第02講等差數(shù)列（4個知識點方法練創(chuàng)新練成果練）

第02講等差數(shù)列（4個知識點+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.等差數(shù)列的概念知識點2.等差數(shù)列的前n項和公式知識點3.等差數(shù)列的前n項和及其應用知識點4.等差數(shù)列前n項和的綜合應用【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識導圖】【新知講解】知識點1.等差數(shù)列的概念等差數(shù)列:一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負可為零．思考你能根據(jù)等差數(shù)列的概念寫出它的數(shù)學表達式嗎？答案an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)．等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項且2A＝a＋b.3.等差數(shù)列的通項公式首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d.從函數(shù)角度認識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點的橫坐標每增加1，函數(shù)值增加d.4.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1.③可用來由等差數(shù)列任兩項求公差．5.等差數(shù)列的性質(1)若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))(2）下標性質：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.（3）在等差數(shù)列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數(shù)列．（4）等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列．例一、單選題1．（2023下·高二課時練習）等差數(shù)列中，，則的公差為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】設公差為，然后由已知的兩式相減求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，則，得，故選：B例二、多選題2．（2021·高二課時練習）給出下列命題，正確命題的是（

）A．數(shù)列6，4，2，0是公差為2的等差數(shù)列；B．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；C．等差數(shù)列的通項公式一定能寫成的形式(k，b為常數(shù))；D．數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的定義及通項公式，即可判斷各項的正誤.【詳解】等差數(shù)列的定義知，數(shù)列6，4，2，0為等差數(shù)列，但公差為，A錯誤；等差數(shù)列的定義知，數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，B正確；等差數(shù)列的通項公式，得，令，則，C正確；，數(shù)列是等差數(shù)列，D正確.故選：BCD例三、填空題3．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預測）已知和均為等差數(shù)列，若，，則的值是.【答案】12【分析】根據(jù)和均為等差數(shù)列，，，利用等差中項，由求解.【詳解】因為和均為等差數(shù)列，，，所以，所以，故答案為：12.【點睛】本題主要考查等差中項的應用，屬于基礎題.例四、解答題4．（2023下·高二課時練習）已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見及解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由遞推關系式代入計算，結合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，再由代入計算，即可得到數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）證明：,又，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，因為，所以∴數(shù)列的通項公式為.5．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出的通項公式；(2)設數(shù)列，問是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出所以滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析，(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)遞推關系構造為等差數(shù)列，從而求出通項公式；（2）代入利用裂項相消求出，判斷單調(diào)性，進而判斷求出的值是否存在.【詳解】（1）證明：因為，，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，當時，，所以，又滿足上式，所以;（2）因為，則,所以是單調(diào)遞增數(shù)列，又因為，，所以不存在正整數(shù)，使得.知識點2.等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d等差數(shù)列前n項和公式的推導方法是倒序相加法.等差數(shù)列前n項和公式有上面兩種表示形式.等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系是：能夠由其中三個求另外兩個．例一、單選題1．（2023下·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習）設等差數(shù)列的前項和為，且，則下列各項中值最大的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質，結合前項和公式逐一判斷即可.【詳解】因為，所以.在中，最大，在中，是最小的正數(shù)，所以最大.故選：A例二、多選題2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？计谥校┮阎獢?shù)列和都是等差數(shù)列，，，，設集合，，，若將集合中的元素從小到大排列，形成一個新數(shù)列，下列結論正確的有（

