小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題30題匯總（例題+答案）

歸一問(wèn)題

【含義】

在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)

準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類(lèi)應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量?份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量義所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量+（總量+份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例題1:

3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計(jì)算5頭牛6天吃草

_____千克。

解：

1、根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24+3+4=2（千

克）。

2、那么5頭牛一天吃2義5=10（千克）的草料。

3、那么6天就能吃10X6=60（千克）草料。

例題2：

5名同學(xué)8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作

的數(shù)量相同，并且又來(lái)了2位同學(xué)，那么再過(guò)15分鐘他們又能做

張正方形紙片？

解：

1、可以先算出5名同學(xué)1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240+

8=30（張）。

2、再算出1名同學(xué)1分鐘制作的數(shù)量，30+5=6（張）。

3、現(xiàn)在有5+2=7（名）同學(xué)，每人每分鐘做6張，要做15分鐘,

那么他們能做7X6X15=630（張）正方形紙片。

例題3：

某車(chē)間用4臺(tái)車(chē)床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，照這樣計(jì)算，增加3

臺(tái)同樣的車(chē)床后，如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要小時(shí)完成？

解：

1、4臺(tái)車(chē)床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，則每臺(tái)車(chē)床每小時(shí)生產(chǎn)零

件600+4+5=30（個(gè)）。

2、增加3臺(tái)同樣的車(chē)床，也就是4+3=7（臺(tái)）車(chē)床，7臺(tái)車(chē)床每

小時(shí)生產(chǎn)零件7X30=210（個(gè)）。

3、如果生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要6300+210=30（小時(shí)）完成。

歸總問(wèn)題

【含義】

解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求

的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾

天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)走的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量義份數(shù)=總量

總量+1份數(shù)量=份數(shù)

總量:另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例題1:

王大伯家的干草夠8只牛吃一個(gè)星期的，照這樣計(jì)算，這些草夠

4只牛吃（）天？

解：

1、可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8*7=56（天）。

2、算4只牛能吃多久，用56+4=14（天）。

例題2：

小青家有個(gè)書(shū)架共5層，每層放36本書(shū)?，F(xiàn)在要空出一層放碟

片，把這層書(shū)平均放入其它4層中，每層比原來(lái)多放（）本書(shū)。

解：

方法一：

1、根據(jù)題意可以算出書(shū)架上有5X36=180（本）書(shū)。

2、現(xiàn)在還剩下5T=4（層）書(shū)架。

3、所以每層書(shū)架上有180+4=45（本）書(shū)。比原來(lái)多45-36=9（本）

書(shū)。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書(shū)平均分到其他4

層，所以每層比原來(lái)多放36+4=9（本）書(shū)。

例題3：

一個(gè)長(zhǎng)方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排

水管。單開(kāi)進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿(mǎn)；單開(kāi)排水管6小時(shí)可以把

滿(mǎn)水池排空，兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿(mǎn)池水排空？

解：

1、要求兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿(mǎn)池水排光，關(guān)鍵在于先求出

進(jìn)水速度和排水速度，進(jìn)水每小時(shí)-480+8=60（噸）；排水每小時(shí)480

4-6=80（噸）。

2、當(dāng)兩管齊開(kāi)，排水速度大于進(jìn)水速度，即每小時(shí)排80-60=20

（噸）。

3、再根據(jù)總水量就可以求出排空滿(mǎn)池水所需的時(shí)間。480+20=24

（小時(shí)）。

年齡問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)或多個(gè)人年齡關(guān)系，求各自年齡或年齡關(guān)系，這類(lèi)應(yīng)用

題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)=（和+差）+2

小數(shù)=（和一差）+2

總和+（幾倍+1）=較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)

兩個(gè)數(shù)的差+（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】

年齡問(wèn)題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。年齡問(wèn)題都可

以轉(zhuǎn)化為和差、和倍、差倍問(wèn)題。簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的

題目變通后利用公式。

例題1:

爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽歲。

解：

1、本題考查的年齡差不變（簡(jiǎn)單），不管過(guò)了多少年年齡差是不

變的。

2、爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過(guò)了多少年年齡差是不變的，

當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽是40歲。

例題2：

姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當(dāng)她們的年齡和是39歲時(shí)一,

那時(shí)妹妹歲。

解：

方法一：

1、利用年齡同增同減的思路。

2、姐妹倆今年的年齡之和是：15+12=27（歲），年齡之和到達(dá)39

歲時(shí)需要的年限是：（39-27）4-2=6（年）。

3、那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1、利用年齡差不變的思路。

2、兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)=（和一差）?

