2024屆黑龍江省海林市朝鮮族中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆黑龍江省海林市朝鮮族中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．設(shè)函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．3．即將畢業(yè)，4名同學(xué)與數(shù)學(xué)老師共5人站成一排照相，要求數(shù)學(xué)老師站中間，則不同的站法種數(shù)是A．120 B．96 C．36 D．244．一個盒子里有3個分別標(biāo)有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種5．將5名學(xué)生分到三個宿舍，每個宿舍至少1人至多2人，其中學(xué)生甲不到宿舍的不同分法有（）A．18種 B．36種 C．48種 D．60種6．函數(shù)的極小值點(diǎn)是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）7．對于問題：“已知x,y,z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+18．設(shè)則=（）A． B． C． D．9．有五名同學(xué)站成一排拍畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．3210．某班級在一次數(shù)學(xué)競賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，且獎品的單價分別為：一等獎20元、二等獎10元、三等獎5元、參與獎2元，獲獎人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法正確的是（）A．參與獎總費(fèi)用最高 B．三等獎的總費(fèi)用是二等獎總費(fèi)用的2倍C．購買獎品的費(fèi)用的平均數(shù)為9.25元 D．購買獎品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元11．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．12．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的點(diǎn)，且，若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于實(shí)半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是_______.14．若復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+i3，則z的模等于15．下表為生產(chǎn)產(chǎn)品過程中產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對應(yīng)數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于的線性回歸方程為，則__________．16．已知球的體積是V，則此球的內(nèi)接正方體的體積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）與軸不垂直的直線經(jīng)過，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，求直線斜率的取值范圍．18．（12分）對某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和對數(shù)學(xué)的興趣進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：對數(shù)學(xué)感興趣對數(shù)學(xué)不感興趣合計(jì)數(shù)學(xué)成績好17825數(shù)學(xué)成績一般52025合計(jì)222850（1）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是否有關(guān)系，并說明理由．（2）從數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)中抽取4人繼續(xù)調(diào)查，設(shè)對數(shù)學(xué)感興趣的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．19．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點(diǎn)的個數(shù).（II）若是的一個極值點(diǎn)，且，證明：.20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝110°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝1．（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）過AC的平面交PD于點(diǎn)M若平面AMC把四面體P﹣ACD分成體積相等的兩部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．21．（12分）設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，與滿足（1）求的值；（2）求的展開式中的系數(shù)。22．（10分）已知、分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，若．求此橢圓的方程;直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，將化簡成斜率的表達(dá)形式；所以就是求可行域內(nèi)與連線斜率的取值范圍加1,。詳解：，原式表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率加1。由不等式組成的可行域可表示為：由圖可知，斜率最小值為斜率最大值為所以斜率的取值范圍為所以所以選B點(diǎn)睛：本題考查了斜率的定義，線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用。關(guān)鍵是掌握非線性目標(biāo)函數(shù)為分式型時的求法，屬于中檔題。2、D【解題分析】

把化成,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最后根據(jù)的單調(diào)性可得的大小關(guān)系.【題目詳解】因?yàn)榍?故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,難度較易.3、D【解題分析】分析：數(shù)學(xué)老師位置固定，只需要排學(xué)生的位置即可.詳解：根據(jù)題意得到數(shù)學(xué)老師位置固定，其他4個學(xué)生位置任意，故方法種數(shù)有種，即24種.故答案為：D.點(diǎn)睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．4、D【解題分析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有取法；第二類，有兩次取到3號球，共有取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法.考點(diǎn)：排列組合，分類分步記數(shù)原理.5、D【解題分析】試題分析：當(dāng)甲一人住一個寢室時有：種，當(dāng)甲和另一人住一起時有：，所以有種.考點(diǎn)：排列組合.6、A【解題分析】

求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解出的值，并根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出函數(shù)在何處取得極小值，并求得極值，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】，由得函數(shù)在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，故在處有極小值，極小值點(diǎn)為1.選A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

