第2課時+兩條直線垂直 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

1.1.4第2課時新授課兩條直線垂直理解并掌握兩條直線垂直的條件，會運用條件判定兩條直線是否垂直.思考：在平面幾何中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線垂直的性質(zhì)定理和判定定理，那么在平面直角坐標系中，怎樣根據(jù)直線方程的特征判斷兩條直線的垂直關(guān)系呢？知識點：兩條直線垂直的判定問題：平面中，兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則兩條直線的方向向量分別為v1＝(1,k1)，v2＝(1,k2)，當兩條直線互相垂直時，可以得出什么結(jié)論？Oxyl2l1v1v2歸納總結(jié)兩條直線垂直的判定如圖.因為兩條直線l1，l2垂直的充要條件是v1⊥v2,所以v1·v2=0,即1+k1k2=0.于是，可以得到如下結(jié)論：對于兩條不重合的直線l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2（其中b1≠b2），l1⊥l2

k1k2=-1.特殊地，當l1，l2中有一條直線的斜率不存在時，說明斜率不存在的直線與x軸垂直，因此，若l1⊥l2，則另一條直線與x軸平行或重合，即另一條直線的斜率為0.Oxyl2l1v1v2例1:判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)l1:y=3x+2,

l2:y=x+1；(2)l1:x+2y-1=0,

l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,

l2:2y=1.解：(1)設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1=3，k2=

，∵k1k2=3×=-1，∴l(xiāng)1⊥l2.例1:判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(2)l1:x+2y-1=0,

l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,

l2:2y=1.(2)法1:設(shè)兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1=，k2=2，∵k1k2=

×2=-1，∴l(xiāng)1⊥l2.法2:由兩條直線方程可得它們的一個法向量分別為n1=(1,2)，n2=(2,-1).∵n1·n2=(1,2)·(2,-1)=2-2=0，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)由兩個方程，可知l1∥y軸，l2∥x軸，∴l(xiāng)1⊥l2.例2:求經(jīng)過點A(2,3)，且垂直于直線l：2x+y-1=0的直線的方程.解：依據(jù)條件，設(shè)所求直線的方程為y-3=k(x-2).將直線l：2x+y-1=0化為y=-2x+1.依題意，有-2k=-1，得k=∴所求直線的方程為y-3=(x-2)，即x-2y+4=0.思考交流：已知兩條直線l1:Ax+By+C1=0和l2:Bx-Ay+C2=0，如何判斷它們的位置關(guān)系呢？若所給的直線方程都是一般式方程，則運用條件：l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0判斷．所以可設(shè)與直線Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)垂直的直線方程為Bx-Ay+m＝0.例2:求經(jīng)過點A(2,3)，且垂直于直線l：2x+y-1=0的直線的方程.解：設(shè)與直線l：2x+y-1=0垂直的直線方程為x-2y+m=0.∵直線l經(jīng)過點A(2,3)，∴2－2×3+m=0，∴m=4.∴所求直線的方程為x-2y+4=0.請你嘗試用不同方法解決例2.歸納總結(jié)判斷兩直線垂直的方法(1)若所給的直線方程都是一般式方程，則運用條件：l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0判斷．(2)若所給的直線方程都是斜截式方程，則運用條件：l1⊥l2?k1·k2＝-1判斷．(3)若所給的直線方程不是以上兩種情形，則把直線方程化為一般式再判斷．練一練1.若直線l1，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是_________.解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知k1k2=–1，所以l1⊥l2.l1⊥l22.已知直線l1：mx+3y＝2-m，l2：x+(m+2)y＝1.若l1⊥l2，則實數(shù)m＝