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文檔簡介
2024屆黑龍江省慶安縣第三中學數(shù)學高二下期末綜合測試模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)的值可以為()A. B. C. D.2.下列求導運算正確的是()A. B.C. D.3.設復數(shù),若,則的概率為()A. B. C. D.4.已知,則的最小值為()A. B. C. D.5.從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A.140種 B.84種 C.70種 D.35種6.長方體中,是對角線上一點,是底面上一點,若,,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示,那么()A.是函數(shù)的極小值點B.是函數(shù)的極大值點C.是函數(shù)的極大值點D.函數(shù)有兩個極值點8.如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學生喜歡理科的等高條形圖,陰影部分表示喜歡理科的百分比,由圖得到結(jié)論不正確的為()A.性別與是否喜歡理科有關B.女生中喜歡理科的比為C.男生不喜歡理科的比為D.男生比女生喜歡理科的可能性大些9.某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同學同時搶4個紅包,每人最多搶一個紅包,且紅包全被搶光,4個紅包中有兩個2元,兩個5元(紅包中金額相同視為相同的紅包),則甲、乙兩人同搶到紅包的情況有()A.36種 B.24種 C.18種 D.9種10.在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點(除極點外),則等于()A. B. C.1 D.11.已知,是雙曲線的上、下兩個焦點,的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點,,若為等邊三角形,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.12.已知關于的方程為(其中),則此方程實根的個數(shù)為()A.2 B.2或3 C.3 D.3或4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的體積為,則該圓柱的側(cè)面積為______.14.已知為自然對數(shù)的底數(shù),曲線在點處的切線與直線平行,則實數(shù)______.15.如果不等式的解集為,且,那么實數(shù)的取值范圍是____16.已知直線與雙曲線的一條漸近線平行,則這兩條平行直線之間的距離是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)若當時,恒有,試確定的取值范圍;(Ⅲ)當時,關于x的方程f(x)=0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個相異的實根,求實數(shù)b的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)的定義域為,且對任意實數(shù)恒有(且)成立.(1)求函數(shù)的解析式;(2)討論在上的單調(diào)性,并用定義加以證明.19.(12分)對某班50名學生的數(shù)學成績和對數(shù)學的興趣進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:對數(shù)學感興趣對數(shù)學不感興趣合計數(shù)學成績好17825數(shù)學成績一般52025合計222850(1)試運用獨立性檢驗的思想方法分析:學生學習數(shù)學的興趣與數(shù)學成績是否有關系,并說明理由.(2)從數(shù)學成績好的同學中抽取4人繼續(xù)調(diào)查,設對數(shù)學感興趣的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.附:0.0500.0100.0013.8416.63510.828.20.(12分)設數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)若為等比數(shù)列,求的值及數(shù)列的通項公式;(2)在(1)的條件下,設,求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知復數(shù),若,且在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.(1)求復數(shù);(2)若是純虛數(shù),求實數(shù)的值.22.(10分)已知直線是拋物線的準線,直線,且與拋物線沒有公共點,動點在拋物線上,點到直線和的距離之和的最小值等于2.(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)點在直線上運動,過點做拋物線的兩條切線,切點分別為,在平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,請求出定點的坐標,若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)題意可知有解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【題目詳解】由題,若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解.當時顯然有解.當時,,解得.因為四個選項中僅.故選:D【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題,需要判斷出導數(shù)大于0有解,利用二次函數(shù)的判別式進行求解.屬于中檔題.2、B【解題分析】
利用導數(shù)運算公式,對每個選項進行一一判斷.【題目詳解】對A,因為,故A錯;對B,,故B正確;對C,,故C錯;對D,,故D錯.所以本題選B.【題目點撥】熟記導數(shù)公式,特別是復合函數(shù)的求導,即,不能漏了前面的負號.3、C【解題分析】
試題分析:,作圖如下,可得所求概率,故選C.考點:1、復數(shù)及其性質(zhì);2、圓及其性質(zhì);3、幾何概型.4、C【解題分析】試題分析:由題意得,,所以,當時,的最小值為,故選C.考點:向量的運算及模的概念.5、C【解題分析】分析:從中任意取出三臺,其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺,有兩種方法,一是2臺和1臺;二是1臺和2臺,分別求出取出的方法,即可求出所有的方法數(shù).詳解:由題意知本題是一個計數(shù)原理的應用,從中任意取出三臺,其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺,快譯通2臺和錄音機1臺,取法有種;快譯通1臺和錄音機2臺,取法有種,根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選:C.點睛:本題考查計數(shù)原理的應用,考查分類和分步的綜合應用,本題解題的關鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況,是一個中檔題目.6、A【解題分析】
將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置,使得平面和平面在同一平面內(nèi),則到平面的距離即為的最小值,利用勾股定理解出即可.【題目詳解】將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置,使得平面和平面在同一平面內(nèi),過點作平面,交于點,垂足為點,則為的最小值.,,,,,,,,故選A.【題目點撥】本題考查空間距離的計算,將兩折線段長度和的計算轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路,考查空間想象能力,屬于中等題.7、C【解題分析】
通過導函數(shù)的圖象可知;當在時,;當在時,,這樣就可以判斷有關極值點的情況.【題目詳解】由導函數(shù)的圖象可知:當在時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當在時,,函數(shù)單調(diào)遞減,根據(jù)極值點的定義,可以判斷是函數(shù)的極大值點,故本題選C.【題目點撥】本題考查了通過函數(shù)導函數(shù)的圖象分析原函數(shù)的極值點的情況.本題容易受導函數(shù)的單調(diào)性的干擾.本題考查了識圖能力.8、C【解題分析】
