北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊 猜想、證明與拓廣 教案

九上綜合與實(shí)踐----《綜合與實(shí)踐》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:（1）經(jīng)歷猜想、證明、拓廣的過程，增強(qiáng)問題意識和自主探索意識，獲得探索和發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn).

(2)在問題解決過程中綜合運(yùn)用所學(xué)的知識，體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成對數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識.

2.過程與方法：在探究過程中,感受由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會證明的必要性.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在合作交流中擴(kuò)展思路，發(fā)展學(xué)生的推理能力.4.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)：通過對一個(gè)開放性、探究性的課題的不斷探索，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、修正、證明、拓廣等數(shù)學(xué)活動，積累研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)和方法.

二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)(1)重點(diǎn):通過對一個(gè)開放性、探究性的課題的探索，獲得探索和發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)，體現(xiàn)歸納、綜合和拓展，感悟處理問題的策略和方法.

(2)難點(diǎn):不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的策略和方法.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（多媒體小視頻）著名的七橋問題：一個(gè)步行者能否不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn).偉大的數(shù)學(xué)家歐拉通過研究認(rèn)為他是否定的，但歐拉并沒有停止研究的腳步，而是進(jìn)一步的改變其中的條件，繼續(xù)研究，把它拓廣成一個(gè)幾何問題----一筆畫問題.在這個(gè)問題的啟發(fā)下，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)新一分支---拓?fù)鋵W(xué).而拓?fù)鋵W(xué)現(xiàn)在被廣泛的應(yīng)用在物理和化學(xué)等學(xué)科.那我們也繼續(xù)探索的腳步，進(jìn)行這節(jié)課的猜想、證明與拓廣（板書課題）2.探究活動一：初步感知探究模式問題一：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍.先由學(xué)生直觀感受判斷是否存在，然后請同學(xué)談一談自己的想法，并說明理由.引導(dǎo)學(xué)生先舉例驗(yàn)證是否存在，然后猜想結(jié)論是：一定不存在.教師追問：舉例驗(yàn)證的結(jié)論就一定正確嗎？請同學(xué)證明自己的猜想.教師總結(jié)學(xué)生的方法：（多媒體展示）解：設(shè)給定的正方形的邊長為a，則其周長為4a,面積為a2,若面積變?yōu)?a2,則其邊長應(yīng)為a,此時(shí)周長應(yīng)為a,它不是已知給定的正方形的周長的2倍.

同時(shí)也可以利用相似圖形面積比是相似比的平方來證明，而利用相似的性質(zhì)不僅僅可以解決正方形的問題，其實(shí)所有兩個(gè)相似的多邊形都不可能存在其中一個(gè)的周長和面積同時(shí)是另一個(gè)多邊形的2倍.探究總結(jié)：我們是如何從特殊到一般來研究問題的，引入可以借助代替所有數(shù)的字母或者利用已知的定理和定義來證明.3.探究活動二：運(yùn)用模式嘗試探索問題二：任意給定一個(gè)矩形,是否存在另一個(gè)矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍?先由學(xué)生直觀感受判斷是否存在，受到第一個(gè)問題的影響，學(xué)生會認(rèn)為是不存在的.引導(dǎo)學(xué)生列舉實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，可以借助幾何畫板動態(tài)的演示，幫助學(xué)生糾正兩個(gè)矩形相似的誤區(qū).我們先利用實(shí)例來驗(yàn)證這個(gè)問題，給出三種不同的矩形，三選一，或者自己設(shè)計(jì)，以小組為單位進(jìn)行討論，選一位代表進(jìn)行展示.方法多種多樣，充分展示，教師及時(shí)總結(jié).以長為2，寬為1的矩形為例，學(xué)生可能出現(xiàn)的方法有:①先固定所求矩形的周長,設(shè)另一個(gè)矩形的長為x，將問題化為方程x(6－x)=4是否有解的問題.

②先固定所求矩形的面積,設(shè)另一個(gè)矩形的長為x，將問題轉(zhuǎn)化為方程=6是否有解的問題.

③可以根據(jù)已知矩形的長和寬分別為2和1,那么其周長和面積分別為6和2,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為12和4,設(shè)其長和寬分別為x和y,則得方程組然后討論它的解是否符合題意.

以上方法都有可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程是否有解的問題.④可以轉(zhuǎn)為函數(shù)和兩個(gè)圖像交點(diǎn)的問題.⑤因?yàn)橹荛L為12的矩形面積是S，而，因此存在一個(gè)面積是4的矩形.⑥可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題.肯定學(xué)生的方法，進(jìn)行總結(jié)引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.4.探究結(jié)論的證明：證明問題二當(dāng)已知矩形的長和寬分別為n和m時(shí)，是否仍然有相同的結(jié)論呢？引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過猜想、證明、從而推廣到一般.引入字母，進(jìn)行計(jì)算，以小組為單位完成.（計(jì)算難度較大，可以幻燈片展示過程）解:當(dāng)已知矩形的長和寬分別為n和m時(shí),那么其周長和面積分別為2(m+n)和mn,所求的矩形周長和面積為4(m+n)和2mn.設(shè)所求矩形的一邊長為x,那么另一邊長為2(m+n)-x,根據(jù)題意,得x[2(m+n)-x]=2mn.整理得：x2-2(m+n)x+2mn=0解得經(jīng)檢驗(yàn)x1,x2符合題意,所以存在一個(gè)矩形,它的一邊長為另一為5.探究活動三：積累經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立探究產(chǎn)生新的思維碰撞，引導(dǎo)學(xué)生在剛才的問題基礎(chǔ)上繼續(xù)拓廣，引出問題三.問題三：任意給定一個(gè)矩形．是否一定存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半?請學(xué)生表達(dá)自己的看法，既然任意給定一個(gè)矩形，都存在一個(gè)新矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍.也就是任何一個(gè)矩形的周長和面積可以同時(shí)“加倍”，那么原矩形自然滿足新矩形的“減半”要求，即原矩形的周長和面積分別是新矩形周長和面積的一半．請同學(xué)們利用前面的實(shí)例來驗(yàn)證自己的想法.結(jié)論是否定的，方程沒有解.是否我們就可以下結(jié)論一定不存在呢？激發(fā)學(xué)生思考.可以給學(xué)生存在的實(shí)例，如長是7，寬是1.那么滿足怎樣的而條件才是存在的呢？我們也可以類比上個(gè)問題，把它轉(zhuǎn)化成一元二次方程是否有解的問題.解：設(shè)已知矩形的長和寬分別為n，m，所求矩形的長為x，寬為[(m+n)-x]，那么x[(m+n)-x]＝mn，化簡，得2x2-(m+n)x+mn＝0．①(1)當(dāng)△＝(m+n)2-4×2mn＝m2+n2-6mn≥0，即m2+n2≥6mn時(shí)，方程①有解所以當(dāng)已知矩形的長和寬為m和n時(shí)．如果m2+n2≥6mn，則存在一個(gè)新矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半．(2)當(dāng)△＝(m+n)2-4×2mn＝m2+n2-6mn<0．即m2+n2<6mn時(shí)，方程①無解，所以當(dāng)已知矩形的長和寬為m和n時(shí)，如果m2+n2<6mn，則存在一個(gè)新矩形．它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半．探究結(jié)論：很多數(shù)學(xué)問題有時(shí)僅僅憑實(shí)例是不能說明其成立性的，因此我們要證明.激發(fā)學(xué)生思考提出更多的猜想.7.課堂小結(jié)：請大家談?wù)劚竟?jié)課的收獲.（1）本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識是綜合所學(xué)知識,體會知識之間的內(nèi)