個性化教案 數(shù)列通項公式 數(shù)列求和 數(shù)列的題型與方法=數(shù)列全方位學習

個性化教案授課時間：備課時間：課題：數(shù)列通項公式學生姓名：教師姓名：教學目標精確掌握數(shù)列通項公式的解法．數(shù)列通項公式的幾種求法教學過程高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。我現(xiàn)在總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知數(shù)列滿足，，求。變式:已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項公式.類型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，，求。例2:已知，，求。變式:（全國I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項類型3（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，，，求.變式:（福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；類型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:（全國I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項的和，（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設(shè)，，證明：類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)——迭加法）:數(shù)列：，，求數(shù)列的通項公式。例:已知數(shù)列中，,,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列2.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。類型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進行求解。例：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.（2）應(yīng)用類型4（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（陜西,理,20本小題滿分12分)已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項an變式:(江西,文,22．本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.類型7解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.變式:（山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列(Ⅲ)設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在試求出不存在,則說明理由.類型8解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列變式:（江西,理,21．本小題滿分12分）已知數(shù)列證明（2）求數(shù)列的通項公式an.變式:（山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。變式:（江西,理,22,本大題滿分14分）1.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項公式；證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1a2……an2n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式。3、已知數(shù)列{}滿足時，，求通項公式。4、已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通項a．類型10解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.例：已知數(shù)列滿足：對于都有若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？變式:（重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和類型11歸納猜想法解法：數(shù)學歸納法變式:（全國II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式類型12雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.類型14周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。例：若數(shù)列滿足，若，則的值為___________。變式:（湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則= （） A．0 B． C． D．數(shù)列求和第一部分：知識梳理第一部分：知識梳理一、基本數(shù)列的前項和⑴等差數(shù)列的前項和：⑵等比數(shù)列的前項和：①當時，；②當時，；⑶基本數(shù)列的前項和：.二、數(shù)列求和的常用方法：公式法；性質(zhì)法；拆項分組法；裂項相消法；錯位相減法；倒序相加法.三、重難點突破（一）抓住等差，等比數(shù)列的項的性質(zhì)，整體代值可簡化解題過程.問題1：⑴已知為等比數(shù)列的前項和，公比，則；⑵等差數(shù)列中，公差，且，則.分析：利用（或轉(zhuǎn)化為）等差、數(shù)列等比前項和公式是最基本的方法；⑴要求前99項中序號為3的倍數(shù)項的和可進行整體考慮；⑵把當作一個整體考慮.解析：⑴，⑵，且，（二）裂項相消法求和中注意項數(shù)及項的處理.問題2：數(shù)列的前項和分析：此數(shù)列的第項應(yīng)為（注意不是？），裂項求和時注意項數(shù).解析：此數(shù)列的第項，數(shù)列的前項和第二部分：考點分析第二部分：考點分析題型1公式法、性質(zhì)法求和【例1】⑴等比數(shù)列中的第5項到第10項的和為：⑵等差數(shù)列的前項和為18，前項為和28，則前項和為【解題思路】⑴可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，由成等比數(shù)列求解；⑵利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【解析】⑴利用等比數(shù)列前項和公式求解.由，得，，，⑵利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.是等差數(shù)列，為等差數(shù)列，三點共線..【名師指引】利用等差（等比）數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)解題，可以簡化運算.題型2拆項分組法求和【例2】求數(shù)列的前項和.【解題思路】根據(jù)通項公式，通過觀察、分析、研究，可以分解通項公式中的對應(yīng)項，達到求和的目的.【解析】.【名師指引】若數(shù)列的通項公式可分解為若干個可求和的數(shù)列，則將數(shù)列通項公式分解，分別求和，最終達到求和目的.題型3裂項相消法求和【例3】求和：.【解題思路】觀察通項公式的特點，發(fā)現(xiàn).【解析】原式.【名師指引】數(shù)列的常見拆項有：；；；.題型4錯位相減法求和【例4】若數(shù)列的通項，求此數(shù)列的前項和.【解題思路】利用等比數(shù)列前項和公式的推導方法求和，一般可解決形如一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得數(shù)列的求和問題.【解析】，①②①-②，得..【名師指引】若一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項相乘所得數(shù)列，求和問題適用錯位相減法.題型5倒序相加法求和【例5】設(shè)，求：⑴；⑵【解題思路】觀察及的特點，發(fā)現(xiàn).【解析】，.⑴⑵原式.【名師指引】通過分析對應(yīng)的通項，可結(jié)合等差數(shù)列前項和的推導方法求解.☆⑴數(shù)列求和應(yīng)該從通項入手；⑵數(shù)列求和的常用方法：公式法、性質(zhì)法、拆項分組法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法.第三部分：新題導練第三部分：新題導練1.