2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）4-2=18（歲）。

例題3：

爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，年前，爸爸的年齡是哥

哥的5倍。

解：

1、不管過(guò)了多少年，年齡差是不變的，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的5

倍時(shí)，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2、問(wèn)什么時(shí)候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實(shí)際上年齡差就是哥

哥的5-1=4倍。

3、根據(jù)兩個(gè)數(shù)的差+（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當(dāng)

時(shí)的年齡是（50-14）4-4=9（歲）。

4、再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。

植樹(shù)問(wèn)題

【含義】

按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其

中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類(lèi)應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

線(xiàn)形植樹(shù)：

一端植樹(shù)：

棵數(shù)=間隔數(shù)=距離+棵距

兩端植樹(shù)：

棵數(shù)=間隔數(shù)+1=距離+棵距+1

兩端都不植樹(shù)：

棵數(shù)=間隔數(shù)T=距離?棵距T

環(huán)形植樹(shù)：

棵數(shù)=間隔數(shù)=距離+棵距

正多邊形植樹(shù)：

一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)X邊數(shù)一邊數(shù)

每邊棵樹(shù)=一周總棵數(shù)+邊數(shù)+1

面積植樹(shù)：

棵數(shù)=面積+（棵距義行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類(lèi)型，然后可以利用公式。

例題1：

植樹(shù)節(jié)到了，少先隊(duì)員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊

樹(shù)。如果兩頭都不栽，平均每?jī)煽脴?shù)之間的距離應(yīng)是多少米？

解：

1、本題考察的是植樹(shù)問(wèn)題中的兩端都不栽的情況，解決此類(lèi)問(wèn)

題的關(guān)鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少lo

2、因?yàn)榭脭?shù)比間隔數(shù)少1,所以共有8+1=9個(gè)間隔，每個(gè)間隔距

離是72+9=8米。

3、所以每?jī)煽脴?shù)之間的距離是8米。

例題2：

一小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，在操場(chǎng)周?chē)迳喜势?。已知操?chǎng)的周長(zhǎng)是500

米，每隔5米插一根紅旗，每?jī)擅婕t旗之間插一面黃旗，那么一共插

紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1、本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中封閉圖形間隔問(wèn)題，本題中只要抓

住棵數(shù)=間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2、棵數(shù)=間隔數(shù)，一共插紅旗500+5=100（面），這一百面紅

旗中一共有100個(gè)間隔，所以一共插黃旗100面。

例題3：

多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計(jì)算，從三樓爬到

十樓需要多少分鐘？

解：

1、本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中鋸木頭、爬樓梯問(wèn)題的情況。需要

理解爬的樓層、鋸的次數(shù)與層數(shù)、段數(shù)之間的關(guān)系，所在樓層=爬的

層數(shù)+1;木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。

2、從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層

需要6+2=3（分鐘）。因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）X3=21（分

鐘）。

相遇問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類(lèi)應(yīng)

用題叫做相遇問(wèn)題。這類(lèi)應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時(shí)間=總路程+（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）X相遇時(shí)間

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利

用線(xiàn)段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1:

歡歡和樂(lè)樂(lè)在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，

樂(lè)樂(lè)每分鐘行80米，他們同時(shí)出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長(zhǎng)（）。

解：

根據(jù)公式總路程=（甲速+乙速）X相遇時(shí)間，可以求出這條馬

路長(zhǎng)（60+80）X5=700（米）。

例題2：

甲乙兩車(chē)分別以不變的速度從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。到

達(dá)目的地后立即返回。已知第一次相遇地點(diǎn)距離A地50千米，第二

次相遇地點(diǎn)距離B地60千米，AB兩地相距千米。

解：

1、本題考查的是二次相遇問(wèn)題，靈活的運(yùn)用畫(huà)線(xiàn)段圖的方法來(lái)

分析是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

2、畫(huà)線(xiàn)段圖

第一次

甲50千米

乙

AitfeB地

60千米

第二）欠

3、從圖中可以看出，第一次相遇時(shí)甲行了50千米。甲乙合行了

一個(gè)全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個(gè)全程的路程。由

于甲乙速度不變，合行兩個(gè)全程時(shí)，甲能行50X2=100（千米）。

4、因此甲一共行了50+100=150（千米），從圖中看甲所行路程剛

好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90（千米）。

例題3：

歡歡和樂(lè)樂(lè)在相距80米的直跑道上來(lái)回跑步，樂(lè)樂(lè)的速度是每

秒3米，歡歡的速度是每秒2米。如果他們同時(shí)分別從跑道兩端出

發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘時(shí)，在這段時(shí)間里共相遇過(guò)次。

解：

1、根據(jù)題意，第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)全程，但是從第

二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間都是第一次相遇時(shí)間的兩倍。（線(xiàn)段

圖參考例2。）

2、根據(jù)“相遇時(shí)間=總路程+速度和”得到，歡歡和樂(lè)樂(lè)首次相

遇需要80+（3+2）=16（秒）。

3、因?yàn)閺牡谝淮蜗嘤鼋Y(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂(lè)樂(lè)要走兩個(gè)

全程，所以從第二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間是16秒的2倍，也

就是32秒,則經(jīng)過(guò)第一次相遇后，剩下的時(shí)間是600T6=584（秒）,

還要相遇584+32=18.25（次），所以在這段時(shí)間里共相遇過(guò)18+1=19

（次）。

追及問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)

出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行

進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面

的追上前面的物體。這類(lèi)應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

追及時(shí)間=追及路程+（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）X追及時(shí)間

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利

用線(xiàn)段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1：

某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃

跑。警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個(gè)匪

徒。

解：

1、從警官追開(kāi)始到追上匪徒，這就是一個(gè)追及過(guò)程。根據(jù)公式:

路程差?速度差=追及時(shí)間。

2、路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度

差為1米/秒。所以追及的時(shí)間為100+1=100（秒）。

例題2：

甲乙二人同時(shí)從400米的環(huán)形跑道的起跑線(xiàn)出發(fā)，甲每秒跑6米，

乙每秒跑8米，同向出發(fā)。那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相

遇？

解：

1、由題可知，甲乙同時(shí)出發(fā)后，乙領(lǐng)先，甲落后，那么兩人第一

次相遇時(shí)，乙從后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長(zhǎng)

度，即追及路程為400米。

2、由追及時(shí)間=總路程+速度差可得：經(jīng)過(guò)4004-（8-6）=200

（秒）兩人第一次相遇。

例題3：

小轎車(chē)、面包車(chē)和大客車(chē)的速度分別為60千米/時(shí)、48千米/時(shí)

和42千米/時(shí)，小轎車(chē)和大客車(chē)從甲地、面包車(chē)從乙地同時(shí)相向出發(fā)，

面包車(chē)遇到小轎車(chē)后30分鐘又遇到大客車(chē)。那么甲、乙兩地相距多

遠(yuǎn)？

解：

1、根據(jù)題意，將較復(fù)雜的綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)單一問(wèn)題。首

先是小轎車(chē)和面包車(chē)的相遇問(wèn)題；其次是面包車(chē)和大客車(chē)的相遇問(wèn)題;

然后是小轎車(chē)與大客車(chē)的追及問(wèn)題。最后通過(guò)小轎車(chē)與面包車(chē)共行甲、

乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問(wèn)題可求出甲、乙兩地距離。

2、畫(huà)線(xiàn)段圖，圖上半部分是小轎車(chē)和面包車(chē)相遇時(shí)三車(chē)所走的

路程。圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車(chē)所走的路程。

3、由圖可知，當(dāng)面包車(chē)與小轎車(chē)相遇時(shí)，大客車(chē)與小轎車(chē)的路

程差為小轎車(chē)與大客車(chē)30分鐘所走的路程。有小轎車(chē)與大客車(chē)的速

度差，有距離，所以可以求出車(chē)輛行駛的時(shí)間。

（42+48）X0.54-（60-42）=2.5（小時(shí)）。

4、由于小轎車(chē)與面包車(chē)相遇，共行一個(gè)行程，所以AB兩地路程

為（60+48）X2.5=270（千米）。

行船問(wèn)題

【含義】

行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題要弄清船速與

水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;

水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆

水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順?biāo)俣?逆水速度）+2=船速

（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?2=水速

順?biāo)?船速義2—逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2一順?biāo)?順?biāo)僖凰倭x2

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利

用線(xiàn)段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1:

某船在同一條河中順?biāo)偈敲啃r(shí)20千米，逆水船速是每小

時(shí)10千米，這條河的水流速度是每小時(shí)千米？

解：

順?biāo)?船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，

順?biāo)俦饶嫠俣?個(gè)水流速度，

因此，水流速度=（2070）+2=5（千米/時(shí)）。

例題2：

某條大河水流速度是每小時(shí)5千米，一艘靜水船速是每小時(shí)20

千米的貨輪逆水航行5小時(shí)能到達(dá)目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)

地需要多少小時(shí)？

解：

1、逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-

5=15（千米/時(shí)），行駛5小時(shí)共行了15X5=75（千米）。

2、原路返回時(shí)是順?biāo)叫校標(biāo)俣仁庆o水船速+水速，即

20+5=25（千米/時(shí)）,所以返回用時(shí)75+25=3（小時(shí)）。

例題3：

小船在兩個(gè)碼頭間航行，順?biāo)?小時(shí)，逆水需5小時(shí)，若一只

木筏順?biāo)^(guò)這段距離需小時(shí)？

解：

1、我們可以假設(shè)一個(gè)路程。假設(shè)兩個(gè)碼頭之間的距離是200千

米，順?biāo)?小時(shí)，則順?biāo)乃俣仁敲啃r(shí)200+4=50（千米），逆水

需5小時(shí)，則逆水的速度是每小時(shí)200+5=40（千米）。

2、根據(jù)“水速=（順?biāo)旭偹俣?逆水行駛速度）+2”得到，水

流速度是每小時(shí)（50-40）4-2=5（千米）。

3、一只木筏順?biāo)^(guò)的速度就是水流速度，所以木筏順?biāo)^(guò)

這段距離需要200+5=40（小時(shí)）。

列車(chē)問(wèn)題

【含義】

與列車(chē)行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】

火車(chē)過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=（車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）+車(chē)速

火車(chē)追及：追及時(shí)間=（甲車(chē)長(zhǎng)+乙車(chē)長(zhǎng)+距離）+（甲車(chē)速一

乙車(chē)速）

火車(chē)相遇：相遇時(shí)間=（甲車(chē)長(zhǎng)+乙車(chē)長(zhǎng)+距離）+（甲車(chē)速+

乙車(chē)速）

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利

用線(xiàn)段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1：

一列火車(chē)全長(zhǎng)126米，全車(chē)通過(guò)611米的隧道需要67秒，火車(chē)