）A． B．C． D．數(shù)列的前20項和為610【答案】ACD【分析】對于A，直接由等差數(shù)列的性質運算即可判斷；對于B、C，令，并結合數(shù)列的定義即可判斷；由題意可知數(shù)列的前20項和為，由此即可判斷.【詳解】對于A：由，，解得，，所以，，所以A對；對于B、C：令，所以當，時，，且相鄰公共項之間依次有，，，所以當時，所以B錯，C對；對于D：由B可知，記前項和為，則約前20項和為，1，2，3，4時，所以D對.故選：ACD.例三、填空題3．（2022·高二課時練習）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設各層球數(shù)構成一個數(shù)列，其中，，，則．【答案】15【分析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，

故答案為：15例四、解答題4．（2023上·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求其前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）把條件都用，表示出來，解方程求出，，可得等差數(shù)列的通項公式；（2）采用裂項求和的方法求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的通項公式為：，由題意：，解得.所以：.（2）由（1）可得：，所以：，故：.5．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前99項和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先通過累加法求解，然后解得；（2）首先通過分析判斷出數(shù)列是周期數(shù)列，然后通過平方差公式分解求得，最后代入求解即可；【詳解】（1）因為，所以，，累加得，所以.（2）因為，所以.當時，；當時，；當時，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.知識點3.等差數(shù)列的前n項和及其應用一、等差數(shù)列前n項和的性質1．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).2．設等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數(shù)列，且公差為m2d.3．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).4．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).思考在性質3中，an和an＋1分別是哪兩項？在性質4中，an＋1是哪一項？答案中間兩項，中間項．二、等差數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特征1．公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)可化成關于n的表達式：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.當d≠0時，Sn關于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點．2．等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))確定；當a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))確定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．例一、單選題1．（2022上·陜西西安·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A．138 B．674 C．675 D．2023【答案】C【分析】利用分組求和法結合等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】故選：C.例二、多選題2．（2021上·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學校考階段練習）已知公差為的等差數(shù)列，為其前項和，下列說法正確的是（

）A．若，，則是數(shù)列中絕對值最小的項B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】CD【分析】利用等差數(shù)列的性質“若，則”得到，進而判定選項A錯誤；利用，，，為等差數(shù)列求，進而判定選項B錯誤；先利用方程思想求出通項公式，再求出前8項的絕對值的和即可判定選項C正確；利用等差數(shù)列的求和公式及性質“若，則”判定選項D正確.【詳解】對于A：因為為等差數(shù)列，且，所以，即，所以，即是數(shù)列中絕對值最小的項.故選項A錯誤；對于B：因為為等差數(shù)列，所以，，，為等差數(shù)列，設，由得：，故，，，為等差數(shù)列解得，所以.故選項B錯誤；對于C：因為為等差數(shù)列，且，，所以，，則.則.故選項C正確；對于D：因為為等差數(shù)列，且，，所以，，則.故選項D正確；故選：CD.例三、填空題3．（2020上·上海浦東新·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則【答案】【解析】已知與的關系式，利用即可求的通項公式.【詳解】由已知條件，知：當時，；當時，；當n=1時不滿足上式，∴，故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)與的關系求通項公式，屬于基礎題.例四、解答題4．設數(shù)列的前項和為，首項為．（1）若為等差數(shù)列，求證：；（2）若，求證：為等差數(shù)列．（3）已知各項均為正數(shù)的兩個無窮等差數(shù)列、，公差均不為0且滿足，求證：數(shù)列有無窮多個，而數(shù)列唯一確定．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）設公差為，得倒序相加可得答案；（2）由利用可得答案；（3）設、的公差分別為，代入利用多項式相等可得答案.【詳解】（1）為等差數(shù)列，設公差為，則，又，兩式相加得，所以.（2）若，則當時，，所以，①得，②②①得所以，即為等差數(shù)列．（3）設、的公差分別為，且都不為0，代入，得，由多項式相等可得，解得可得，，所以可取無窮多個正實數(shù)，可得由無窮多個，而數(shù)列是唯一確定的.