已知等比數(shù)列中，為的兩個根，則.【解析】由已知得，，，.2.設(shè)函數(shù)定義如下表，數(shù)列滿足且，則.x1234541352【解析】經(jīng)計算得，是一個以4為周期的周期數(shù)列，注意項數(shù)的處理.3.求數(shù)列的前項和.【解析】.4.求數(shù)列的前項和.【解析】.5.⑴求和：；⑵求和：；⑶求和：.【解析】⑴原式.⑵原式.⑶.6.求數(shù)列的前項和.【解析】①①得，②①-②得，當時，；當時，.7.求和：【解析】，①則②①+②得，.作業(yè)1.數(shù)列中，，則數(shù)列的前項的絕對值之和為() 【解析】C.，，所求絕對值之和為2.的結(jié)果為()【解析】C.用錯位相減法3.在項數(shù)為的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的比是() 【解析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)4.數(shù)列中，，若的前項和為，則項數(shù)為() 【解析】B.，，5.的結(jié)果為.【解析】，用裂項相消法.6.數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和為.【解析】由，得，，，數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和為.【解析】8.設(shè)是數(shù)列的前項和，，.⑴求的通項；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】⑴，時，，整理得，，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，其首項為，；⑵由⑴知，9.(2009恩城中學)觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，回答下列問題：⑴求第六行的第一個數(shù)；⑵求第20行的第一個數(shù)；⑶求第20行的所有數(shù)的和．【解析】解：⑴第六行的第一個數(shù)為31；⑵∵第行的最后一個數(shù)是，第行共有個數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)第行的第一個數(shù)是，∴，∴，∴第20行的第一個數(shù)為381⑶第20行構(gòu)成首項為381，公差為2的等差數(shù)列，且有20個數(shù)，設(shè)第20行的所有數(shù)的和為，則.高考真題1.【2011全國】6．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，公差為，則k= A．8 B．7 C．6 D．52.【2011北京】12．在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=4，則公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.3.【2011四川】9．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n

≥1），則a6=（A）3×

44 （B）3×

44+1 （C）44 （D）44+14.【2011天津】11．已知為等差數(shù)列，為其前項和，， 若則的值為_______5.【2011安徽】（7）若數(shù)列的通項公式是 （A）15 （B）12 （C） （D）6.【2011廣東】11．已知是同等比數(shù)列，a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=______7.【2011江西】5.設(shè){}為等差數(shù)列，公差d=-2，為其前n項和，若，則=（）A.18B.20C.22D.248.【2011浙江】（17）若數(shù)列中的最大項是第項，則=_______________。9.【2011遼寧】5．若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n，則公比為 A．2 B．4 C．8 D．1610.【2011遼寧】15．Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2=S6，a4=1，則a5=____________．11.【2011重慶】1．在等差數(shù)列中，，＝ A．12 B．14 C．16 D．18【2011上?！?3、（18分）已知數(shù)列和的通項公式分別為，（），將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列。⑴求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項，又是數(shù)列中的項；⑵中有多少項不是數(shù)列中的項？說明理由；⑶求數(shù)列的前項和（）?！?011全國】17．（本小題滿分l0分）（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為,已知求和【2011天津】20．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（Ⅲ）設(shè)為的前項和，證明【2011安徽】（21）（本小題滿分13分）在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；【2011山東】20．（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．【2011廣東】20．（本小題滿分14分） 設(shè)b>0，數(shù)列}滿足a1=b,（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，2ab+1【2011新課標】17．（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列中，，公比． （I）為的前n項和，證明： （II）設(shè)，求數(shù)列的通項公式．【2011江西】21.(本小題滿分14分）（1）已知兩個等比數(shù)列，滿足，若數(shù)列唯一，求的值；（2）是否存在兩個等比數(shù)列，使得成公差不為的等差數(shù)列？若存在，求的通項公式；若不存在，說明理由．【2011浙江】（19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）對，試比較與的大?。?011湖北】17．（本小題滿分12分） 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、、。（I）求數(shù)列的通項公式；（II）數(shù)列的前n項和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。【2011福建】17．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3．（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（II）若數(shù)列{an}的前k項和=-35，求k的值．【2011重慶】16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和。數(shù)列的題型與方法考點回顧1．數(shù)列的概念，數(shù)列的通項公式與遞推關(guān)系式差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì).2．判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常用三種方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法：①若，則為等差數(shù)列；②若，則為等比數(shù)列。③中項公式法：驗證都成立。3.在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn的最值問題——常用鄰項變號法求解：(1)當,d＜0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.(2)當,d＞0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。4.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法、分組求和法、累加累積法、歸納猜想證明法等。5.數(shù)列的綜合應(yīng)用：⑴函數(shù)思想、方程思想、分類討論等思想在解決數(shù)列綜合問題時常常用到。⑵數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合、用數(shù)列知識解決實際問題等內(nèi)容。6．注意事項：⑴證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義法，即通過證明或而得。