的速度是多少米/秒？

解:

1、本題考查的是火車(chē)過(guò)橋的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是知道火車(chē)

完全經(jīng)過(guò)隧道所走的路程是車(chē)身長(zhǎng)+隧道長(zhǎng)，進(jìn)而求出車(chē)速。

2、因此火車(chē)的速度為：（126+6H）+67=11（米/秒）。

例題2：

在兩行軌道上有兩列火車(chē)相對(duì)開(kāi)來(lái)，一列火車(chē)長(zhǎng)208米，每秒行

18米，另一列火車(chē)每秒行19米，兩列火車(chē)從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)用了12

秒鐘，那么另一列火車(chē)長(zhǎng)多少米？

解：

兩列火車(chē)從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)，所行路程之和剛好是它們的車(chē)身長(zhǎng)

度之和。根據(jù)“路程和=速度和X時(shí)間”可得，另一列火車(chē)長(zhǎng)為（18+19）

X12-208=236（米）。

例題3：

一列火車(chē)通過(guò)一座長(zhǎng)90米的橋需要24秒，如果火車(chē)的速度加快

1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒。原來(lái)火車(chē)每秒行多少

米？

解：

1、根據(jù)“火車(chē)的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用

了18秒”可知，如果火車(chē)用原來(lái)的速度通過(guò)222米的隧道，則要用

18X2=36（秒）。

2、隧道比大橋長(zhǎng)222-90=132（米），火車(chē)要多用36-24=12（秒）

行駛這132米，根據(jù)速度=路程+時(shí)間，可以求出原來(lái)火車(chē)每秒行132

4-12=11（米）。

時(shí)鐘問(wèn)題

【含義】

就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、

兩針成一線(xiàn)、兩針夾角為60度等，這類(lèi)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題中的

追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。通常按

追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

【解題思路和方法】

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線(xiàn)，兩針夾角60°等為“追及

問(wèn)題”后可以直接利用公式。

例題1：

鐘面上從時(shí)針指向8開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針正好與分針

第一次重合？（精確到1分）

解：

1、此類(lèi)題型可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道，那么本題就相當(dāng)于

行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，即分針與時(shí)針之間的路程差是240°。

2、分針每分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°,所以需要240+5.5

仁44（分鐘）。也就是從8時(shí)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)44分鐘，時(shí)針正好與分針

第一次重合。

例題2：

從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，鐘面上時(shí)針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道，這樣分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就可

以轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題，從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，一共經(jīng)過(guò)了12小時(shí)，

12個(gè)小時(shí)分針要跑12圈，時(shí)針只能跑1圈，分針比時(shí)針多跑

（圈），而分針每比時(shí)針多跑1圈，就會(huì)追上時(shí)針一次，也就是和時(shí)

針重合1次，所以12小時(shí)內(nèi)兩針一共重合了11次。

例題3：

一部記錄中國(guó)軍隊(duì)時(shí)代變遷的紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)有兩個(gè)多小時(shí)，小明發(fā)

現(xiàn)，紀(jì)錄片播放結(jié)束時(shí)，手表上時(shí)針、分針的位置正好與開(kāi)始時(shí)時(shí)針、

分針的位置交換了一下，這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)多少分鐘？（精確到1分）

解：

1、解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到時(shí)針與分針合走的路程是1080°,

進(jìn)而轉(zhuǎn)化成相遇問(wèn)題來(lái)解決。

2、兩個(gè)多小時(shí)，分針與時(shí)針位置正好交換，所以分針與時(shí)針?biāo)?/p>

走的路程和正好是三圈，也就是分針和時(shí)針合走了360°X3=1080°,

而分針和時(shí)針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°,所以合走1080°需要

10804-6.5^166（分鐘），即這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)166分鐘。

和差問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫

和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)=（和+差）+2

小數(shù)=（和一差）+2

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例題1：

兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水

果重____千克，第二筐水果重____千克。

解：

因?yàn)榈谝豢鸨鹊诙鹬?/p>

1、根據(jù)大大數(shù)=（和+差）+2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第一筐水果

重（150+⑻+2=84（千克）。

2、根據(jù)小數(shù)=（和一差）4-2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第二筐水果重

（150-18）4-2=66（千克）。

例題2：

登月行動(dòng)地面控制室的成員由兩組專(zhuān)家組成，兩組共有專(zhuān)家120

名，原來(lái)第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第

一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來(lái)第二組有（）名專(zhuān)家。

解：

1、原來(lái)從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)

