小學(xué)六年級奧數(shù)周期工程問題

問題周期工程問題專題簡析專題簡析：周期工程問題中，工作時工作人員〔或物體〕是按一定順序輪流交替工作的。解答時，首先要弄清一個循環(huán)周期的工作量，利用周期性規(guī)律，使貌似復(fù)雜的問題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個周期的局部所需的工作時間，這樣才能正確解答。例題例題1一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時，乙單獨(dú)做需要18小時。假設(shè)甲做1小時后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時需共用多少小時？把2小時的工作量看做一個循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。需循環(huán)的次數(shù)為：1÷〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕=EQ\F(36,5)＞7〔次〕7個循環(huán)后剩下的工作量是：1-〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕×7=EQ\F(1,36)余下的工作兩還需甲做的時間為：EQ\F(1,36)÷EQ\F(1,12)=EQ\F(1,3)〔小時〕完成任務(wù)共用的時間為：2×7+EQ\F(1,3)=14EQ\F(1,3)〔小時〕答：完成任務(wù)時需共用14EQ\F(1,3)小時。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要6小時完成，乙單獨(dú)做要10小時完成。如果按甲、乙；甲、乙……的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？2.一部書稿，甲單獨(dú)打字要14小時，乙單獨(dú)打字要20小時。如果先由甲打1小時，然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時……兩人如此交替工作，打完這部書稿共需用多少小時？3.一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成要9小時，乙單獨(dú)完成要12小時。如果按照甲、乙；甲、乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時，完成這項(xiàng)工程的2/3共要多少時間？例題例題2一項(xiàng)工程，甲、乙合作26EQ\F(2,3)天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天才能完成？由題意可以推出“甲先〞的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否那么不管“甲先〞還是“乙先〞，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先〞的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙EQ\F(1,2)甲豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。甲每天能做這項(xiàng)工程的1÷26EQ\F(2,3)×EQ\F(2,1+2)=EQ\F(1,40)甲單獨(dú)做完成的時間1÷EQ\F(1,40)=40〔天〕答：這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要40天才能完成。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾天可以完成？2.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，恰好也用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多EQ\F(1,3)天才能完成。這項(xiàng)工程由甲、乙合作合作幾天可以完成？3.一項(xiàng)工程，甲、乙合作12EQ\F(3,5)小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)小時完成。如果第一小時乙做，第二小時甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多EQ\F(1,3)小時才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾小時可以完成？4.蓄水池有一跟進(jìn)水管和一跟排水管。單開進(jìn)水管5小時灌滿一池水，單開排水管3小時排完一池水。現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水、排水；進(jìn)水、排水……的順序輪流依次各開1小時，多少小時后水池的水剛好排完？例題例題3一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天數(shù)完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩60個不能完成。甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個？由題意可以推出“甲先〞的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否那么不管“甲先〞還是“乙先〞，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先〞的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙剩60個豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，剩下的60個零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的個數(shù)為：60÷〔5-3〕×5=150〔個〕乙每天做的個數(shù)為：60÷〔5-3〕×3=90〔個〕答：甲每天做150個，乙每天做90個。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1.一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩84個不能完成。師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個？2.一項(xiàng)工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數(shù)天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多EQ\F(2,5)天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，只需2EQ\F(5,8)天就可以完成。現(xiàn)在，由乙獨(dú)做需要幾天才能完成？3.紅星機(jī)械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒弟做，這樣交替輪流，恰好整數(shù)小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第二小時讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩60個不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時36分就能完成。師、徒每小時各能完成多少個？例題例題4打印一部稿件，甲單獨(dú)打要12小時完成，乙單獨(dú)打要15小時完成。現(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時……如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時？根據(jù)條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環(huán)。在每一個循環(huán)中，甲、乙都工作了3小時。每循環(huán)一次，他們共完成全部工程的〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕×3＝EQ\F(9,20)總工作量里包含幾個9/20：1÷EQ\F(9,20)=2EQ\F(2,9)甲、乙工作兩個循環(huán)后，剩下全工程的1-EQ\F(9,20)×2＝EQ\F(1,10)由于EQ\F(1,10)＞EQ\F(1,12)，所以，求甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時間為〔EQ\F(1,10)-EQ\F(1,12)〕÷EQ\F(1,15)＝EQ\F(1,4)打印這部稿件共需的時間為：6×2+1+EQ\F(1,4)=13EQ\F(1,4)〔小時〕答：打印這部稿件共需13EQ\F(1,4)小時。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1.一個水池安裝了甲、乙兩根進(jìn)水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，18分鐘能把空池灌滿。現(xiàn)在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘……如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？2.一件工作，甲單獨(dú)做，需12小時完成；乙單獨(dú)做需15小時完成。現(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作，甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1小時……如此交替下去，完成這件工作共需多少小時？3.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要50天完工，乙單獨(dú)做需60天完工?，F(xiàn)在，自某年的3月2日兩人一起開工，甲每工作3天那么休息1天，乙每工作5天那么休息一天，完成全部工程的EQ\F(52,75)為幾月幾日？4.一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做完要150天，乙工程隊(duì)單獨(dú)做完需180天。兩隊(duì)合作時，甲隊(duì)做5天，休息2天，乙隊(duì)做6天，休息1天。完成這項(xiàng)工程要多少天？例題例題5有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,3)天。甲單獨(dú)做13天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余1或余2。如果是3的倍數(shù)，三種輪流方式完工的天數(shù)，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用的天數(shù)是3的倍數(shù)余1。三種輪流方式做的情況可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙EQ\F(1,2)丙丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙EQ\F(1,3)甲從中可以退出：丙=EQ\F(2,3)甲；由于乙=甲－EQ\F(1,2)丙=甲－EQ\F(2,3)甲×EQ\F(1,2)，又推出乙=EQ\F(2,3)甲；與題中“三個工程隊(duì)的工效各不相同〞矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余2。三種輪流方式用的天數(shù)必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙EQ\F(1,2)甲丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲EQ\F(1,3)乙由此推出：丙=EQ\F(1,2)甲，丙=EQ\F(2,3)乙丙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的EQ\F(1,13)×EQ\F(1,2)=EQ\F(1,26)乙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的EQ\F(1,26)÷EQ\F(2,3)=EQ\F(3,52)甲、乙、丙合作完工需要的時間為1÷〔EQ\F(1,13)+EQ\F(1,26)+EQ\F(3,52)〕=5EQ\F(7,9)〔天〕答：甲、乙、丙合作要5EQ\F(7,9)天完工。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1.有一項(xiàng)工程，由三個工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,3)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,4)天。甲單獨(dú)做7天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？2.有一項(xiàng)工程，由三個工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,2)天。甲單獨(dú)做10天完成。且3個工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？3.有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按