⑵在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便。⑶對于一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。⑷注意一些特殊數(shù)列的求和方法。⑸注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：=，=．⑹數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．⑺解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．⑻通過解題后的反思，找準自己的問題，總結(jié)成功的經(jīng)驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力．７．知識網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典例題剖析考點一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)全國各地名校精題1.（1）數(shù)列{an}和{bn}滿足（n=1，2，3…），（1）求證{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列。（2）數(shù)列{an}和{cn}滿足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件。[提示：設(shè)數(shù)列{bn}為分析：本題第（1）問的充要條件的解決可以分別設(shè)出等比、等差數(shù)列的通項；對探究問題我們通常采用的是先假設(shè)再論證。證明：（1）必要性若{bn}為等差數(shù)列，設(shè)首項b1，公差d則∵∴{an}為是公差為的等差數(shù)列充分性若{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項a1，公差d則∴當n=1時，b1=a1也適合∵bn+1－bn=2d，∴{bn}是公差為2d的等差數(shù)列（2）結(jié)論是：{an}為等差數(shù)列的充要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn=bn+1其中（n=1，2，3…）點評：本題考查了等差、等比數(shù)列的基本知識，但解決起來有一定的難度，同時還需要對問題進一步深入下去。全國各地名校精題2.已知數(shù)列的首項（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項，（）。（1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；（3）當a>0時，求數(shù)列的最小項。分析：第（1）問用定義證明，進一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。解：（1）∵∴(n≥2)由得，，∵，∴，即從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當n≥2時，∵是等比數(shù)列,∴(n≥2)是常數(shù)，∴3a+4=0，即。（3）由（1）知當時，，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……顯然最小項是前三項中的一項。當時，最小項為8a-1；當時，最小項為4a或8a-1；當時，最小項為4a；當時，最小項為4a或2a+1；當時，最小項為2a+1。點評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性。考點二：求數(shù)列的通項與求和全國各地名校精題3.已知數(shù)列中各項為：12、1122、111222、……、……（1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.（2）求這個數(shù)列前n項之和Sn.分析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進一步再求和。解：（1）個記：A=,則A=為整數(shù)個=A(A+1)，得證(2)點評：本題難點在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成”兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。全國各地名校精題4.(2010年深圳市)已知數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（Ⅰ），，又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．，即.（Ⅱ）．．（Ⅲ），．當時，則．，對任意的，．點評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點要重點講到?？键c三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系 全國各地名校精題5.（2010年莆田四中）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項.⑴求函數(shù)的表達式；⑵求證：；⑶求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴又∵為銳角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴點評：把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。全國各地名校精題6.已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則點評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。全國各地名校精題7.已知函數(shù),數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當n≥2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明,. （1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立; （2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時, 因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故當n=k+1時,結(jié)論也成立.即對于一切正整數(shù)都成立. 又由,得,從而. 綜上可知 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)=,0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.因為,所以,即>0,從而(Ⅲ)因為,所以,, 所以————=1\*GB3①, 由(Ⅱ)知:,所以=, 因為,n≥2,所以<<=————=2\*GB3②.由=1\*GB3①=2\*GB3②兩式可知:.點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應(yīng)引起注意?？键c四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系全國各地名校精題8.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項數(shù)列滿足=l，．(1)寫出、的值;(2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當n≥2時,Sn＜(2n－1)．分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，…，即（3）當時，，所以，所以點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。全國各地名校精題9.在平面直角坐標系中，已知三個點列{An}，{Bn}，{Cn}，其中，滿足向量與向量共線，且點（B，n）在方向向量為（1，6）的線上（1）試用a與n表示；（2）若a6與a7兩項中至少有一項是an的最小值，試求a的取值范圍。分析：第（1）問實際上是求數(shù)列的通項；第（2）問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。解：（1）又∵{Bn}在方向向量為（1，6）的直線上，（2）∵二次函數(shù)是開口向上，對稱軸為的拋物線又因為在a6與a7兩項中至少有一項是數(shù)列{an}的最小項，∴對稱軸點評：本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學素養(yǎng)的。