2024屆銅陵市重點中學數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆銅陵市重點中學數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)：根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A． B． C． D．2．（2018年天津市河西區(qū)高三三模）已知雙曲線：的虛軸長為，右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．設曲線在點處的切線與直線平行，則（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．5．若,則下列結論正確的是()A． B． C． D．6．已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．7．在中，，，，則的面積為（）A．15 B． C．40 D．8．設隨機變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．69．設，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知是四面體內(nèi)任一點，若四面體的每條棱長均為，則到這個四面體各面的距離之和為（）A． B． C． D．11．若存在兩個正實數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A．是函數(shù)的極小值點B．當或時,函數(shù)的值為0C．函數(shù)關于點對稱D．函數(shù)在上是增函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設集合，，則集合______.14．在平面直角坐標系中，若直線與橢圓在第一象限內(nèi)交于點，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，則橢圓的離心率是______.15．若關于的不等式（，且）的解集是，則的取值的集合是_________．16．在平面直角坐標系中，己知直線與圓相切，則k的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球O的半徑為R,A﹑B﹑C在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積．18．（12分）已知函數(shù)有兩個極值點和3.(1)求，的值；(2)若函數(shù)的圖象在點的切線為，切線與軸和軸分別交于，兩點，點為坐標原點，求的面積.19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點,使得直線平面？若存在,求的值：若不存在,請說明理由.21．（12分）設，其中，，與無關.（1）若，求的值；（2）試用關于的代數(shù)式表示：；（3）設，，試比較與的大小.22．（10分）已知復數(shù)（a，），（c，）.（1）當，，，時，求，，；（2）根據(jù)（1）的計算結果猜想與的關系，并證明該關系的一般性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，樣本中心點是用含有t的代數(shù)式表示的，把樣本中心點代入變形的線性回歸方程，得到關于t的一次方程，解方程，得到結果．【題目詳解】∵由回歸方程知=，解得t=3，故選A．【題目點撥】】本題考查回歸分析的初步應用，考查樣本中心點的性質(zhì)，考查方程思想的應用，是一個基礎題，解題時注意數(shù)字計算不要出錯．2、A【解題分析】分析：由虛軸長為可得，由到漸近線的距離為可解得，從而可得結果.詳解：由虛軸長為可得，右頂點到雙曲線的一條漸近線距離為，，解得，則雙曲線的方程為，故選A.點睛：用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或；③找關系：根據(jù)已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.3、D【解題分析】試題分析：由的導數(shù)為，則在點處的切線斜率為，由切線與直線平行，所以，故選D．考點：利用導數(shù)研究曲線在某點處的切線方程．4、B【解題分析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數(shù)的導數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，是解題的關鍵，屬于容易題．5、C【解題分析】

先用作為分段點，找到小于和大于的數(shù).然后利用次方的方法比較大小.【題目詳解】易得，而，故，所以本小題選C.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.6、B【解題分析】令所以,選B.點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等7、B【解題分析】

先利用余弦定理求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.【題目詳解】由余弦定理得，解得，由三角形面積得，故選B.【題目點撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題.8、C【解題分析】分析：根據(jù)方差的定義計算即可.詳解：隨機變量的分布列為，則則、故選D點睛：本題考查隨機變量的數(shù)學期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意方差計算公式的合理運用．9、A【解題分析】

通過分類討論可證得充分條件成立，通過反例可知必要條件不成立，從而得到結果.【題目詳解】若，則；若，則；若，則，可知充分條件成立；當，時，則，此時，可知必要條件不成立；是的充分不必要條件本題正確選項：【題目點撥】本題考查充分條件與必要條件的判定，屬于基礎題.10、A【解題分析】

先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個面的距離.【題目詳解】解：因為正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，

設它到四個面的距離分別為，

由于棱長為1的正四面體，四個面的面積都是；

又頂點到底面的投影在底面的中心，此點到底面三個頂點的距離都是高的，

又高為，

所以底面中心到底面頂點的距離都是；

由此知頂點到底面的距離是；

此正四面體的體積是.

所以：，

解得.

