>1n>\ogs—「

若0<。<1，則.Q'，二當(dāng)"飛時(shí)，J與（*）矛盾.

..?綜上所述，度1..?.4=勾|?2*'*|,

如=3?包=立?4立

又????4q?I,...他J是公比是6的等比數(shù)列.

「―

若5則勾，干昂

^!=-片三-6=關(guān)三彳“尸用二行尸下

又由也+4即M-4一，得,℃-1,

:』勾勾中至少有兩項(xiàng)相同，與4〈冬〈今矛盾..?.6=&

=~=g

?q=4=近

【解析】(1)根據(jù)題設(shè)

z.\2/.\2

,如'：

-----5-J=]

從而證明也而得證.

1一告三40

(2)根據(jù)基本不等式得到44-4，用反證法證明等比數(shù)列SJ的

公比也

/v*ii>?s-i=A/2*—=-?^—

從而得到4=勾舊C?的結(jié)論，再由J用知化｝是公比是勾的

等比數(shù)列.最后用反證法求出q二6產(chǎn)點(diǎn).

22.[2012高考真題湖北理18】(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列伍/前三項(xiàng)的和為一3,前三項(xiàng)的積為8.

(I)求等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(II)若“2,%,4成等比數(shù)列，求數(shù)列｛I%”的前〃項(xiàng)和.

【答案】(I)設(shè)等差數(shù)列｛"”)的公差為4,則%=4+d,%=4+2”

J3q+3d=-3,J?j=2,Jq=-4,

由題意得K3+")("+2d)=s,解得筋=—3,或儲(chǔ)=3.

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

〃〃=2—3(n-1)=-3〃+5或an=-4+3(n-1)=3H—7

故%=-3〃+5,或%=3〃-7

(II)當(dāng)a=-3”5時(shí)，%,4,a：分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列；

當(dāng)a,=3〃-'時(shí)，生，4分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列，滿足條件.

,r-37i-7.n=Ll

a|=3??-7=<'-

故'13"7，心.

記數(shù)列｛HJ｝的前次項(xiàng)和為S：

當(dāng)也=1時(shí)，S：=4；=』；當(dāng)"2時(shí)，S：W4-a：H5；

當(dāng)北3時(shí)，

S.=S.-4-w—…—a.=5—(3x3—71—(3x4—7)—…—(3社-7)

_(?-2)[2-(3?-7)]_3-11

=丁s--------------------=-T—f?-1U

222.當(dāng)徨=2時(shí)，滿足此式.

14：??=1.

S.=’3.11

,-?r——?2-10.>1.

綜上，122

23.【2012高考真題安徽理21](本小題滿分13分)

數(shù)列｛怎｝滿足:玉=°,%+產(chǎn)—X；+乙+c(〃GN*)

(I)證明：數(shù)列｛X，，｝是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<°：

(II)求。的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。

【答案】本題考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函

數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題的能力，推理論證和運(yùn)算求解能力.

【解析】(二)必要條件

當(dāng)c<0時(shí)，*鵬=+/+cvX：=數(shù)列('J是單調(diào)遞減數(shù)列.

充分條件

數(shù)列KJ是單調(diào)遞遍數(shù)列=苴>三=fT+項(xiàng)+C=c<或=0,

得：數(shù)列｛x'-｝是單調(diào)遞瀛數(shù)列的充分必要條件是c<0.

(II)由(：)得：c2°,

①當(dāng)c=0時(shí)，冬=q=0,不合題意；

z

②當(dāng)c>0時(shí)，x：=oxlsx3=-c+2c>xz=c=O<c<l,

x-—毛=c-x*>0=x；vc<1=0=項(xiàng)S工：v&

X"：-x“i=-(4_1-X-)+(x^-xj=-(Xz-x,：)(x”i+4-1)

a

c<~工</工」n/+Xz-1v0i_

當(dāng)4時(shí)，2一.與同號(hào),

由x：一芭=c>On>0Ox^j>xn

lim工—=lim(-x^+x岸+c)Olimx.=&

11,

c>—x、->—n4+X、1>1nK、一x,

當(dāng)4時(shí)，存在X,使?2A-1-*'v”與玄—玄異號(hào)，與

數(shù)列｛?&｝是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，

0<c<—ZX

得：當(dāng)4時(shí)，數(shù)列t'J是單調(diào)遞增數(shù)列.

