2024屆山東省青島市第一中學數學高二第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2024屆山東省青島市第一中學數學高二第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設復數，若，則的概率為（）A． B． C． D．2．在極坐標系中，直線被圓截得的弦長為（）A． B．2 C． D．3．某個命題與正整數有關，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立。現已知當n=8時該命題不成立，那么可推得A．當n=7時該命題不成立 B．當n=7時該命題成立C．當n=9時該命題不成立 D．當n=9時該命題成立4．某一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學只會用綜合法證明，有3位同學只會用分析法證明，現任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數有（）種．A．8 B．15 C．18 D．305．從名男生和名女生中選出人去參加辯論比賽，人中既有男生又有女生的不同選法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．“”是雙曲線的離心率為（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．即不充分也不必要條件 D．充分不必要條件7．公元263年左右，我國數學家劉徽發(fā)現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”．劉徽應用“割圓術”得到了圓周率精確到小數點后四位的近似值，這就是著名的“徽率”．如圖是應用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數據：，）A．12 B．24 C．36 D．488．b是區(qū)間上的隨機數，直線與圓有公共點的概率為A． B． C． D．9．已知，則的值()A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個不小于1 D．至少有一個不小于110．已知函數，為的導函數，則的值為（）A．0 B．1 C． D．11．“，”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設直線（為參數），曲線（為參數），直線與曲線交于兩點，則__________.14．已知函數，則=______．15．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于，兩點，過點作準線的垂線，垂足為，當點坐標為時，為正三角形，則______.16．求曲線在點處的切線方程是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分））已知.（I）試猜想與的大小關系；（II）證明（I）中你的結論.18．（12分）北京市政府為做好會議接待服務工作，對可能遭受污染的某海產品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知該海產品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（1）求該海產品不能銷售的概率.（2）如果該海產品可以銷售，則每件產品可獲利40元；如果該海產品不能銷售，則每件產品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產品4件，記一箱該海產品獲利元，求的分布列，并求出數學期望.19．（12分）直三棱柱中，，，，F為棱的中點.（1）求證：；（2）點M在線段上運動，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值.20．（12分）設數列an是公差不為零的等差數列，其前n項和為Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（Ⅱ）設bn=1an+12-121．（12分）設實部為正數的復數，滿足,且復數在復平面內對應的點在第一、三象限的角平分線上.(1)求復數；(2)若復數為純虛數，求實數的值.22．（10分）已知函數.（1）計算??的值；（2）結合（1）的結果，試從中歸納出函數的一般結論，并證明這個結論；（3）若實數滿足，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

試題分析：，作圖如下，可得所求概率,故選C.考點：1、復數及其性質；2、圓及其性質；3、幾何概型.2、C【解題分析】試題分析：將極坐標化為直角坐標可得和，圓心到直線的距離，故，所以應選C.考點：極坐標方程與直角坐標之間的互化．【易錯點晴】極坐標和參數方程是高中數學選修內容中的核心內容，也是高考必考的重要考點.解答這類問題時，一定要扎實掌握極坐標與之交坐標之間的關系，并學會運用這一關系進行等價轉換.本題在解答時充分利用題設條件，運用將極坐標方程轉化為直角坐標方程，最后通過直角坐標中的運算公式求出弦長，從而使問題巧妙獲解.3、A【解題分析】

根據逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【題目詳解】根據逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以當時命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查數學歸納法和逆否命題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.4、A【解題分析】

本題是一個分類計數問題，解決問題分成兩個種類，根據分類計數原理知共有3+5＝8種結果．【題目詳解】由題意知本題是一個分類計數問題，解決問題分成兩個種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來證明，有3種方法，根據分類計數原理知共有3+5＝8種結果，故選A．【題目點撥】本題考查分類計數問題，本題解題的關鍵是看清楚完成這個過程包含兩種方法，看出每一種方法所包含的基本事件數，相加得到結果．5、C【解題分析】

在沒有任何限制的情況下減去全是男生和全是女生的選法種數，可得出所求結果.【題目詳解】全是男生的選法種數為種，全是女生的選法種數為種，因此，人中既有男生又有女生的不同選法為種，故選C.【題目點撥】本題考查排列組合問題，可以利用分類討論來求解，本題的關鍵在于利用間接法來求解，可避免分類討論，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、D【解題分析】

將雙曲線標準化為,由于離心率為可得,在根據充分、必要條件的判定方法,即可得到結論.【題目詳解】將雙曲線標準化則根據離心率的定義可知本題中應有,則可解得,因為可以推出;反之成立不能得出.故選:.【題目點撥】本題考查雙曲的離心率公式,考查充分不必要條件的判斷,雙曲線方程的標準化后離心率公式的正確使用是解答本題的關鍵,難度一般.7、B【解題分析】試題分析：模擬執(zhí)行程序，可得，不滿足條件；不滿足條件；滿足條件，推出循環(huán)，輸出的值為，故選B.考點：程序框圖.8、C【解題分析】