一樣多，說(shuō)明原來(lái)第一組比第二組多20+20=40（人）

2、根據(jù)小數(shù)=（和一差）:2的數(shù)量關(guān)系，第二組人數(shù)應(yīng)該為（120-

40）4-2=40（人）。

例題3：

某工廠第一、二、三車(chē)間共有工人280人，第一車(chē)間比第二車(chē)間

多10人，第二車(chē)間比第三車(chē)間多15人，三個(gè)車(chē)間各有多少人？

解：

1、第一車(chē)間比第二車(chē)間多io人，第二車(chē)間比第三車(chē)間多15人，

那么第一車(chē)間就比第三車(chē)間多25人，因此第三車(chē)間的人數(shù)是（280-

25-15）4-3=80（人）。

2、據(jù)此可得出第一、二車(chē)間的人數(shù)。

和倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之

幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和+（幾倍+1）=較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例題1：

甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧264噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的10倍。

甲倉(cāng)庫(kù)存糧噸，乙倉(cāng)庫(kù)存糧噸。

解：

1、根據(jù)“甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的10倍”，把甲倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)

看成“大數(shù)”，乙倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“小數(shù)”。

2、根據(jù)和倍公式總和+（幾倍+1）=較小的數(shù)，即可求乙倉(cāng)庫(kù)存

糧264+（10+1）=24（噸）。

3、根據(jù)和倍公式較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)，即可求甲倉(cāng)庫(kù)存

糧24X10=240（噸）。

例題2：

已知蘋(píng)果、梨、桃子的總質(zhì)量為40千克，蘋(píng)果的質(zhì)量是桃子的

4倍，梨的質(zhì)量是桃子的3倍，求蘋(píng)果、梨、桃子的質(zhì)量。

解：

1、根據(jù)“蘋(píng)果的質(zhì)量是桃子的4倍，梨的質(zhì)量是桃子的3倍”,

把桃子看成1倍數(shù)，則蘋(píng)果是4倍數(shù)，梨是3倍數(shù)。

2、根據(jù)“蘋(píng)果、梨、桃子的總質(zhì)量為40千克”和和倍公式：總

和+（幾倍+1）=較小的數(shù)可求出桃子的質(zhì)量，404-（4+3+1）=5（千克）。

3、根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋(píng)果和梨的質(zhì)量。

例題3：

歡歡、樂(lè)樂(lè)和多多一共帶了148元去公園。已知?dú)g歡帶的錢(qián)數(shù)比

樂(lè)樂(lè)的2倍多1元，多多帶的錢(qián)數(shù)比歡歡多2倍,那么多多帶了（）

7Lo

解：

1、在三個(gè)量的和倍問(wèn)題中，我們可以選擇其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，然

后通過(guò)三個(gè)量之間的和倍關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可。需要注意，多2倍就是

3倍。

2、由題可知，三人里樂(lè)樂(lè)的錢(qián)數(shù)最少。我們可以把樂(lè)樂(lè)看成標(biāo)

準(zhǔn)量，那么歡歡就是2份標(biāo)準(zhǔn)量再加1元。

3、多多比歡歡多兩倍，就是2X3=6份標(biāo)準(zhǔn)量再加1X3=3（元）。

4、那么他們?nèi)齻€(gè)合起來(lái)就是1+2+6=9份標(biāo)準(zhǔn)量再加1+3=4（元）。

5、所以標(biāo)準(zhǔn)量是（148-4）-7-9=16（元），即樂(lè)樂(lè)帶了16元。

6、根據(jù)樂(lè)樂(lè)的錢(qián)數(shù)可以求出歡歡帶了16X2+1=33（元），所以多

多帶了33X3=99（元）。

差倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之

幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

兩個(gè)數(shù)的差個(gè)（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例題1：

莉莉的科技書(shū)比故事書(shū)多16本，科技書(shū)是故事書(shū)3倍，莉莉有

科技書(shū)（）本。

A、8B、12C、16D、24

解：

1、解決差倍問(wèn)題，可以畫(huà)線(xiàn)段圖解決，也可以直接套用公式解

決。

2、把故事書(shū)的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書(shū)的本數(shù)就是3倍數(shù)，科

技書(shū)比故事書(shū)多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差個(gè)（幾倍—1）

=較小的數(shù)，可以求出故事書(shū)有16+2=8本。

3、根據(jù)差倍公式較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書(shū)有

8X3=24本。

例題2：

甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油

的重量就相等了，則原來(lái)甲桶有油一千克，乙桶有油一千克。

解：

1、根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等

了，說(shuō)明原來(lái)甲桶油比乙桶油多15X2=30（千克）。

2、根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差個(gè)（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出

乙桶有油30+（4-1）=10（千克）。

3、根據(jù)差倍公式較小的數(shù)又幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有

油10X4=40（千克）。

例題3：

每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件。開(kāi)始時(shí)，甲零件的數(shù)量

是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量

一樣多，那么還可以加工個(gè)成品。

解：

1、加工一個(gè)成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個(gè)），加工30個(gè)