本題為對等高條形圖,題目較簡單,逐一排除選項,注意陰影部分位于上半部分即可.【題目詳解】解:由圖可知,女生喜歡理科的占,故B正確;男生喜歡理科的占,所以男生不軎歡理科的比為,故C不正確;同時男生比女生喜歡理科的可能性大些,故D正確;由此得到性別與喜歡理科有關,故A正確.故選:.【題目點撥】本題考查等高條形圖等基礎知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是基礎題.9、C【解題分析】
分三種情況:(1)都搶到2元的紅包(2)都搶到5元的紅包(3)一個搶到2元,一個搶到5元,由分類計數(shù)原理求得總數(shù)。【題目詳解】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況:(1)都搶到2元的紅包,有種;(2)都搶到5元的紅包,有種;(3)一個搶到2元,一個搶到5元,有種,故總共有18種.故選C.【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時,關鍵是正確進行分類和分步,分類時要注意不重不漏.在本題中,是根據(jù)得紅包情況進行分類。10、A【解題分析】
把分別代入和,求得的極經(jīng),進而求得,得到答案.【題目詳解】由題意,把代入,可得,把代入,可得,結(jié)合圖象,可得,故選A.【題目點撥】本題主要考查了簡單的極坐標方程的應用,以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.11、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義,可得是等邊三角形,即∴即
即又
0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識,根據(jù)條件求出a,b的關系是解決本題的關鍵.12、C【解題分析】分析:將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題,然后利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解:很明顯不是方程的根,據(jù)此可將方程變形為:,原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù),令,則,列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下:++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致,且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示,觀察可得,與函數(shù)恒有3個交點,即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點睛:函數(shù)零點的求解與判斷方法:(1)直接求零點:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用圖象交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的體積為,設正方體的邊長為,則,解得該圓柱的側(cè)面積為,故答案為.14、【解題分析】
由,求導,再根據(jù)點處的切線與直線平行,有求解.【題目詳解】因為,所以,因為點處的切線與直線平行,所以,解得.故答案為:【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.15、【解題分析】
將不等式兩邊分別畫出圖形,根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】不等式的解集為,且畫出圖像知:故答案為:【題目點撥】本題考查了不等式的解法,將不等式關系轉(zhuǎn)化為圖像是解題的關鍵.16、【解題分析】因為直線ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行,所以-a=2,(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設a=2,則利用平行線間距離公式解得為三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)在(-∞,a)和(3a,+∞)上是減函數(shù),在(a,3a)上是增函數(shù).,(Ⅱ)(Ⅲ)【解題分析】
(Ⅰ)求導,并求出函數(shù)的極值點,列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值和極大值;(Ⅱ)由條件得知,考查函數(shù)的單調(diào)性知,得知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,于是得出,解該不等式組即可;(Ⅲ)將代入函數(shù)的解析式,利用導數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為解出不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】(Ⅰ).令,得x=a或x=3a.當x變化時,的變化情況如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)-0+0-↘極小↗極大↘∴在(-∞,a)和(3a,+∞)上是減函數(shù),在(a,3a)上是增函數(shù).當時,取得極小值,;當時,取得極大值,;(Ⅱ),其對稱軸為.因為,所以.所以在區(qū)間上是減函數(shù).當時,取得最大值,;當時,取得最小值,.于是有即.又因為,所以.(Ⅲ)當時,.,由,即,解得,即在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).要使在[1,3]上恒有兩個相異實根,即在(1,2),(2,3)上各有一個實根,于是有即解得.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點,解題時注意這些問題的等價轉(zhuǎn)化,在處理零點問題時,可充分利用圖象來理解,考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于中等題.18、(1)(2)當時,在上為單調(diào)減函數(shù);當時,在上為單調(diào)增函數(shù).【解題分析】試題分析:(1)①,用替換①式中的有:②,由①②消去即可得結(jié)果;(2)討論兩種情況,分別利用復合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性,再利用定義意且,判定的符合,即可證明結(jié)論.試題解析:(1)∵對任意實數(shù)恒有:①,用替換①式中的有:②,①×②—②得:,(2)當時,函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù),∴在上為單調(diào)減函數(shù).當時,函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù),∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明:設任意且,則,∵,,①當時,則,∴∴在上是減函數(shù).②當時,則,∴∴在上是增函數(shù).綜上:當時,在上為單調(diào)減函數(shù);當時,在上為單調(diào)增函數(shù).19、(1)有99.9%的把握認為有關系,理由詳見解析;(2)分布列詳見解析,數(shù)學期望為2.72【解題分析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論;
由題意知隨機變量X的可能取值,計算對應的概率值,寫出分布列和數(shù)學期望值.【題目詳解】(1).因為,所以有99.9%的把握認為有關系.(2)由題意知,的取值為0,1,2,3,1.因為,.所以,分布列為01231所以,.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列應用問題,是中檔題.20、(1),;(2).【解題分析】
(1)利用和關系得到,驗證時的情況得到,再利用等比數(shù)列公式得到數(shù)列的通項公式.(2)計算數(shù)列的通項公式,利用分組求和法得到答案.【題目詳解】(1)當時,,當時,,與已知式作差得,即,欲使為等比數(shù)列,則,又.故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以.(2)由(1)有得..【題目點撥】
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