全國各地名校精題10.已知，若數(shù)列{an}成等差數(shù)列.（1）求{an}的通項an;（2）設(shè)若{bn}的前n項和是Sn，且分析：觀察數(shù)列特征，利用等差數(shù)列基本條件，得出通項公式，進而求解.解：解：設(shè)2，f(a1),f(a2),f(a3),……，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+2－1)dd=2,（2），點評：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，不等式的放縮，有一定的綜合性。全國各地名校精題11.數(shù)列和數(shù)列（）由下列條件確定：（1），；（2）當時，與滿足如下條件：當時，，；當時，，.解答下列問題：（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，若已知當時，，求.（Ⅲ）是滿足的最大整數(shù)時，用，表示滿足的條件.分析：利用條件及第（Ⅰ）小題的結(jié)論提示，找出的關(guān)系，是入手的關(guān)鍵之處.解：（Ⅰ）當時，，當時，，所以不論哪種情況，都有，又顯然，故數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，，所以所以，，又當時，，故.（Ⅲ）當時，，由（2）知不成立，故，從而對于，有，，于是，故，若，則，，所以，這與是滿足的最大整數(shù)矛盾.因此是滿足的最小整數(shù).而，因而，是滿足的最小整數(shù).點評：本題難度較大，但試題分為三個小問，降低了坡度，是的入手較為容易，而且步步深入，前一問題的結(jié)論為后一問題做鋪墊，考生在解題中要充分注意這種“便利條件”.全國各地名校精題12.已知數(shù)列中，，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項；（3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）（2）①②①—②得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以點評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中這種拆分方法是數(shù)學中較高要求的變形.方法總結(jié)與2012年高考預測（一）方法總結(jié)1.求數(shù)列的通項通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察求通項；一是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項。2.數(shù)列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項的形式；數(shù)學歸納法；有的還要用到條件不等式。3.數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。（二）2012年高考預測1.數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系.關(guān)于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項”。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。2.探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.3.等差、等比數(shù)列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。4.求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和.5.將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今后在這方面還會體現(xiàn)的更突出。強化訓練選擇題1．在等差數(shù)列中，，則（）（A）（B）（C）（D）以上都不對【答案】A解析：，，。2．在等比數(shù)列中，和是二次方程的兩個根，則的值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A解析：根據(jù)韋達定理，有，又因為，則，所以。３．設(shè)為等差數(shù)列的前項和。已知。則等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】B解析：，，４．在數(shù)列中，已知，則等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D解析：，，。5.數(shù)列的通項公式，則該數(shù)列的前（）項之和等于。A． B． C． D．【答案】B6.已知等差數(shù)列項和為等于（）A． B． C． D．【答案】C7.設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，則f（20）為（）A．95 B．97 C．105 D．192【答案】Bf（n+1）－f（n）=相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．8.由公差為d的等差數(shù)列a1、a2、a3…重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差為d的等差數(shù)列 B．公差為2d的等差數(shù)列C．公差為3d的等差數(shù)列 D．非等差數(shù)列考查等差數(shù)列的性質(zhì)．【答案】B（a2+a5）－（a1+a4）=（a2－a1）+（a5－a4）=2d．（a3+a6）－（a2+a5）=（a3－a2）+（a6－a5）=2d．依次類推．9.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D設(shè)三邊為則，即得，即10.在中,是以為第三項,為第七項的等差數(shù)列的公差,是以為第三項,為第六項的等比數(shù)列的公比,則這個三角形是（）A．鈍角三角形B．銳角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不對【答案】B，都是銳角11．彈子跳棋共有顆大小相同球形彈子，現(xiàn)在棋盤上將它們疊成正四面體形球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩余的彈子共有（）（A）顆（B）4顆（C）顆（D）顆【答案】B解析：最上面一層放1個，設(shè)最上一層是第一層，由上而下共有層，第層彈子數(shù)為，總彈子數(shù)為，由得，故時剩余最小，且剩余顆。12．三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D解析：設(shè)，則有。當時，，而，；當時，，即，而，則，故。填空題13.已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項___________?！敬鸢浮渴且詾槭醉棧詾楣畹牡炔顢?shù)列，14.數(shù)列…的一個通項公式是______________________。【答案】15.等比數(shù)列前項的和為，則數(shù)列前項的和為______________?！敬鸢浮拷獯痤}17．已知函數(shù)（1）求的反函數(shù)，并指出其定義域；（2）若數(shù)列{an}的前n項和Sn對所有的大于1的自然數(shù)n都有，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式；（3）令18．已知數(shù)列{an}滿足（1）求證：{an}為等比數(shù)列；（2）記為數(shù)列{bn}的前n項和，那么：①當a=2時，求Tn；②當時，是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.19．函數(shù)的最小值為且數(shù)列的前項和為．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；（Ⅲ）若，求數(shù)列的最大項．20．已知數(shù)列中，，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項；（3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：21．已知數(shù)列滿足遞推式，其中（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）求數(shù)列的前n項和.22．已知等差數(shù)列，公差d大于0，且是方程的兩個根，數(shù)列的前n項和為。（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記解答題答案18．解：1）當n≥2時，整理得所以{an}是公比為a的