【點睛】應熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查遞推、運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累.5．（2023下·高二課時練習）等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項和為．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關概念直接計算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關概念直接計算；（3）方法一：根據(jù)題意得到，結合等差數(shù)列通項公式進行計算；方法二：結合題意得到，利用等差數(shù)列的性質直接求解即可.【詳解】（1）因為，所以整理得，解得或（負值舍去），所以（2）因為，所以，又因為，所以（3）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以知識點4.等差數(shù)列前n項和的綜合應用(1)等差數(shù)列前n項和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，則Sn存在最大值，即所有非負項之和．②若a1<0，d>0，則Sn存在最小值，即所有非正項之和．(2)求等差數(shù)列前n項和Sn最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．②運用二次函數(shù)求最值．例一、單選題1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，其中在一條直線上，為直線外一點，記數(shù)列的前項和為，則的值為A． B．2015 C．2016 D．2013【答案】A【分析】根據(jù)已知向量的線性關系及共線可得，再利用等差數(shù)列前n項和公式及下標和的性質，即可求.【詳解】由題設，根據(jù)在一條直線上，則，所以，故選：A.例二、多選題2．（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預測）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項和則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列的通項，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯誤；先放縮，再利用裂項相消求和可證明D正確.【詳解】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當時，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯誤；，故，故D正確.故選：ABD.例三、填空題3．已知，等差數(shù)列的前項和為，且，則的值為.【答案】【分析】先求出，并判斷，（且），再由函數(shù)得到，最后求的值即可.【詳解】解：因為等差數(shù)列的前項和為，且，所以，解得：，則，（且）因為，則，所以設，則，由上述兩式相加得：，則故答案為：1009.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項的性質、等差數(shù)列的前項和、倒序相加法，是中檔題.例四、解答題4．已知數(shù)列為按如下規(guī)律排成的一列數(shù)：此數(shù)列的前項和為．（1）是此數(shù)列的第幾項？（2）若，求的值．【答案】（1）108項；（2）.【分析】（1）將數(shù)列分組（如圖所示），根據(jù)各組的元素的個數(shù)可得為第項.（2）算出前組的和，令該和小于或等于11，從而得到第項所在的組，再結合故可得的值.【詳解】將數(shù)列按如下方式分組：，（1）自左至右，第組的分母為且有項，那么應為第項．（2）前組的和為．令，滿足條件的最大整數(shù)．分母小于或等于5的所有項共項，和為．又，所以使得成立的．【點睛】本題考查分組數(shù)列，此類問題需弄清楚各組的特征，且需通過前組和的計算來定位第項的位置，本題屬于中檔題.5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）在①，②是公差為1的等差數(shù)列，③，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.問題：在公差不為0的等差數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，已知，_________.設，為數(shù)列的前n項和，求使成立的最小正整數(shù)的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】選擇條件①：利用公式可化簡得，從而得，從而求得通項；選擇條件②：先求得，再結合公式求得通項；選擇條件③：由轉化為基本量計算即可得通項；由通項求得，最后利用裂項相消法求和即可得結果．【詳解】選擇條件①：因為，所以，上面兩式相減得，所以（）.在中，令，得，所以，從而，所以.選擇條件②：因為是公差為1的等差數(shù)列，，于是.當時，.當時，，所以.選擇條件③：因為，所以，整理得.因為，所以，從而數(shù)列的通項公式為.因為，所以，解得，所以使成立的最小正整數(shù)的值為4．【點睛】本題考查的核心是裂項求和，使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．【方法練】一、單選題1．（2020·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將題干中兩個已知等式相加，利用等差數(shù)列的性質求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】已知在等差數(shù)列中，，，所以，，，因此，.故選：B.2．（2022·高二課時練習）已知遞增等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列各式中為正的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由已知可得且，分別計算選項的值即可判斷正負.【詳解】設遞增等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：BD.二、多選題3．（2022·高二單元測試）已知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若是等差數(shù)列，則三點共線C．