24.[2012高考真題湖南理19](本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù),記4(〃)=ai+az+...+a,5(n)=a2+ai+....+a?n,C(n)

=&+a,+...+a,*,后1,2>....

若?=1,&=5,且對(duì)任意〃WN*,三個(gè)數(shù)4"),B(n),C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)

列｛a.｝的通項(xiàng)公式.

證明：數(shù)列｛a｝是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意"6N*,三個(gè)數(shù)/

(加，BGC(n)組成公比為g的等比數(shù)列.

【答案】解(1)對(duì)任意〃eN*,三個(gè)數(shù)人(〃),8(〃),。(〃)是等差數(shù)列，所以

8(〃)一A(〃)=C(n)—8(〃)，

即”"+1-q=4+2,亦即%+2-4-I=&_q=4.

故數(shù)列｛""｝是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,于是為=1+(〃-DX4=4〃-3.

(II)(1)必要性：若數(shù)列3”是公比為。的等比數(shù)列，則對(duì)任意，，wN“，有

=%由&>°知，也喻3(啕c(”)均大于0,于是

8㈤_(kāi)/+生+.一+4.]_q(q+生+…+&_

用+a：+…+a?j生+^:+…+門(mén)二

C(?7)_生+4+...+4_：_q(生一生+…生-1，

----=-2-------------=-------------------=Q.

8(外)az+生+…+q1：az+生+…+々,一]

即忒玲=3(")=4,所以三個(gè)數(shù)義立3(啕CQ)組成公比為g的等比數(shù)列.

(2)充分性：若對(duì)于任意"W、”，三個(gè)數(shù)義立即/CS)組成公比為q的等比數(shù)列,

則

B(ri)=qA(ii)zC(n)=姆⑺，

于是。(汽)一3(北)=ga。?！蒙鷂：一生

-qa，z=生一分

由-=1有8(1)=1共1):即生=qq,從而@二一四M=0

a..y4、

因?yàn)楣?gt;°,所以&-1可，故數(shù)列是首項(xiàng)為用，公比為q的等比數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列【“J是公比為§的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意nG、*,三個(gè)

數(shù)”(吸一吸以“)組成公比為q的等比數(shù)列.

【2011年高考試題】

1.(2011年高考四川卷理科8)數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為3,｛4｝為等差數(shù)列且

"=4+1_%(“eN*).若貝[]%=_2,仇o=]2,則％=()

(A)0(B)3(C)8(D)11

答案：B

解析：由已知知"，=2"-8,?！?|=2〃-8,由疊加法

(凡—q)+(%—…+(%—%)=-64—44—2+0+2+4+6=0外=q=3

2.(2011年高考全國(guó)卷理科4)設(shè)S，，為等差數(shù)列｛"/的前〃項(xiàng)和，若4=1,公差

d=2,-=24,則％=

(A)8(B)7(C)6(D)5

【答案】D

【解析】S?+2-=4+2+%+]=%+(Z+2-l)d+q+(女+l-l)d

=2a]+(2k+l)d=2xl+(2攵+l)x2=4Z+4=24=>Z=5故選p

3.(2011年高考廣東卷理科ID等差數(shù).列｛"J前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若

〃l=L〃k+〃4=0,則女二

【答案】10

【解析】由題得U+伙一D"+l+3"=°

4.（2011年高考湖北卷理科13）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，

自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5

節(jié)的容積為升

67

答案：66

解析:設(shè)從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為aha2,,...,a”公差為d,則有a"a"a?+a尸3,

_6767

a7+a/am,即4a「10d=3,3as+9g聯(lián)立解得：出一66.即第5節(jié)竹子的容積66.

