江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)考試真題與答案解析

江蘇省2022年高考：數(shù)學(xué)卷考試真題與答案解析

一、選擇題

本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.若集合〃="1五<4},N={x|3xNl},則()

A.{x|0<x<2}B.'x^<x<2>C.{x|3<x<16|D,<x1<x<16>

答案：D

［詳解］Af={x10Vx<16},N={xIxN；},故〃ClN=Wx<16",

故選：D

2.若i(l-z)=l,則z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

答案詳解：由題設(shè)有l(wèi)-z=；=/=_i,故z=l+i,故z+T=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

3.在“6。中，點。在邊上，BD=2DA.記亂=玩，而=萬，則赤=()

A.3萬一2萬B.—2而+3元C,3玩+2為D.2方+3元

答案：B

答案詳解：因為點。在邊力6上，BD=2DA,所以亦=2次，即而-赤=2(Z-①)，

所以而=3麗-20=312而=-2玩+3萬.

故選：B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫

水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為MO.Okn?;水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積

為180.0匕/，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上

升到157.5m時,增加的水量約為(e=2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

答案：c

答案詳解：依題意可知棱臺的高為腦V=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體

積L

棱臺上底面積S=140.0km2=i40xl()6m2,=180.0km2=180xl06m2,

?展l"s+s，+唇)=9x(140x106+180x106+Ji40xi80xl0i2)

31

=3X(320+60V7)X106?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()

1112

A.-B.-C.TD.~

63J

答案：D

答案詳解：從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：⑵4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種，

——21-72

故所求概率P=

故選：D.

/兀、2乃

6.記函數(shù)/(x)=sin[0x+]J+b(0＞O)的最小正周期為若^＜「＜乃，且＞=八對的圖象關(guān)

于點仔，2)中心對稱，則/圖=()

35

A.1B.-C.-D.3

答案：A

2‘)7.2)22)2

答案詳解：由函數(shù)的最小正周期乃茜足二<7〈萬，彳導(dǎo)口~<一(萬，解得2<0<3,

33CO

/31\37r

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點［彳，2)對稱，所以春。+?TV=左肛％eZ,且b=2,

125

1571\.

---—x+—+2

32f(x)=sin24)

所以/(1)=sin((乃+?)+2=l.

故選：A

7.設(shè)a=O/e°」,b=<，c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

答案：C

]x

答案詳解：設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為/(力="票—1=一下,

當(dāng)XG(-1,0)時，/'(》)>0,當(dāng)xe(0,+oo)時/'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=山(1+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

11

OO

故

所

所

以

<-1一0-<->

/(In999In—=-ln0.9即b〉c,

9，

191Q111

所以/(-歷)</(0)=0,所以In歷+正<°,故歷<"，所以記e"<§,

故"b,

1(x2-11eA+1

設(shè)g(x)=xe、+ln(l-x)(0<x<l),則g,(x)=(x+l)ev+―-=-----—,

令〃(x)=ev(x2-l)+l,h\x)=e'(x2+2x-l),

當(dāng)0<x<3-1時，"(x)<0,函數(shù)〃(x)=e'(x2—I)+l單調(diào)遞減，

當(dāng)庭—1<X<1時,，(x)>0,函數(shù)人(1=心(/-1)+1單調(diào)遞增,

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x(正-1時，3)<°,

所以當(dāng)0<x(夜一1時，g'(x)>。，函數(shù)g(x)=xe、+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(O1)>g(O)=O,gpO.le0'>-ln0.9,所以

故選：C.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36〃，且

3</<373,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

2781

A.B.

2764

D.[18,27]

C.彳T

答案：C

答案詳解：???球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為筋,高為〃，

則『=2/+人2,32=2a2+(3-/?)2,

所以6"=/，2a2-I2—h2

112/4-1(廣、

所以正四棱錐的體積/=§5%=3、4/、"=丁(/2_正》1=就/4_*

1(切但力

所以廣=54/3-T

°7

當(dāng)34”2c時，廣>0,當(dāng)2G<"36時，r<0,

所以當(dāng)/=2幾時，正四棱錐的體積/取最大值，最大值為竽,

又/=3時，%=彳，/=3百時，V=—,

27

所以正四棱錐的體積廠的最小值為二,

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是yy

故選：C.