利用圓心到直線的距離小于等半徑可求出滿足條件的b，最后根據幾何概型的概率公式可求出所求．【題目詳解】解：b是區(qū)間上的隨機數即，區(qū)間長度為，由直線與圓有公共點可得，，，區(qū)間長度為，直線與圓有公共點的概率，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關系，與長度有關的幾何概型的求解．9、D【解題分析】

先假設，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項D是正確的.【題目詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對于D，假設，則，相加得，矛盾，故選D.【題目點撥】本題考查了反證法的應用，應用特例排除法是解題的關鍵.10、D【解題分析】

根據題意，由導數的計算公式求出函數的導數，將代入導數的解析式，計算可得答案．【題目詳解】解：根據題意，，則，則；故選：．【題目點撥】本題考查導數的計算，關鍵是掌握導數的計算公式，屬于基礎題．11、A【解題分析】

利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【題目詳解】若，則必有.若，則或.所以是的充分不必要條件.故選:A.【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的定義和判斷.12、C【解題分析】

求導計算處導數，畫出函數和的圖像，根據圖像得到答案.【題目詳解】當時，，則，；當時，，則，當時，；畫出和函數圖像，如圖所示：函數有3個交點，根據圖像知.故選：.【題目點撥】本題考查了根據函數零點個數求參數，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出函數圖像是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意得，曲線的普通方程為，直線的直角坐標方程為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與曲線交于．考點：直線與圓的位置的弦長的計算．14、【解題分析】

先求內層函數值，再求外層函數值.【題目詳解】根據題意，函數，則，則；故答案為．【題目點撥】本題主要考查分段函數求值問題，分段函數的求值問題主要是利用“對號入座”策略.15、2【解題分析】

設點在第一象限，根據題意可得直線的傾斜角為，過點作軸，垂足為，由拋物線的定義可得,，通過解直角三角形可得答案.【題目詳解】設點在第一象限，過點作軸，垂足為,由為正三角形，可得直線的傾斜角為.由拋物線的定義可得,又,所以在中有：.即，解得：.故答案為：2【題目點撥】本題考查拋物線中過焦點的弦的性質，屬于難題.16、【解題分析】因為，所以，則曲線在點處的切線的斜率為，即所求切線方程為，即.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)證明見解析.【解題分析】分析：（I）由題意，可取，則，，即可猜想；（II）令，則，得到函數的單調性，利用單調性即可證明猜想.詳解：（I）取，則，，則有；再取，則，，則有.故猜想.（II）令，則，當時，，即函數在上單調遞減，又因為，所以，即，故.點睛：本題主要考查了歸納猜想和利用函數的單調性證明不等關系式，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理論證能力.18、（1）；（2）分布列見解析，期望為1.【解題分析】

（1）利用對立事件的概率計算該產品不能銷售的概率值；（2）由題意知的可能取值為，，，1，160；計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望．【題目詳解】（1）記“該產品不能銷售”為事件，則（A），所以，該產品不能銷售的概率為；（2）由已知，的可能取值為，，，1，160計算，，，，；所以的分布列為1160；所以均值為1．【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的應用問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）在矩形中由平面幾何知識證明，再證，然后由線面垂直證明線線垂直．（2）當三棱錐的體積最大時點M與F重合，如圖建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【題目詳解】（1）連接，由直三棱柱和，易得面，面，所以，又，，，則，又，∴，，∴，∴，又，所以面，所以（2）當三棱錐的體積最大時點M與F重合，如圖建立空間直角坐標系，用向量法求二面角．，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，易知，，，設，則，解得取，則記二面角的大小為，則，故.【題目點撥】本題考查用線面垂直證明線線垂直，用空間向量法求二面角．屬于常規(guī)題．20、（I）an=2n-1，Sn【解題分析】

（Ⅰ）設等差數列an的公差為d，根據題中條件列方程組求出a1和d的值，于此可得出an（Ⅱ）將bn的通項表示為bn=141n【題目詳解】（Ⅰ）由題意，得a1=1a2=a1所以an=a（Ⅱ）因為bn所以Tn【題目點撥】本題考查等差數列通項和求和公式，考查裂項求和法，在求解等差數列的問題時，一般都是通過建立首項與公差的方程組，求解這兩個基本量來解決等差數列的相關問題，考查計算能力，屬于中等題。21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據待定系數法求解，設，由題意得到關于的方程組求解即可．（2）根據純虛數的定義求解．【題目詳解】(1)設，由，得又復數在復平面內對應的點在第一、三象限的角平分線上，則，即．由，解得或（舍去），∴．（2）由題意得，∵復數為純虛數，∴解得∴實數的值為．【題目點撥】處理有關復數的基本概念問題，關鍵是找準復數的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復數問題轉化成