若是等差數(shù)列，且，則當時數(shù)列的前n項和有最小值D．若等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32：27，則公差為5【答案】BCD【分析】A選項利用求出即可判斷；B選項根據(jù)等差數(shù)列前項和公式對點坐標進行處理，同時利用斜率相等證明共線；C選項利用等差數(shù)列的性質求出公差，再結合首項和公差的正負判斷有無最小值；D選項根據(jù)偶數(shù)項和奇數(shù)項的比值求出偶數(shù)項和奇數(shù)項的和，從而作差求出公差.【詳解】A選項：，當時，，不符合，所以，故A錯；B選項：因為為等差數(shù)列，所以，，，，因為，，所以三點共線，B正確；C選項：因為，，所以，，又因為，因為函數(shù)開口向上，且對稱軸為，所以當時，有最小值，故C正確；D選項：因為，前12項里偶數(shù)項和奇數(shù)項的和的比為32:27，所以偶數(shù)項和為192，奇數(shù)項和為162，所以偶數(shù)項和奇數(shù)項和，所以公差為，故D正確.故選：BCD.4．（2023上·湖南株洲·高二?？计谀┮阎炔顢?shù)列的公差，當且僅當時，的前n項和最小，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列的負數(shù)項和正數(shù)項，求出首項范圍，再利用前n項和公式推導判斷作答.【詳解】等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增等差數(shù)列，又當且僅當時，最小，因此當時，；當時，，于是，解得，而，從而，，，，即與0的關系不確定，ABD正確，C錯誤.故選：ABD三、填空題5．已知數(shù)列滿足，，則的值為．【答案】96【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式即可計算作答.【詳解】依題意，是首項，公差為1的等差數(shù)列，則有，當時，，顯然不滿足上式，所以.故答案為：966．（2022上·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來言.務要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個孩子分得斤數(shù)為.【答案】167【分析】由題設知8個孩子分得斤數(shù)是公差為17的等差數(shù)列，設第一個孩子分得斤，應用等差數(shù)列前n項和公式求，進而由等差數(shù)列通項公式求即可.【詳解】由題意，設第一個孩子分得斤，則，所以，可得，故斤.故答案為：167.四、解答題7．（2023下·高二課時練習）等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項和為．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關概念直接計算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關概念直接計算；（3）方法一：根據(jù)題意得到，結合等差數(shù)列通項公式進行計算；方法二：結合題意得到，利用等差數(shù)列的性質直接求解即可.【詳解】（1）因為，所以整理得，解得或（負值舍去），所以（2）因為，所以，又因為，所以（3）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以8.已知(≥0)，數(shù)列中，，=2，時，且.（1）求的表達式；

（2）已知時，求并化簡.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得答案．（2）由（1）得，運用裂項求和法可求得答案．【詳解】（1）因為，時，，所以時，，又，所以，又=2，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當時，，且當時，=2滿足，所以．（2）由（1）得，所以，所以．【點睛】結論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.【創(chuàng)新練】一、單選題1．兩個等差數(shù)列、的前n項和分別為、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的性質可設，則，從而計算可得.【詳解】解：因為、為等差數(shù)列，且所以設，則故選：【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和的性質，對于等差數(shù)列的前n項和為，則，屬于基礎題.2．對于任一實數(shù)序列，定義為序列，它的第項是，假定序列的所有項都是1，且，則（

）A．1000 B．2000 C．100 D．200【答案】A【分析】是公差為的等差數(shù)列，可先設出的首項，然后表示出的通項，再用累加法表示出序列的通項，再結合求出的首項和的首項，從而求出序列的通項公式，進而獲解.【詳解】設序列的首項為，則序列為，則它的第項為，因此數(shù)列的第項，，則是關于的二次多項式，其中的系數(shù)是，∵，∴必有，∴.故選：A.二、多選題3．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標系中有點，，，，則下列選項成立的有（

）A． B．C．直線與直線的斜率相等 D．直線與直線的斜率不相等【答案】ABC【分析】利用等差數(shù)列的性質及合比性質判斷A；根據(jù)兩點距離公式、兩點斜率公式判斷B、C、D.【詳解】由題設，且，又是等差數(shù)列，若公差為，，又，所以，A正確；由，，又，故，B正確；由，，故直線與直線的斜率相等，C正確；同理，，故直線與直線的斜率相等，D錯誤.故選：ABC4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，現(xiàn)將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．數(shù)列的前10項和為【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列公式計算，得到A正確B錯誤，確定，計算C正確，，利用裂項相消法計算得到D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，，，故，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：表示從開始的奇數(shù)，當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，故，故，正確；對選項D：，數(shù)列的前10項和為，正確；故選：ACD.三、填空題5．