二、選擇題

本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知正方體[88-48CQ,則（）

A.直線8a與所成的角為90°B.直線8G與所成的角為90°

C.直線8G與平面88Q。所成的角為45。D.直線8G與平面/I6C。所成的角為45°

答案：ABD

答案詳解如圖，連接6。、BQ,因為所以直線8G與6。所成的角即為直線8G

與所成的角，

因為四邊形88CC為正方形，則故直線8G與所成的角為90。，A正確；

連接4°,因為44,平面8Gu平面88CC,則

因為8C，8G,44nBe=4,所以8G，平面44C,

又4CU平面48C,所以8G~LC4,故B正確；

連接4G,設(shè)4。043=°,連接8。，

因為_L平面44CQ,G。u平面4B￡Di,則C,01B】B,

因為B[DiCB[B=Bi,所以G。，平面B8Q。，

所以NCR。為直線BC、與平面B8QZ）所成的角，

設(shè)正方體棱長為則孝，BC\=6,

1,sinZC15O=1^=1j

所以，直線8G與平面85QO所成的角為30。，故C錯誤；

因為平面Z8CO,所以NG8C為直線8G與平面Z6C。所成的角，易得NC；8C=45。,

故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(x)=x3—x+1,則()

A.有兩個極值點B.〃x)有三個零點

C?點(0,1)是曲線y=〃x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

答案：AC

答案詳解：由題，/(x)=3x~-1,令/(x)〉0得x>；?或xc-1",

令1f(x)<0得

所以“X)在(-理，理)上單調(diào)遞減，在(-8,-弓)，(弓,+?))上單調(diào)遞增，

所以x=±］是極值點，故A正確；

因/(—乎)=1+乎>0,/(q)=1一半>0,2)=—5<0,

3y3y

所以，函數(shù)/(x)在-8,-乎)上有一個零點，

當(dāng)時，/(%)>./'［^>0,即函數(shù)/(X)在j坐，也［上無零點，

綜上所述，函數(shù)"X)有一個零點，故B錯誤；

令九(x)=x3—x,該函數(shù)的定義域為R,/?(—X)=(—X》—(―x)=-Y+x=-A(x),

則〃(x)是奇函數(shù)，(0,0)是〃(x)的對稱中心，

將Mx)的圖象向上移動一個單位得到-a)的圖象，

所以點(°，1)是曲線y=〃x)的對稱中心，故C正確；

令/(X)=3F—1=2,可得X=±1,又/(1)=〃-1)=1,

當(dāng)切點為(1』)時，切線方程為N=2XT,當(dāng)切點為(7,1)時，切線方程為N=2x+3,

故D錯誤.

故選：AC

11.已知。為坐標(biāo)原點，點41，1）在拋物線U/=2勿（p>0）上，過點8（0,-1）的直線交C于

P,Q兩點，貝U（）

A.C的準(zhǔn)線為V=-lB.直線與C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\>\BA^

答案：BCD

答案詳解將點A的代入拋物線方程得1=2。，所以拋物線方程為-=九故準(zhǔn)線方程為y=~,

A錯誤；

的3=TV=2,所以直線45的方程為y=2x-l,

1—u

y=2x-l

聯(lián)立[2?，可得F-2x+l=0,解得x=l,故B正確；

[X=y

設(shè)過3的直線為/,若直線/與J'軸重合，則直線/與拋物線。只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為丁=依-1,尸（西,乂）,。（》242）,

[y=Ax-1

聯(lián)立丫2?,得f一丘+1=0,

△=〃一4>0

所以彳為+》2=左，所以左>2或左<—2,必為=（芭々）2=1,

X|X2=1

又|OP|=,|O0|=J1+*=,

所以。尸卜。。|-《必為。+必+必）=故正確;

II）（1Jgxkx?=1kl>2=|OAI",C

因為15Pl=VT7F|xj,1521=71^1^1,

所以|8尸|?|80|=（1+左2）|項馬1=1+左2>5,而|民4『=5,故D正確.

