《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)課件全集第1章極限與連續(xù)

《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)課件全集第1章極限與連續(xù)CATALOGUE目錄極限的定義與性質(zhì)極限的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)無窮小量與階的比較閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)01極限的定義與性質(zhì)當(dāng)自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨近于某一確定的數(shù)，這個(gè)確定的數(shù)就是函數(shù)的極限。通過觀察函數(shù)的變化趨勢(shì)，可以初步判斷函數(shù)的極限值。極限的描述性定義描述性定義的應(yīng)用極限的描述性定義極限的嚴(yán)格定義（數(shù)列極限和函數(shù)極限）數(shù)列極限的嚴(yán)格定義對(duì)于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個(gè)正整數(shù)$N$，當(dāng)$n>N$時(shí)，有$|a_n-L|<varepsilon$。函數(shù)極限的嚴(yán)格定義對(duì)于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，當(dāng)$0<|x-a|<delta$時(shí)，有$|f(x)-L|<varepsilon$。唯一性一個(gè)函數(shù)的極限是唯一的。有界性一個(gè)有極限的函數(shù)必定是有界的。局部保號(hào)性如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于0，則函數(shù)在該點(diǎn)的附近一定大于0；反之亦然。局部有界性如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)的附近一定有界。極限的性質(zhì)02極限的運(yùn)算若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。加法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。減法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。乘法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B（B≠0），則lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。除法法則極限的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)y=f(u)和函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成，如果lim(x→a)g(x)=b存在，且lim(u→b)f(u)=L，則lim(x→a)f[g(x)]=L。復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則與極限的四則運(yùn)算法則類似，適用于復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算。復(fù)合函數(shù)的極限如果函數(shù)f在某點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且在某點(diǎn)的左右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)存在極限。函數(shù)極限存在定理用于判斷函數(shù)在某點(diǎn)的極限是否存在，以及求解函數(shù)的極限值。函數(shù)極限存在定理的應(yīng)用函數(shù)極限存在性定理03連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。即，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-x?|<δ時(shí)，|f(x)-f(x?)|<ε，則稱函數(shù)f在點(diǎn)x?處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如局部有界性、局部保號(hào)性、介值定理等。這些性質(zhì)在研究函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分等數(shù)學(xué)概念時(shí)非常重要。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)VS初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算得到的函數(shù)。初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，這是因?yàn)樗鼈兊亩x域是閉區(qū)間，且在其定義域內(nèi)沒有間斷點(diǎn)。初等函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如可導(dǎo)性、可積性、有界性等。這些性質(zhì)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)非常有用，如求解微分方程、積分方程等。初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性04無窮小量與階的比較無窮小量在自變量趨于某點(diǎn)或無窮時(shí)，函數(shù)值趨于零的變量。無窮小量的性質(zhì)無窮小量具有可加性、可減性、可乘性和可除性。無窮小量的定義與性質(zhì)兩個(gè)無窮小量在一定條件下可以相互替換，它們的比值為1。等價(jià)無窮小量高階無窮小量低階無窮小量一個(gè)無窮小量是另一個(gè)無窮小量的高階，表示前者趨于零的速度更快。一個(gè)無窮小量是另一個(gè)無窮小量的低階，表示前者趨于零的速度更慢。030201無窮小量與階的比較03利用無窮小量的性質(zhì)求解極限問題。01利用等價(jià)無窮小量簡(jiǎn)化極限計(jì)算。02利用高階或低階無窮小量判斷極限的存在性。無窮小量在極限計(jì)算中的應(yīng)用05閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)詞01閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在其區(qū)間內(nèi)一定存在最大值和最小值。詳細(xì)描述02根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么這個(gè)函數(shù)一定在[a,b]區(qū)間內(nèi)取得最大值和最小值。證明方法03利用實(shí)數(shù)的完備性，即實(shí)數(shù)軸上的任何區(qū)間都包含一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，結(jié)合閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值。最大值最小值定理中值定理如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的值為區(qū)間內(nèi)兩個(gè)端點(diǎn)值的平均值。詳細(xì)描述中值定理也稱為拉格朗日中值定理，它說明如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么存在一個(gè)點(diǎn)c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f'(c)(b?a)，其中f'(c)是函數(shù)在點(diǎn)c處的導(dǎo)數(shù)。證明方法利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和羅爾定理，可以證明中值定理的正確性?？偨Y(jié)詞總結(jié)詞零點(diǎn)定理說明如果函數(shù)在區(qū)間的兩端取值異號(hào)，則該區(qū)間內(nèi)一定存在至少一個(gè)零點(diǎn)；介值定理說明如果在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)滿足f(a)<0和f(b)>0，則存在至少一個(gè)c∈(a,b)，使得f(c)=0。詳細(xì)描述零點(diǎn)定理和介值定理是實(shí)數(shù)完備性的重要推論，它們說明