成品，甲零件比乙零件多用3X30=90（個(gè)）。根據(jù)“加工了30個(gè)成品

之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說(shuō)明原來(lái)甲零件比乙零件多90

個(gè)。

2、把乙原來(lái)的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多

1倍，對(duì)應(yīng)90個(gè)，求出乙原來(lái)有90個(gè)（2-1）=90（個(gè)）

3、那么甲原來(lái)有90X2=180（個(gè)）零件。

4、每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件，那么加工30個(gè)成品，

甲零件用了5X30=150（個(gè)），乙零件用了2X30=60（個(gè)），所以甲零

件還剩180-150=30（個(gè)），乙零件還剩90-60=30（個(gè)）。剩下的甲零

件還能做30+5=6（個(gè)）成品，剩下的乙零件還能做30+2=15（個(gè)）

成品。因?yàn)槊考善沸枰住⒁覂煞N零件共同完成，所以剩下的零件

數(shù)還可以加工6個(gè)成品。

盈虧問(wèn)題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈）,

一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這

類(lèi)應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分

配總量=（盈+虧）:分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量=（大盈一小盈）子分配差

參加分配總量=（大虧一小虧）個(gè)分配差

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例題1:

小明從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；如果

每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學(xué)校的路程是多少

米？

解：

1、分析題意，類(lèi)比“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“遲到3分鐘”轉(zhuǎn)

化為比計(jì)劃路程少行50X3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計(jì)

劃路程多行70X5=350（米），這時(shí)題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問(wèn)題。

2、根據(jù)公式，求出原計(jì)劃到校的時(shí)間：（350+150）4-（70-50）

=25（分鐘）。

3、所以小明家到學(xué)校的路程：50X（25+3）=1400（米），或者70

X（25-5）=1400（米）。

例題2：

若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余

12塊；若每人擦6塊，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有

多少塊?

解:

1、由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問(wèn)題，需要將題目

條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問(wèn)題?！捌渲?人各擦4塊，其余的人各擦5塊，

則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊二

2、這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問(wèn)題，擦玻璃的有：（10-0）+（6-5）

=10人,玻璃共有10X5+10=60塊。

例題3：

動(dòng)物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個(gè)

桃子，則有兩只猴子沒(méi)有分到；如果有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴

子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子。一共有多少只猴子？

解：

1、分析題意，題中有兩種分配方式，聯(lián)系“盈虧問(wèn)題”，我們可

以把“兩只猴子沒(méi)有分到”理解為桃子的數(shù)量少2X10=20（個(gè)），再

把“有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子”理

解為每只猴子分9個(gè)，則還少（9-8）X2+3=5（個(gè)）。

2、這時(shí)把題目看成“雙虧問(wèn)題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）4-

（9-8）=15（只）。

工程問(wèn)題

【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者

之間的關(guān)系。這類(lèi)問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)

量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件

工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】

工作量=工作效率X工作時(shí)間

工作時(shí)間=工作量+工作效率

工作時(shí)間=工作總量+（甲工作效率+乙工作效率）

【解題思路和方法】解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作單

位“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)

完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、

工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。

例題1:

一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要12天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要15天完成，兩

隊(duì)合做4天可以完成這項(xiàng)工程的（）。

解：

1、本題考察的是兩個(gè)人的工程問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是求出

甲、乙兩隊(duì)的工作效率之和。進(jìn)而用工作效率義工作時(shí)間=工作量。

1

2、甲隊(duì)的工作效率為：1+12=運(yùn)，乙隊(duì)的工作效率為：1+15=

12_1

話(huà)，兩隊(duì)合做4天，可以完成這項(xiàng)工程的（運(yùn)+話(huà)）X4=5o

例題2：

一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作30天完成。如果甲隊(duì)單獨(dú)做24天

后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去，由乙隊(duì)繼

續(xù)做了15天才完成。這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要多少天完

成？

解:

1、我們可以將“甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)

合做12天后，甲隊(duì)因事離去，由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成"轉(zhuǎn)化

為“甲、乙兩隊(duì)合做27天，甲再單獨(dú)做9天”，由此可以求出甲9

1-—x27=——^9=—

天的工作量為：3010,甲每天的工作效率為：1090,

1」=9（K天）

這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要90。

例題3：

有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6小時(shí)，乙單獨(dú)做需要8小時(shí)，丙

單獨(dú)做需要10小時(shí)，上午8時(shí)三人同時(shí)開(kāi)始，中間甲有事離開(kāi)，如

果到中午12點(diǎn)工程才完工，則甲上午離開(kāi)的時(shí)間是幾時(shí)幾分？

解：

1、根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時(shí)間可求出相應(yīng)的工作效

率。甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時(shí)

間也可以求出來(lái)，即甲上午離開(kāi)的時(shí)間也可以求出來(lái)。

-11

2、甲的工作量=1-（8+W）X4=io；

1

甲的工作效率為：1+6=%

113

所以甲的工作時(shí)間為：石+6=5（小時(shí)）

所以甲離開(kāi)的時(shí)間是8時(shí)36分。

百分?jǐn)?shù)問(wèn)題

【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分

數(shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)

只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分

子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的記號(hào)。在實(shí)際中和常用到

“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%,兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