故選：A.【題目點撥】本題考查了正四面體的體積計算問題，也考查了轉化思想和空間想象能力與計算能力.11、D【解題分析】試題分析：由得，即，即設，則，則條件等價為，即有解，設，為增函數(shù)，∵，∴當時，，當時，，即當時，函數(shù)取得極小值為：，即，若有解，則，即，則或，故選D．考點：函數(shù)恒成立問題.【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關系，轉化為兩個函數(shù)相交問題，利用構造法和導數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大根據(jù)函數(shù)與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關系進行求解即可．12、D【解題分析】

由導函數(shù)的圖象得到原函數(shù)的增減區(qū)間及極值點，然后逐一分析四個命題即可得到答案．【題目詳解】由函數(shù)f(x)的導函數(shù)圖象可知，當x∈(?∞,?a),(?a，b)時,f′(x)<0，原函數(shù)為減函數(shù)；當x∈(b,+∞)時,f′(x)＞0，原函數(shù)為增函數(shù).故不是函數(shù)的極值點，故A錯誤；當或時,導函數(shù)的值為0，函數(shù)的值未知，故B錯誤；由圖可知，導函數(shù)關于點對稱，但函數(shù)在(?∞,b)遞減,在(b,+∞)遞增,顯然不關于點對稱，故C錯誤；函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確；故答案為：D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，屬于導函數(shù)的應用，考查數(shù)形結合思想和分析能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)集合,，求出兩集合的交集即可【題目詳解】,故答案為【題目點撥】本題主要考查了集合交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵，屬于基礎題．14、.【解題分析】

由題意可得軸，求得的坐標，由在直線上，結合離心率公式，解方程可得所求值．【題目詳解】解：以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，可得軸，令，可得，不妨設，由在直線上，可得，即為，由可得，解得（負的舍去）.故答案為:.【題目點撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查了圓的性質(zhì).本題的關鍵是由圓過焦點得出點的坐標.求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個關于的方程，由橢圓或雙曲線的的關系，進而求解離心率.15、【解題分析】

由題意可得當x=時，4x=log2ax，由此求得a的值．【題目詳解】∵關于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，則當x=時，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案為．【題目點撥】本題主要考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．16、【解題分析】

通過圓心到直線的距離等于半徑構建等式，于是得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可知圓心為，半徑為2，于是圓心到直線的距離，而直線與圓相切，故，因此解得.【題目點撥】本題主要考查直線與圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力，難度不大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積?！绢}目詳解】解：A與B,A與C的球面距離都為，，BOC為二面角B-AO-C的平面角，又B與C的球面距離為，BOC=，球O夾在二面角B-AO-C的體積是球的六分之一即為【題目點撥】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積。18、(1)，；(2)【解題分析】

（1）先對函數(shù)求導，得到，根據(jù)函數(shù)極值點，結合韋達定理，即可求出結果；（2）先由（1）得到解析式，求出點，根據(jù)導函數(shù)，求出切線斜率，得到切線方程，進而求出，兩點坐標，即可求出三角形面積.【題目詳解】(1)由題意可得，，因為函數(shù)有兩個極值點和3.所以的兩根為和3.由韋達定理知，，解得，∴(2)由(1)知，，∴，所以切線的斜率所以切線的方程為：此時，，所以【題目點撥】本題主要考查由函數(shù)的極值點求參數(shù)的問題，以及求函數(shù)在某點處的切線方程，熟記導數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）通過取AD中點M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點O建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求得平面CAE與直線BE向量，根據(jù)直線與法向量的夾角即可求得直線與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點為，建立空間直角坐標系，，，，，，，.設平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線與平面所成角的正弦值.點睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應用，利用法向量法求線面夾角的正弦值，關鍵注意計算要準確，屬于中檔題．20、(1)；(2).【解題分析】

建立適當?shù)目臻g直角坐標系.(1)求出平面的法向量,利用空間向量夾角公式可以求出直線與平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,結合線面平行的性質(zhì),空間向量共線的性質(zhì),如果求出的值,也就證明出存在線段上是否存在點,使得直線平面,反之就不存在.【題目詳解】以為空間直角坐標系的原點,向量所在的直線為軸.如下所示：.(1)平面的法向量為,..直線與平面所成角為,所以有;(2)假設線段上是存在點,使得直線平面.設,因此,所以的坐標為：..設平面的法向量為,,,因為直線平面,所以有,即.【題目點撥】本題考查了線面角的求法以及線面平行的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.21、(1);(2);(3).【解題分析】分析：（1）由，即可求出p；（2）當時，，兩邊同乘以，再等式兩邊對求導，最后令即可；（3）猜測：，利用數(shù)學歸納法證明.詳解：（1）由題意知，所以.（2）當時，，兩邊同乘以得：，等式兩邊對求導，得：，令得：，即.（3），，猜測：，當時，，，，此時不等式成立；②假設時，不等式成立，即：，則時，所以當時，不等式也成立；根據(jù)①②可知，，均有.點睛：利用數(shù)學歸納法證明等式時應注意的問題(1)用數(shù)學歸納法證明等式其關鍵點在