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考二模）數(shù)列滿足對任意恒成立，則.【答案】3031【分析】由已知再寫出，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列，求出后，由等差數(shù)列的通項公式可得．【詳解】由，兩式相減得.而，∴.故答案為：3031．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的判斷，解題關鍵是由已知遞推式寫出相鄰式（用代）后兩式相減．6．（2023上·湖北恩施·高三校考期中）疫情期間，按照防疫要求，學生在進校時必須排隊接受體溫檢測，某校早上開校門，此時刻沒有學生，一分鐘后有名學生到校，以后每分鐘比前一分鐘少到人校門口的體溫自動檢測棚每分鐘可檢測人，為了減少排隊等候的時間，校門口臨時增設一個人工體溫檢測點，人工每分鐘可檢測人，則人工檢測分鐘后校門口不再出現(xiàn)排隊等候的情況．【答案】【分析】設早上后第分鐘達到人數(shù)為，則，計算數(shù)列和得到，解得答案.【詳解】設早上后第分鐘達到人數(shù)為，則，，人工檢測時間為分鐘，則共檢測.故，解得，，故答案為：.四、解答題7．（2022·高二課時練習）已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，且a1＝2，設bn＝.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【分析】由已知條件，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.【詳解】證明：因為數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，且a1＝2，bn＝，所以b1＝＝1，bn＋1－bn＝－＝＝＝，所以數(shù)列{bn}是以1為首項、為公差的等差數(shù)列.8.已知函數(shù)，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，若對一切成立，求最小正整數(shù)m．【答案】（1）；（2）m的最小正整數(shù)為2013．【分析】（1）由，可知數(shù)列為等差數(shù)列，易求得通項公式；（2）由第（1）的結果利用裂項求和法可得，解不等式即可得出的最小值．【詳解】（1）是以為公差，首項的等差數(shù)列，（2）當時，，當時，上式同樣成立，即對一切成立，又隨遞增，且.所以m的最小正整數(shù)為2013.【成果練】一、單選題1．（2022下·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考階段練習）數(shù)列中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的求和公式可得出關于的方程，結合可求得的值.【詳解】令可得，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項和公差均為，所以，，所以，，整理可得，，解得.故選：D.2．若是等差數(shù)列，的前n項和，前項和，前項和分別是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得：仍然成等差數(shù)列，即可得出.【詳解】∵等差數(shù)列的前n項和，前項和，前項和分別是，∴仍然成等差數(shù)列，∴，整理得：，故選：B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.3．（2021上·甘肅天水·高三校考階段練習）等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式以及通項公式即可求解.【詳解】∵，即，又，∴，∴，∴．故選：B二、多選題4．（2021·高二課時練習）等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】CD【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式的函數(shù)特征，設，由題中條件，求出，再利用基本不等式，即可求出結果.【詳解】因為等差數(shù)列的前n項和，所以可設，因為，，所以，即，解得，所以，當且僅當時等號成立，又，所以等號不能取得，因此，故CD正確，AB錯.故選：CD.三、填空題5．（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且，設，函數(shù).【答案】4042【分析】對因式分解化簡得數(shù)列為等差數(shù)列，可得的通項公式，、，即可分組求值.【詳解】由得，因為各項均為正數(shù)，所以，所以數(shù)列是以首項為2，公差為2的等差數(shù)列，.所以；當時，，所以，所以.故答案為：4042.6．（2022上·貴州貴陽·高二校聯(lián)考階段練習）在等差數(shù)列中,,則.【答案】19【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質求出,進而求出即可.【詳解】解:由題知為等差數(shù)列,記公差為,,,,.故答案為:197．（2022下·遼寧沈陽·高二東北育才學校校考期中）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質和前n項和公式即可求得.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：四、解答題8．（2023下·高二課時練習）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù).【答案】4，3，2【分析】設這三個數(shù)依次為，根據(jù)題意列式求解即可.【詳解】設這三個數(shù)依次為，由題意可得，解得，所以這三個數(shù)4，3，2.9．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可得解；（2）利用裂項相消法即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，當時，滿足上式，所以；（2）因為，所以，所以.10．（2024上·吉林長春·高二校考期末）已知為等差數(shù)列,,.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量關系求解即可；（2）設的前n項和為的前n項和為，再根據(jù)的正負，利用表示即可.【詳解】（1）因為,,所以,；所以,,.（2）設的前n項和為的前n項和為.因為；令，則，所以當時，;當時,故.11．（2023上·重慶黔江·高二重慶市黔江中學校?？茧A段練習）已知等差數(shù)列，，其中，，