【基礎(chǔ)知識(shí)】百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用

很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：

增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)+原來(lái)基數(shù)X100%

合格率=合格產(chǎn)品數(shù)個(gè)產(chǎn)品總數(shù)X100%

出勤率=實(shí)際出勤人數(shù);應(yīng)出勤人數(shù)又100%

出勤率=實(shí)際出勤天數(shù)個(gè)應(yīng)出勤天數(shù)X100%

缺席率=缺席人數(shù)+實(shí)有總?cè)藬?shù)X100%

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)+試驗(yàn)種子總數(shù)X100%

成活率=成活棵數(shù)+種植總棵數(shù)又100%

出粉率=面粉重量?小麥重量X100%

出油率=油的重量+油料重量義100%

廢品率=廢品數(shù)量+全部產(chǎn)品數(shù)量X100%

命中率=命中次數(shù)+總次數(shù)又100%

烘干率=烘干后重量個(gè)烘前重量X100%

及格率=及格人數(shù)+參加考試人數(shù)X100%

【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之

間的數(shù)量關(guān)系:

百分?jǐn)?shù)=比較量+標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量=比較量+百分?jǐn)?shù)

【解題思路和方法】一般有三種基本類(lèi)型：（1）求一個(gè)數(shù)是另

一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例題1：

在植樹(shù)節(jié)里，某校六年級(jí)學(xué)生在校園內(nèi)種樹(shù)8棵，占全校植樹(shù)

數(shù)的20%,則該校在植樹(shù)節(jié)里共植樹(shù)多少棵？

解：

已知六年級(jí)學(xué)生的種樹(shù)棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹(shù)數(shù)的比

值，直接用除法運(yùn)算即可。所以：84-20%=40（棵）

例題2：

商店新上架了一批連衣裙，第一天賣(mài)出總數(shù)的25%,第二天賣(mài)

出45件，第三天賣(mài)出的是前兩天賣(mài)出的總和的三分一，最后剩下

20件，則商店原先進(jìn)了多少件連衣裙？

解：

1、把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣(mài)出的是

1

前兩天賣(mài)出的總和的三分之一，也就是第三天賣(mài)出了25%的）和45

11

的），由此可以求出與（45+45X3+20）對(duì)應(yīng)的分率。

2、根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，

用除法解答。

（45+45X3+20）+（1-25%~25%X3）=120（件）

例題3：

一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的

40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%,則原來(lái)這堆棋子

一共有多少枚？

解：

1、本題考察的是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是

當(dāng)一種棋子變化時(shí)，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份

數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。

2、由條件可知，當(dāng)拿走49枚黑子時(shí)，此時(shí)白子的數(shù)量沒(méi)有變

化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：

40%=3：2=9：6,拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（「

75%）：75%=1：3=2：6,所以拿走的49枚黑子相當(dāng)于9-2=7

（份），故每一份是49+7=7（枚）棋子

3、拿走49枚棋子之前，黑子有7X9=63（枚），白子有7X

6=42（枚）。

4、再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒(méi)有

變化，所以原來(lái)黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來(lái)

這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

方陣問(wèn)題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形(簡(jiǎn)稱(chēng)方陣)，根據(jù)已知

條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

(1)方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)=(每邊人數(shù)

-1)X4每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1

(2)方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)又每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)=外每邊的人數(shù)平方一內(nèi)每邊的人數(shù)平方內(nèi)

每邊人數(shù)=外每邊人數(shù)一層數(shù)X2

(3)若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，貝IJ：總?cè)藬?shù)=

(每邊人數(shù)一層數(shù))義層數(shù)X4

【解題思路和方法】

方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自

乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例題1：

一學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)

列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少23人。那

么參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員一共有多少人？

解：

1、要知道參加表演的運(yùn)動(dòng)員共有多少人，只需要找到最外層每

邊有多少人即可。

2、一個(gè)正方形隊(duì)列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的

人數(shù)，其中頂點(diǎn)上的人數(shù)計(jì)算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)

X2-lo所以開(kāi)始每邊有（23+1）4-2=12（人），參加表演的有12

X12=144（人）□

例題2：

歡歡用圍棋子圍成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子

16枚，歡歡擺這個(gè)方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1:

1、本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間

的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。

2、方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。知道最外一層每

邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚

數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）X

4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）X4=52（枚），第三

層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1）X4=1IX4=44（枚），擺這個(gè)方陣共

用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)

=（每邊人數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X4。則：（16-3）X3X4=156（枚）

例題3：

一個(gè)實(shí)心方陣由81人組成，這個(gè)方陣的最外層有多少人?

解：

方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9X9=81,所以這是一個(gè)9行9列的方

陣。最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)義4-4=一層人數(shù)。所

以最外層的人數(shù)是9義4-4=32（人）。

牛吃草問(wèn)題

【含義】

“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)

題”。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量=原有草量+草每天生長(zhǎng)量X天數(shù)

【解題思路和方法】

解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例題1:

這是一片新鮮的牧場(chǎng)，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長(zhǎng)6份

草。若一開(kāi)始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。這片牧場(chǎng)的草

夠奶牛吃多少天？

解：

1、本題考查的是牛吃草的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是要求出每天

新增加的草量，在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出的草，其余

的牛吃原有的草。

2、由題目可知：原有的草量+新長(zhǎng)的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長(zhǎng)的草。原有的草量是