5.（2011年高考陜西卷理科14）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù),每人植

一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中.放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各

自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為（米）。

【答案】2000

【解析】設(shè)樹(shù)苗集中放置在第1號(hào)坑旁邊，則20名同學(xué)返所走的路程總和為

/=2[(i-l)+(i-2)+…+2+i+1+2+---+(19-Z)+(20-Z)]X10

,_r(z--21)2+3990

=(尸一21i+210)x202)4」即i=10或1時(shí)勵(lì)=2000

6.（2011年高考重慶卷理科11）在等差數(shù)列｛""｝中，/+。7=37,則4+%+4+%

解析：74,4+6=《+4=%+%=37,故出+"4+&+/=2x37=74

7.（2011年高考江蘇卷13）設(shè)14%-fl2-'其中由，%，。5，%成公比為q的等

比數(shù)列，出，。4，。6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是

【答案】?jī)?nèi)

【解析】考察綜合運(yùn)用等差、等比的概念及通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題的能力，

難題。由題意：1=%《出4"闖<4+1"的24出+24卅3,

.，?49W。2+1，。2+1<,4。2+2

0*2+223,而???出21嗎=1,，。2，。2+1嗎+2的最小值分別為1,2,3；

Qmin=陋

a

8.（2011年高考山東卷理科20）（本小題滿分12分）

等比數(shù)列｛""｝中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且％，%，％中

的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（I）求數(shù)列｛"/的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列也｝滿足："=a，，+（T）lna"，求數(shù)列."｝的前2〃項(xiàng)和S?”.

【解析】（I）當(dāng)弓=3時(shí)，不合題意；

當(dāng)弓=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)2=6,%=18時(shí)，符合題意；

當(dāng)q=10時(shí)，不合題意。

因此=2,%=6,%=18,

所以公式q=3,

故…”

(II)因?yàn)閍=a，，+(T)"lna?

=2-3n-'+(-l)H(2-3,,-1)

=2.3"T+(-l)”[ln2+(〃-l)ln3]

=2-3”T+(一1)"(In2-ln3)+(-1)MnIn3,

所以

2n-|2nn

52?=2(l+3+---+3)+[-l+l-l+---+(-l)](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)n]ln3,

所以

c1-3"c

Scn=2x-----1—In3

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1—32

n

=3"+yln3-l;

1—3"n-1

S,=2x---—(ln2-ln3)+(-----〃)ln3

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1-32

〃一1

=3"--In3-ln2-l.

2

3"+-In3-1,〃為偶數(shù)

5=2

n?

3n--In3-ln2-l,n為奇數(shù)

綜上所述，[2

9.(2011年高考浙江卷理科19)(本題滿分14分)已知公差不為0的等差數(shù)列僅"｝的

J_J_J_

首項(xiàng)4="("R),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4,電，4成等比數(shù)列(【)求數(shù)列

■1111?_1,11

1h+

An=---F---F----------紇--------------…+----

｛""｝的通項(xiàng)公式及S"(II)記5S2S3S.,?2%“2”，

當(dāng)〃22時(shí)，試比較4與B,,的大小,[

—-=—?—%=q%(4+J)2=q(q+3d)

[解析](])4％%=

a=q+(n-Y)d=q+(〃_l)q=na=na

則n]

n(n-i).n(n-l)+

S=an+------a=an+-------a=-------a

n}222

11

+}AH…d---——

1111x22x33x4n(n+1)

4一+—+—+…+---a—a----a

(ii)，S?S32222

-2---1--1--2---1-

〃1x2a2x3

+U++2，=2(-

)

。3x4Q〃(〃+1)a〃+l

當(dāng)〃22時(shí)，2?=C，+C：+C：+…+C：>〃+l即1〃+1"2".

所以當(dāng)。＞°時(shí)，4，＜紇；當(dāng)。＜0時(shí)，A”＞B”

10.（2011年高考安徽卷理科18）（本小題滿分13分）

在數(shù)1和100之間插入〃個(gè)實(shí)數(shù)，使得這〃+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這〃+2個(gè)

數(shù)的乘積記作］，再令凡=1T".

（I）求數(shù)列伍/的通項(xiàng)公式;

a

(II)設(shè)以=,ann-tanatt+l,求數(shù)列{么}的前〃項(xiàng)和S?.

