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1.1.4第2課時新授課兩條直線垂直理解并掌握兩條直線垂直的條件,會運用條件判定兩條直線是否垂直.思考:在平面幾何中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線垂直的性質(zhì)定理和判定定理,那么在平面直角坐標系中,怎樣根據(jù)直線方程的特征判斷兩條直線的垂直關(guān)系呢?知識點:兩條直線垂直的判定問題:平面中,兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則兩條直線的方向向量分別為v1=(1,k1),v2=(1,k2),當兩條直線互相垂直時,可以得出什么結(jié)論?Oxyl2l1v1v2歸納總結(jié)兩條直線垂直的判定如圖.因為兩條直線l1,l2垂直的充要條件是v1⊥v2,所以v1·v2=0,即1+k1k2=0.于是,可以得到如下結(jié)論:對于兩條不重合的直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1⊥l2
k1k2=-1.特殊地,當l1,l2中有一條直線的斜率不存在時,說明斜率不存在的直線與x軸垂直,因此,若l1⊥l2,則另一條直線與x軸平行或重合,即另一條直線的斜率為0.Oxyl2l1v1v2例1:判斷下列各組直線是否垂直,并說明理由:(1)l1:y=3x+2,
l2:y=x+1;(2)l1:x+2y-1=0,
l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,
l2:2y=1.解:(1)設(shè)兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則k1=3,k2=
,∵k1k2=3×=-1,∴l(xiāng)1⊥l2.例1:判斷下列各組直線是否垂直,并說明理由:(2)l1:x+2y-1=0,
l2:2x-y=0;(3)l1:x+2=0,
l2:2y=1.(2)法1:設(shè)兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則k1=,k2=2,∵k1k2=
×2=-1,∴l(xiāng)1⊥l2.法2:由兩條直線方程可得它們的一個法向量分別為n1=(1,2),n2=(2,-1).∵n1·n2=(1,2)·(2,-1)=2-2=0,∴l(xiāng)1⊥l2.(3)由兩個方程,可知l1∥y軸,l2∥x軸,∴l(xiāng)1⊥l2.例2:求經(jīng)過點A(2,3),且垂直于直線l:2x+y-1=0的直線的方程.解:依據(jù)條件,設(shè)所求直線的方程為y-3=k(x-2).將直線l:2x+y-1=0化為y=-2x+1.依題意,有-2k=-1,得k=∴所求直線的方程為y-3=(x-2),即x-2y+4=0.思考交流:已知兩條直線l1:Ax+By+C1=0和l2:Bx-Ay+C2=0,如何判斷它們的位置關(guān)系呢?若所給的直線方程都是一般式方程,則運用條件:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0判斷.所以可設(shè)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線方程為Bx-Ay+m=0.例2:求經(jīng)過點A(2,3),且垂直于直線l:2x+y-1=0的直線的方程.解:設(shè)與直線l:2x+y-1=0垂直的直線方程為x-2y+m=0.∵直線l經(jīng)過點A(2,3),∴2-2×3+m=0,∴m=4.∴所求直線的方程為x-2y+4=0.請你嘗試用不同方法解決例2.歸納總結(jié)判斷兩直線垂直的方法(1)若所給的直線方程都是一般式方程,則運用條件:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0判斷.(2)若所給的直線方程都是斜截式方程,則運用條件:l1⊥l2?k1·k2=-1判斷.(3)若所給的直線方程不是以上兩種情形,則把直線方程化為一般式再判斷.練一練1.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關(guān)系是_________.解:由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,知k1k2=–1,所以l1⊥l2.l1⊥l22.已知直線l1:mx+3y=2-m,l2:x+(m+2)y=1.若l1⊥l2,則實數(shù)m=
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