不變的。每天新長(zhǎng)的草量是勻速的，每天都長(zhǎng)6份，每頭奶牛每天

吃1份，新長(zhǎng)的草剛好夠6頭奶牛吃的量，那么剩下的20頭奶牛吃

的就是原有的草，每天吃20份，4004-20=20（天），夠吃20天。

例題2：

一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)

20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽

干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

解：

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每天可抽1份水。

5臺(tái)抽水機(jī)20天抽水:5X20=100（份）

6臺(tái)抽水機(jī)15天抽水：6X15=90（份）

每天入庫(kù)的水量：（100-90）;（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20X2=60（份）

需抽水機(jī)臺(tái)數(shù)：604-6+2=12（臺(tái)）

答：要求6天抽干，需要12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。

例題3：

某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一

樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30

分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那

么需多少分鐘？

解：

1、本題考查的是牛吃草的問(wèn)題，“旅客”相當(dāng)于“草”，檢票

口相當(dāng)于“?！薄?/p>

2、由題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開(kāi)始檢票前

已經(jīng)排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開(kāi)始檢票后新來(lái)的旅客。設(shè)1個(gè)

檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。那么4個(gè)檢票口30分鐘檢票

4X30=120（份），5個(gè)檢票口20分鐘檢票5X20=100（份），多花

了10分鐘多檢了120-100=20（份），那么每分鐘新增顧客數(shù)量為

204-10=2（份）。那么原有顧客總量為：120-30X2=60（份）。同

時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，我們可以讓2個(gè)檢票口專(zhuān)門(mén)通過(guò)新來(lái)的顧客，

其余的5個(gè)檢票口通過(guò)原來(lái)的顧客，需要60+5=12（分鐘）。

雞兔同籠問(wèn)題

【含義】

這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只頭和多少

只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知

雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二

雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

第一雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)一

2X雞兔總數(shù)）子（4-2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=（4X雞兔總

數(shù)一實(shí)際腳數(shù)）+（4-2）

第二雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)=（2義雞兔總數(shù)一

雞與兔腳之差）+（4+2）假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)=（4義雞兔總數(shù)

+雞與兔腳之差）+（4+2）

【解題思路和方法】

解此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)

都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，

然后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使

問(wèn)題得到解決。

例題1：雞和兔在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，那么雞

有多少只，兔有多少只？

假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有35

X2=70（只）腳，而實(shí)際有94只腳，這多出來(lái)的腳就是把兔子當(dāng)作

雞多出來(lái)的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），

則兔子有24+2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例題2：動(dòng)物園里有鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿共70只，其中鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)

頸鹿多80只，那么鴕鳥(niǎo)有多少只，長(zhǎng)頸鹿有多少只？

解：

假設(shè)全部都是鴕鳥(niǎo)，則一共有70X2=140（只）腳，此時(shí)長(zhǎng)頸

鹿的腳數(shù)是0,鴕鳥(niǎo)腳比長(zhǎng)頸鹿腳多140只，而實(shí)際上鴕鳥(niǎo)的腳比

長(zhǎng)頸鹿多80只，因此鴕鳥(niǎo)腳與長(zhǎng)頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60

（只），這是因?yàn)榘哑渲械拈L(zhǎng)頸鹿換成了鴕鳥(niǎo)。把每一只長(zhǎng)頸鹿換

成鴕鳥(niǎo)，鴕鳥(niǎo)的腳數(shù)將增加2只，長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕

鳥(niǎo)腳數(shù)與長(zhǎng)頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥(niǎo)的長(zhǎng)頸鹿有

604-6=10（只），鴕鳥(niǎo)有70-10=60（只）。

例題3：李阿姨的農(nóng)場(chǎng)里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如

果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。把1只雞和

1只兔子看做一組，共有6條腿。前后雞和兔的總腿數(shù)有

144+156=300（條），所以共有300+6=50（組）,也就是雞和兔的

總只數(shù)有50只。

抽屜問(wèn)題

【含義】

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如367個(gè)人中

至少有兩個(gè)人是同一天過(guò)生日，這類(lèi)問(wèn)題在生活中非常常見(jiàn)，它所

依據(jù)的理論，我們稱(chēng)之為“抽屜原理”。抽屜原理又名狄利克雷原

則，是符合某種條件的對(duì)象存在性問(wèn)題有力工具。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：如果把n+1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)

抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)

數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k+1）個(gè)或更多的元

素。

【解題思路和方法】

目前,處理抽屜原理問(wèn)題最基本和常用的方法是運(yùn)用“最不利原

則”，構(gòu)造“最不利”“點(diǎn)最背”的情形。

例題1：不透明的箱子中有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的球各20

個(gè)，一次至少摸出多少個(gè)球才能保證摸出兩個(gè)相同顏色的球？

解：

解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利的情況，因?yàn)橛?種顏色，想要摸

出兩個(gè)相同顏色的球。那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出

一個(gè)，這時(shí)再摸一個(gè)球，一定與前幾個(gè)球有顏色相同的。因此至少

要摸4+1=5（個(gè)）球。

例題2：袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，5個(gè)綠球，

一次至少摸出多少