湖南省衡陽(yáng)市謝第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市謝第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.已知，若為實(shí)數(shù)，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B3.函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)定義域中的任意的，都有,且當(dāng)時(shí),,那么當(dāng)時(shí),的遞減區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知變量x、y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（3，0）處取到最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍(

) A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）參考答案：C考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意作出其平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（3，0）處取到最大值，將z=ax+y化為y=﹣a（x﹣3）+z，z相當(dāng)于直線y=﹣a（x﹣3）+z的縱截距，則﹣a．解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)（3，0）處取到最大值，將z=ax+y化為y=﹣a（x﹣3）+z，z相當(dāng)于直線y=﹣a（x﹣3）+z的縱截距，則﹣a，則a，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．5.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】34：函數(shù)的值域．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f（x）在[﹣1，2]時(shí)的值域?yàn)閇﹣1，3]，再根據(jù)一次g（x）=ax+2（a＞0）為增函數(shù)，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由題意得f（x）值域是g（x）值域的子集，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣2x的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，且關(guān)于直線x=1對(duì)稱∴x1∈[﹣1，2]時(shí)，f（x）的最小值為f（1）=﹣1，最大值為f（﹣1）=3，可得f（x1）值域?yàn)閇﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）為單調(diào)增函數(shù)，g（x2）值域?yàn)閇g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴?a≥3故選D6.設(shè)、、是三個(gè)不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列4個(gè)命題：①若a∥，b∥，則a∥b；

②若a∥，b∥，a∥b，則∥；

③若a⊥，b⊥，a⊥b，則⊥；④若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b.其中正確命題是(

）A、④

B、③

C、①③

D、②④參考答案：B7.設(shè)，則（

）A.

B

C.

D

參考答案：D8.已知集合，集合，則

A．

B．

C．

D．參考答案：D，，9.若復(fù)數(shù)z滿足，則=

(

)A．1

B．

C．

D．3參考答案：B，

選B．10.定義運(yùn)算：．例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：D考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式；2、三角函數(shù)的最值及新定義問(wèn)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在R上的函數(shù)則=__________.參考答案：6.5略12.如圖，要測(cè)量河對(duì)岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定兩點(diǎn)A，B，測(cè)出AB的距離為20m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．則C，D兩點(diǎn)之間的距離為m．參考答案：10【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；解三角形．【分析】在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB．在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得BD．在△BCD中，利用余弦定理可得DC．【解答】解：在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB=20×tan30°=20．在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠DAB﹣∠ABD=45°．由正弦定理可得：=，∴BD===10（3+）．在△BCD中，由余弦定理可得：DC2=202+﹣2×20×10（3+）×cos30°=1000，解得DC=10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.滿足不等式的的取值范圍是________.參考答案：略14.已知函數(shù)的對(duì)稱中心為M,記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的導(dǎo)函數(shù)為,則有.若函數(shù),則可求得:________.參考答案：略15.下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫(xiě)出第16個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是．參考答案：136【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】計(jì)算題；推理和證明．【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推測(cè)an﹣an﹣1=n，以上式子累加，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得答案．【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，an﹣an﹣1=n，等式兩邊同時(shí)累加得an﹣a1=2+3+…+n，即an=1+2+…+n=，所以第16個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是136．故答案為：136．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，由數(shù)列的前幾項(xiàng)得出an﹣an﹣1=n是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．16.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

。（用數(shù)字作答）參考答案：答案：2017.已知函數(shù)，則

參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2，），曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．（1）直線l過(guò)M且與曲線C相切，求直線l的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，求曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2）+2，圓曲線C的普通方程聯(lián)立消元，令判別式等于0求出k，得出直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；（2）求出N到圓心的距離，即可得出最值．【解答】解：（1）M的直角坐標(biāo)為（2，2），曲線C的普通方程為（x﹣1）2+y2=4．設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2）+2，聯(lián)立方程組得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，∵直線l與曲線C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，解得k=0或k=﹣．∴直線l的方程為y=2或y=﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0．（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（﹣2，2），C（1，0）．CN==，圓C的半徑為2．∴曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離最大值為+2，最小值為﹣2．曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍是[﹣2，+2]．19.設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大??；（2）如圖，在△ABC的外角∠ACD內(nèi)取一點(diǎn)P，使得PC=2．過(guò)點(diǎn)P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN，垂足分別是M、N．設(shè)∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此時(shí)α的取值．參考答案：【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理．【分析】（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，結(jié)合C=，可求角A的大??；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin（α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此時(shí)α的取值．【解答】解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．

…3分又因?yàn)镃=，得A+B=，與A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．

…6分（2）由題設(shè)，得在Rt△PMC中，PM=PC?sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC?sin∠PCN=PC?sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin（α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin（α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因?yàn)棣痢剩?，），所以α+∈（，），從而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，當(dāng)α+=，即α=時(shí)，PM+PN取得最大值2．…16分．20.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)搏物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)總是中隨機(jī)抽取3個(gè)總題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正面回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相獨(dú)立，互不影響的．（1）求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率；（2）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率．（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）由題意可知，所求概率．（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.，，．則X的分布列為：X123P∴．設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3.，，，則Y的分布列為：Y0123P∴．（或∵，∴）．（）由E（X）=D（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大．21.（2017?莆田一模）已知曲線E：=1（a＞b，a≠1）上兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）．（1）若點(diǎn)A，B均在直線y=2x+1上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，求a的值；（2）記，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，試探求△OAB的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率公式，k==2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得a的值；（2）設(shè)直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)三角的面積公式即可求得△OAB的面積為定值．【解答】解：（1）由題意可知：①，②，兩式相減得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由x1≠x2，則=﹣a2，由A，B在直線y=2x+1，則k==2，A，B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴﹣=2?，解得：a2=，又a＞0，則a=，（2）直線AB的方程為y=kx+m，則，（1+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2﹣1）=0，△＞0，即（2kma2）2﹣4a2（m2﹣1）（1+a2k2）＞0，則m2＜1+a2k2，由韋達(dá)定理可知：則x1+x2=﹣，x1x2=，由m⊥n，則?=0，x1x2+a2y1y2=0，從而（1+a2k2）x1x2+kma2（x1+x2）+a2m2=0，代入并整理得2m2=1+a2k2，由原點(diǎn)O到直線AB的距離d=，則△OAB的面積S=?d?丨AB丨=???丨x1﹣x2丨，=丨m丨?，=丨m丨?，=?，=?=，從