人教A版2024年高一數(shù)學寒假提高講義 第02課 函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）

第第頁第02課函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.[注意]有多個單調(diào)區(qū)間應分開寫，不能用符號“∪”聯(lián)結，也不能用“或”聯(lián)結，只能用“逗號”或“和”聯(lián)結.2.函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值常用結論1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結論設?x1，x2∈D(x1≠x2)，則(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＞0)?f(x)在D上單調(diào)遞增.(2)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＜0)?f(x)在D上單調(diào)遞減.【例1】求函數(shù)f(x)＝﹣x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間.【例2】判斷函數(shù)y＝eq\f(2x2－3,x)的單調(diào)性.【例3】(1)函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為________.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x≤0，,x＋\f(4,x)，x＞0))有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.函數(shù)的奇偶性及周期性知識梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(﹣x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于原點對稱[注意]奇、偶函數(shù)定義域的特點是關于原點對稱，函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.[注意]不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如f(x)＝5.常用結論1.函數(shù)奇偶性常用結論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝﹣f(x)，則T＝2a(a＞0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a＞0).(3)若f(x＋a)＝﹣eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a＞0).【例4】(1)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2﹣x(2)設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex﹣1，則當x＜0時，f(x)＝()A.e﹣x﹣1B.e﹣x＋1C.﹣e﹣x﹣1D.﹣e﹣x＋1【例5】已知定義域為(﹣1，1)的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(a﹣3)＋f(9﹣a2)＜0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2eq\r(2)，3)B.(3，eq\r(10))C.(2eq\r(2)，4)D.(﹣2，3)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識梳理1.根式(1)根式的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當n為奇數(shù)且n∈N*，n>1時，,x＝±\r(n,a)，當n為偶數(shù)且n∈N*時.))(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n＞1).②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n為偶數(shù).))2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關概念①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數(shù)指數(shù)冪：a﹣eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar﹣s(a＞0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝ax(a＞0且a≠1)a＞10＜a＜1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)常用結論1.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，(-1，eq\f(1,a)).2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.3.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究.【例6】(1)化簡eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.﹣2x2y(2)化簡的結果為________.(3)已知＝3，則x2＋x﹣2＋3＝________.【例7】(1)已知a＝，b＝，c＝，則下列關系式中正確的是()A.c＜a＜bB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c(2)不等式＜恒成立，則a的取值范圍是________.對數(shù)函數(shù)知識梳理1.對數(shù)概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a＞0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a＞0，且a≠1)運算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(1，0)當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＜0當x＞1時，y＜0當0＜x＜1時，y＞0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱.常用結論1.換底公式的三個重要結論①logab＝eq\f(1,logba)；②logambn＝eq\f(n,m)logab；③logab·logbc·logcd＝logad.2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)與y＝1相交的對數(shù)函數(shù)從左到右底數(shù)逐漸增大.【例8】(1)計算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的結果為________.(2)若lgx＋lgy＝2lg(2x﹣3y)，則log1.5eq\f(x,y)的值為________.(3)設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于________.【例9】(1)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關系為()A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b(2)已知函數(shù)f(x)＝logax(a＞0且a≠1)滿足f(eq\f(2,a))＜f(eq\f(3,a))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－1))＞0的解集為()A.(0，1)B.(﹣∞，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)課時跟蹤練習1.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x﹣1)＜f(eq\f(1,3))的x的取值范圍是()A.(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B.[eq\f(1,3)，eq\f(2,3))C.(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))D.[eq\f(1,2)，eq\f(2,3))2.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－2x－3)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(﹣∞，1]B.[3，＋∞)C.(﹣∞，﹣1]D.[1，＋∞)3.下列函數(shù)中，滿足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]＜0”的是()A.f(x)＝2xB.f(x)＝|x﹣1|C.f(x)＝eq\f(1,x)﹣xD.f(x)＝ln(x＋1)4.設函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，則下列結論錯誤的是()A.|f(x)|是偶函數(shù)B.﹣f(x)是奇函數(shù)C.f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D.f(|x|)f(x)是偶函數(shù)5.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)﹣1，則f(﹣6)＝()A.2B.4C.﹣2D.﹣46.函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)＝f(2﹣x).若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f(x)()A.在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)B.在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)C.在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)D.在區(qū)間[﹣2，﹣1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)7.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x).若f(2)＞1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(﹣∞，﹣3)B.(3，＋∞)C.(﹣∞，﹣1)D.(1，＋∞)8.函數(shù)y＝的值域是()A.(﹣∞，4)B.(0，＋∞)C.(0，4]D.[4，＋∞)9.(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax﹣1＋1(a＞0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數(shù)圖象經(jīng)過點A的是()A.y＝eq\r(1－x)＋2B.y＝|x﹣2|＋1C.y＝log2(2x)＋1D.y＝2x﹣110.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))則函數(shù)f(x)是()A.偶函數(shù)，在[0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增B.偶函數(shù)，在[0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減C.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且單調(diào)遞減11.(多選)已知f(x)是定義在[0，＋∞)上的函數(shù)，根據(jù)下列條件，可以斷定f(x)是增函數(shù)的是()A.對任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)B.對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)C.對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1﹣x2＜0，都有f(x1)﹣f(x2)＜0D.對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞012.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（a－3）x＋2，x≤1，,－4a－lnx，x>1))對任意的x1≠x2都有(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞，3]B.(﹣∞，3)C.(3，＋∞)D.[1，3)13.若函數(shù)f(x)＝x2﹣2mx＋1在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________.14.已知函數(shù)f(x)＝﹣x|x|，x∈(﹣1，1)，則不等式f(1﹣m)＜f(m2﹣1)的解集為________.15.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________.16.已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝﹣eq\f(1,f（x）).當1≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105)＝________.17.已知定義在R上的函數(shù)滿足f(x＋2)＝﹣eq\f(1,f（x）)，當x∈(0，2]時，f(x)＝2x﹣1.則f(17)＝________，f(20)＝________.18.已知函數(shù)f(x)＝x﹣eq\f(a,x)＋eq\f(a,2)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.19.若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x﹣4(x≥0)，則不等式f(x﹣2)＞0的解集為________.20.若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為________.21.函數(shù)f(x)＝|x﹣2|x的單調(diào)減區(qū)間是________.22.設實數(shù)a，b是關于x的方程|lgx|＝c的兩個不同實數(shù)根，且a＜b＜10，則abc的取值范圍是________.23.已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(eq\f(x1,x2))＝f(x1)﹣f(x2)，且當x＞1時，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝﹣1，求f(x)在[2，9]上的最小值. 24.已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù).(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)＜0恒成立，求k的取值范圍.函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)隨堂檢測1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A.y＝eq\f(1,x)B.y＝|x|﹣1C.y＝lgxD.y＝(eq\f(1,2))|x|2.若函數(shù)f(x)＝(2a﹣5)·ax是指數(shù)函數(shù)，則f(x)在定義域內(nèi)()A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)C.先增后減D.先減后增3.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(﹣2)＝()A.﹣3B.﹣eq\f(5,4)C.eq\f(5,4)D.34.函數(shù)f(x)＝﹣x＋eq\f(1,x)在[﹣2，﹣eq\f(1,3)]上的最大值是()A.eq\f(3,2)