故選：BCD

12.已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/[-2，，g(2+x)

均為偶函數(shù)，貝IJ()

A./(0)=0B.g[-|j=0C./(-1)=/(4)D.g(-D=g⑵

答案：BC

(3、

答案詳解：因為/弓-2x,g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/[|'_2》)=/('|+2》加/(|?-x)=/('|+x,g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)/*),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=5，x=2對稱，

又ga)=ra),且函數(shù)/a)可導(dǎo)，

所以8《卜―。-力=-g(x).

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以g(一;)=g1||=°,g(T)=g0)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(X)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)〃x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定,(X)

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

三、填空題

本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11-三|(》+處的展開式中。6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

答案：-28

答案詳解：因為[1一?1》+少)8=(》+力8-9(》+#:

所以1l—￡|(x+V)'的展開式中含》2歹6的項為艮=-28/歹6,

(1一51x+力*的展開式中X2/的系數(shù)為-28

故答案為：-28

14.寫出與圓/+產(chǎn)=1和（x-?+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程________________.

35725,

答案：二一個十々或"正a五或'=

答案詳解：圓f+y2=i的圓心為。（o,O）,半徑為1,圓（x—3）2+3—4）2=16的圓心g為

34）,半徑為4,

兩圓圓心距為,32+4?=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

433

當(dāng)切線為/時，因為%q二§,所以勺=一]，設(shè)方程為y=-1X+W>°）

d=——=1535

。到/的距離,解得/=1,所以/的方程為y=-1X+z，

當(dāng)切線為“時，設(shè)直線方程為依+y+p=o,其中2>0,左<0,

㈤=iL__Z

上IJl+公,I--24_725

由題意+4+p|_，解得，_25,）；~24A~24

?飛武=4[°=五

當(dāng)切線為〃時，易知切線方程為x=-l,

35725

故答案為：y=-4X+4^y=24X~24^X=~1-

15.若曲線V=（x+a）e*有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是_______________.

答案：（一8,一4）"0,+力）

答案詳解：..,■y=（x+a）e'，.,.：/=（x+l+a）e'，

設(shè)切點為（%，％），則%=（%+。）物,切線斜率%=伉+1+a）鏟，

切線方程為：y_（xo+a）e'。=（/+1+4）小卜―/）,

???切線過原點，?.?一（工。+。）*=（%+1+。）△（-5）,

整理得：X；+ax。-a=0,

切線有兩條，.??6=。2+4。>0,解得4<一4或4〉0,

。的取值范圍是（一0°，-4）5°，+動，

故答案為：（-咫-4）u（O,+力）

V*2V2.

16.已知橢圓C：/+%=l（a>b>0）,C的上頂點為“，兩個焦點為耳，離心率為一過

耳且垂直于工工的直線與C交于。，E兩點，1°色=6,則的周長是

答案：13

c1

答案詳解：...橢圓的離心率為e=-=w，二。=2。，.?.〃=/一C2=3C2,二橢圓的方程為

a2

22

2+^=1，BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點為6,右焦點為B,如圖所示，V

兀

AFi=??°E=c，a=2c,二△/乃為正三角形，?.?過百且垂直于N巴的直

線與C交于。E兩點，OE為線段“鳥的垂直平分線，，直線的斜率為日，斜率倒數(shù)為

右，直線。E的方程：x=^3y-c,代入橢圓方程3犬+4/-12,2=0,整理化簡得到：

13/-6V3cy-9c2=0,

判別式.二僅石。）+4x13x9c2=62xl6xc2,

|。。|=Jl+（百）比-夕2〕=2x4=2x6x4x^=6,

c二得pa=2nc=113,

8，

.?.?！隇榫€段/工的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DF2,/￡=%，二”O(jiān)K的周長等于

△BDE的周長，利用橢圓的定義得到△月?！曛荛L為

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFi|+|EF}|=|DFy|+|DF2\+\EF}\+\EF2\=2a+2a=4a=13^

故答案為：13.