【解析】(I)KG，……""+2構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中4=1,乙+2=10°,則

^n=t\'G,......乙+1<+2①

=乙+2?‘〃+1?.....冬?,1②

①X②并利用等比數(shù)列性質(zhì)0+244=.....F(,+2=102得

用=(*?*%%).....&?*)=1O2E

n+2

a?=lg7；=lgl0=n+2n>}

H)山(I)知"=tana“tana“+|=tan(〃+2>tan(〃+3),n>\

-、/-、_,tan(〃+3)—tan(〃+2)1

,/tan[r(//z+3)—tan(?+2)]=--------------------=tan1

乂1+tan(n+2)-tan(n+3)

/c、/-tan(n+3)-tan(n+2)1

tan(n+2)?tan(n+3)=-------------------1

tanl

所以數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為

=tan(l+2)-tan(l+3)+tan(2+2)-tan(2+3)+....+tan(n+2)-tan(n+3)

tan(l+3)-tan(l+2)tan(2+3)-tan(2+2)tan(n+3)-tan(n+2)

----------++....+:------n

tan1----------------tan1----------------------tan1

tan(n+2)-tan3

---------------n

tanl

11.(2011年高考天津卷理科20)(本小題滿分14分)

Iq…,3+-1"

i\\〃4+4+I+"+4+2=°，"=-z—z*

已知L數(shù)列a與也ibJ滿足：2,zieN,且

q—2,u，2=4

(I)求知%，%的值；

(II)設(shè)C"=+。2“+1，〃eN,證明：｛c,｝是等比數(shù)列；

.X—

'|

5"=4+"4^出口女eN,證明：k=]ak6

【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理

論證能力、綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法.

是奇數(shù)

,3+(-irb=<

(I)解：由2,〃eN,可得2,“是偶數(shù)

4%+4+]+%+1。.+2=0,

當(dāng)n=l時(shí),％+%+2a3=。，由q=2,4=4,得％=-3

當(dāng)n=2時(shí),2%+%+4=°,可得包=-5

當(dāng)n=3時(shí),%+%+2%=°,可得七=上

(II)證明:對(duì)任意〃wN',

a2n-\+a2n+2a2〃+l=°,①

2出“+a2n+\+a2n+2=°,②

〃2n+l+a2n+2+2a2"+3=0,③

②-③得"2"=4"+3④，

CC

將④代人①，可得“2"+1+出"+3=一(%-1+。2"+1)，即n+l=~n(〃WN,),又

=q+%=_[

S±L=-J

故q產(chǎn)°,因此卻，所以｛%｝是等比數(shù)列.

(III)證明：由(II)可得421+47=(T)\

于是，對(duì)任意左WN*且上22,有

?+%=-1,

一(%+%)=T

〃5+%——1?

(-1)(。2A-3+。2人一1)=-1?

將以上各式相加,得q+(T)%2I=一(女t),

即%I=(—1產(chǎn)(％+i),

此式當(dāng)k=l時(shí)也成立.由④式得=(T)E/+3).

從而§2*=(4+4)+06+/)+…+54"2+a4k)=_匕

SSa

2k-l=2k-4k=女+3.

所以，對(duì)任意"eN’,〃N2

4AC+CCQ

LI

=J)4，，23,4機(jī)I

k=lakm=\。4小-3〃4所2

n

2m+22m-12m+32m

=z(----------------------1----------)

?M=12m2m+22m+12m+3

自（薪"22。）

2653

2x3氣2m(2m+1)(2〃+2)(2〃+3)

<—F/---------------------------1-----------------------------

3w=2(2/7?-l)(2m+l)(2〃+2)(2〃+3)

-----)]

2/?+1---(2〃+2)(2〃+3)

=—I--------------H---------------

3622/7+1(2n+2)(2n+3)

7

<—.

6

對(duì)于n=l,不等式顯然成立.

所以，對(duì)任意〃wN",

工+邑+…+S2.-1+邑L

a\a2a2n-\a2n

=(1+*)+(邑+2)+…+(邑曰+^)

a\a2。3“4a2n-\612n

八11、八12、1n.

=(1-------)+(1--7一一Z----Z——)+???+(Z1-------------)

4124i2*442-(42-l)4"(4n-l)

/1、，12、.1n、

=〃y+萬(wàn)）-（不+而r-t不+而』

iii

<n-（—-\---）=n——.

4123

12.（2011年高考湖南卷理科16）對(duì)于〃eN*,將〃表示為

〃=a。x2"+qx2''+a,x2*~+…+4_]x2，+x2°當(dāng)j=0仆,

4=1,當(dāng)IWi女時(shí)，《為°或1.記/（