找到要證命題的否定即得解.【題目詳解】“已知x，y，z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1z，y+1x，而它的反面為：三個數(shù)x+1z，y+1x，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得詳解：因?yàn)樗赃xD.點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為9、D【解題分析】

根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進(jìn)行分析：①將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，依據(jù)乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，假設(shè)有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進(jìn)行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學(xué)全排列，安排在剩下的2個位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意題目的限制條件，優(yōu)先滿足受到限制的元素.10、D【解題分析】

先計(jì)算參與獎的百分比，分別計(jì)算各個獎勵的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】參與獎的百分比為：設(shè)人數(shù)為單位1一等獎費(fèi)用：二等獎費(fèi)用：三等獎費(fèi)用：參與獎費(fèi)用：購買獎品的費(fèi)用的平均數(shù)為：參與獎的百分比為，故購買獎品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了平均值，中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.11、A【解題分析】

繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標(biāo)函數(shù)，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，在點(diǎn)或點(diǎn)處取得最小值，即．題中的不等式即：，則：恒成立，原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，整理函數(shù)的解析式有：，令，則，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，據(jù)此可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則此時函數(shù)取得最小值，最小值為：．綜上可得，實(shí)數(shù)的最大值為．本題選擇A選項(xiàng)．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等．①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值．若等號不成立，則利用對勾函數(shù)的單調(diào)性解決問題．12、B【解題分析】

利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與c之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【題目詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質(zhì)，突出了對計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識能力的考查，屬中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

利用列舉法先求出不超過30的所有素?cái)?shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】在不超過30的素?cái)?shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有C102和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應(yīng)的概率P=3故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型的概率和組合數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.14、1【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)z，由此能求出|z|．【題目詳解】∵復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+i∴z=1+∴|z|=1．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的摸這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.15、【解題分析】分析：首先求得樣本中心點(diǎn)，然后利用回歸方程的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：，解得：.點(diǎn)睛：本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解題分析】

設(shè)球的半徑為R，球內(nèi)接正方體的棱長為a，根據(jù)題意知球內(nèi)接正方體的體對角線是球的直徑，得出a與R的關(guān)系，再計(jì)算正方體的體積．【題目詳解】設(shè)球的半徑為R，球內(nèi)接正方體的棱長為a，則球的體積是，又球的內(nèi)接正方體的體對角線是球的直徑，即，；正方體的體積為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了球與其內(nèi)接正方體的關(guān)系，屬于容易題題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，由坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)得，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入化簡，由此解得的取值范圍.【題目詳解】解：（Ⅰ）由題意可得，解得，，∴橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理可得得，，解得或，設(shè)，，又，，∴，∵坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，∴，∴，解得或.故直線斜率的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.18、（1）有99.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為2.72【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（1）．因?yàn)椋杂?9.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系．（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，1．因?yàn)?，．所以，分布列?1231所以，．【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)用問題，是中檔題．19、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解題分析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個數(shù)。（II）根據(jù)是的一個極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！绢}目詳解】（I）∵，，．∴或1、當(dāng)，即時，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時，有兩個極值點(diǎn)：，．2、當(dāng)，即時，，f（x）單調(diào)遞增，此時無極值點(diǎn).3、當(dāng)，即時，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時，有兩個極值點(diǎn)：，．故當(dāng)時，無極值點(diǎn)：當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn).（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又（這一步是此題的關(guān)鍵點(diǎn)，觀察力）1、當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，此時，成立.2、當(dāng)即時，成立.3、當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增.此時，成立.綜上所述，，當(dāng)時，“=”成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求含有參數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)問題，以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，解題時用到了分類討論的思想。20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）先利用線面垂直的判定定理，證得BD⊥面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可證得平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）根據(jù)面積關(guān)系，得到M為PD的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，又AP∩AC＝A，∴BD⊥面PAC．又