四、解答題

本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

[S]1

17.記S,為數(shù)列｛。,｝的前〃項和，已知q=L:是公差為可的等差數(shù)歹上

（1）求｛4｝的通項公式；

111c

（2）證明：—+—+—<2.

%。2%

答案：（1）4=笠'（2）見解析

第（1）題解析：

S

?二%=1,￡=%=1,二心=1,

S]1

又「:是公差為a的等差數(shù)列，

S〃11/1、〃+2(〃+2)氏

?—=l+-(n-l)=------?v='____人上

7'一〃

''an3'33

.??當(dāng)〃"時，S,~J

(〃+2)/(〃+(%

整理得：(〃一I)%=(〃+i)q

a〃+1

即二nF

?a=ax—

a\aia,.-2%

,34nn+\?(M+1)

=1x—x—x…x------x--------=--------

23n-2M-12

顯然對于〃=1也成立，

.??{%}的通項公式％=及=9；

第(2)題解析：

1==2nn

an+1〃n+lj

…一cosAsin25

18-記"8C的內(nèi)角4&c的對邊分別為ab,C,已知

「24

(1)若0=彳，求卅

2.J2

(2)求丁的最小值?

答案：(1)，(2)4&-5.

第(1)題解析:

cosAsin252sin5cos5sin5

閔--------=----------=-------------=------

1+sin/1+cos252cos2Bcos5

兀c兀

即sinB=cosAcos8-sin4sinB=cos(4+8)=-cosC而。B所以8=7；

2<<5

第(2)題解析:

7C八c兀

由(1)知，sinS=-cosC>0所以5<。<兀,0<3<5,

而sin5=-cosC=sinC--

TTTT

所以。=萬+8,即有工=5一28.

「a1+Z)2sin2/I+sin2Bcos225+1-cos2B

所以——=----一=------------rr--------

csinCcosB

222

(2cos5-1)4-1-cosBc2r-r-

-----------------------------=4COS25+--——5>2V8-5=4V2-5-

cos-B----------------cos-B

nr212

當(dāng)且僅當(dāng)cos2^=當(dāng)時取等號，所以的最小值為40-5.

2c

19.如圖，直三棱柱ZBC-44G的體積為4,△48C的面積為2VT

(1)求力到平面48c的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點，AA=AB,平面48c?1平面N844,求二面角8。-C的正弦

值.

A

答案：（1）72;（2）看

第（1）題解析：

在直三棱柱中，設(shè)點/到平面48c的距離為h,

解得人=亞,

所以點/到平面48c的距離為行；

第（2）題解析：

取48的中點￡連接如圖，因為所以ZE_L48,

又平面ABCI平面ABB.A,,平面A,BCA平面ABBXAX=A.B,

且NEu平面所以NE，平面48。，

在直三棱柱中，8用,平面48。，

由8Cu平面4BC,8Cu平面N8C可得4EJ.8C,BBJBC,

又AE，BB\u平面/且相交，所以8C_L平面,

所以8C,氏4,84兩兩垂直，以8為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由（］）得AE=6,所以14=/3=2,48=2狡，所以8C=2,

則/(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中點。(1,1,1),

則麗=(1,1,1),直=(0,2,0),Z=(2,0,0),

—m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面/田的一個法向量加=(x),z),貝方一.，

m-BA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

一Im-BD=67+ft+c=0

設(shè)平面8。。的一個法向量〃=(見"c),貝一

[m-BC=2Q=0

可取;7=(0』,一1),

/----\m-n11

則叫私〃)=麗=不近=5,

所以二面角-。的正弦值為

2

20.一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不

夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患

該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，力表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好"，8表示事件"選

P(B|A)P(B\A)

到的人患有該疾病”.p(9?與尸,?團的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的

一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為啟

P(J|B)P(A|B)

(i)證明.Rn=---—~-=^■

')證明,P(A\B)P(A15),

(ii)利用該數(shù)據(jù)，給出P(小6)，P(m8)的估計值，并利用(i)的結(jié)果給出用的估計值.

n(ad-bc)2

附片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案：(1)答案見解析(2)(i)證明見解析；(ii)A=6;

第(1)題解析：

叱2n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2?

由日知K-=-------------------------=----------------------—24

卬=初(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

yP(^2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

第(2)題解析：

_P(g|N)P團*)/(/8)P(eP(")pp)

⑴因為~P(B\A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB),

/甲P(邛)

所以一P(B)P(AB)P(耳)P(A月)

m/K-p。網(wǎng)p(mg)

所以P(A\B)P(AI5),

(ii)

由已知P(加5)=崔，尸(川與)=瑞,

—60——90

又P(m3)=而，P(A\B)=

100'

P(A\B)P(A\B)

所以H==----------=—o

尸"么P(*B)P{A\B)

r2v2

21.已知點42,1)在雙曲線C：r—*=l(a>l)上，直線/交C于尺。兩點，直線為P/。

a"a-1

的斜率之和為0.

（1）求/的斜率；

（2）若tanNP/0=20,求△4。的面積.

答案：（1）T；⑵啜

第（1）題解析：

r2V241

因為點4（2,1）在雙曲線==上，所以=一二二=1,解得/=2,即雙曲線

a~aaa

C-.—-y2=1

2.

易知直線/的斜率存在，設(shè)/：V=H+m,。&,乂）,。（吃）2）,

y=kx-\-m

聯(lián)立后-2=1可得，（1一2左2）12-4mkx-2m2-2=0

所以，再+》2=-粵7，中2=槳［,A=16加&+4（2*+2）（2公-1）>0=/一1+2r>0

2.K—12k—1

所以由3P+與/>=°可得，之三+蕓=°，

即（須一2）（去2+〃?-1）+（工2-2）（hq+/H-1）=0,

即2kxix2+（〃?一1一2人）（玉+x2）-4（/n-1）=0,

所以2人器+（加一「2左）/券卜4（〃?-1）=。,

乙K—11乙K—1J

化簡得，8F+44-4+4加（左+1）=0,即/+1）（2左-1+加）=0,

所以左=一1或加=1一2左，

當(dāng)〃?=1-2左時，直線/:y=履+加=左（》-2）+1過點4（2,1）,與題意不符，舍去，

故％=T.

第（2）題解析：

不妨設(shè)直線P4P8的傾斜角為4/7（&</），因為儲「+牖-=°,所以。+￡=兀,

因為tan/R40=2后，所以tan（夕一e）=2&,即tan2a=-2應(yīng)，

即41tan2a-tan?-V2=0,解得tanQ=后,

于是，直線P4：尸行（x-2）+1,直線P8:y=-后（工-2）+1,

y=V2(x-2)+l

聯(lián)立J-可得，蘆+2（1-2及）x+10-4G0,

因為方程有一個根為2,所以％,力=’學(xué)

FBrg10+4/、，_-472-5

同理可得，XQ=---,yQ=---

所以P0：x+y-；=O,|P0|=g,

2+14|2V2,

點A到直線也的距離［=

3

故△時的面積為全會手=苧

22.已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ar-lnx有相同的最小值.

(1)求(7；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=〃x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左

到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

答案：(1)4=1(2)見解析

第(1)題解析：

/(X)=e、—4X的定義域為R,而f'(x)=e*-a,

若a?0,則/'(x)>0,此時/(x)無最小值，故。>0.

g(x)=ax-Inx的定義域為(0,+oo),而gQ)=。_=竺二1.

XX

當(dāng)x<lna時，/'(x)<0,故“X)在(-*Ina)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>lna時，/'(x)〉°,故/(X)在(Ina,+8)上為增函數(shù)，

故/（x）min=/（lna）=a—alna

當(dāng)。時，g'(x)<。，故g(x)在J上為減函數(shù),

當(dāng)X>：時，g'(x)>。，故蚣)在g+oo]上為增函數(shù),故g(X『g用=1-*

因為/(x)=e、一辦和g(x)=ax-inx有相同的最小值,

..1.Q—11

故ITn1="—alna