第3章圓單元測試（B卷提升篇）（北師版）（解析版）

第3章圓單元測試（B卷提升篇）（北師版）

考試范圍：第3章圓；考試時間：90分鐘；總分：100分

一、選擇題（每小題4分，共24分）

1.（2020?廣州白云廣雅實驗學(xué)校九年級月考）如圖，邊長為4的正方形ABCD各邊均與。。相切，正方形

EFGH是。。的內(nèi)接正方形，則圖中陰影部分的面積是（）

A.16^-4B.4萬-4C.16萬-8D.4萬-8

【答案】D

【分析】

由題意易得陰影部分的面積=。。的面積減去正方形EFGH的面積，連接EG,HF,進而根據(jù)正方形的性質(zhì)

可得AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2,然后問題可求解.

【詳解】

解：連接EG、HF,如圖所示：

:四邊形ABCD、EFGH是正方形，

.?.HF與EG互相垂直且平分，

VAB=4,

二AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2,

；.0。的半徑為2,EH=yjAE2+AH2=2V2>

.??陰影部分的面積為：7tr-S正方形EFCH=4萬一8；

故選D.

【點睛】

本題主要考查切線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?溫州市實驗中學(xué)九年級期末）如圖，一把直角三角板的頂點A、B在。O上，邊BC、AC與OO

交于點D、E,已知NC=30。，則NAED的大小為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】D

【分析】

利用三角形內(nèi)角和定理求出NB,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NAED即可.

【詳解】

解：VZA=900,/C=30°,

.,.ZB=90o-30°=60°,

?.?四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，

AZAED=180°-ZB=120°,

故選：D.

【點睛】

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

3.（2021?呼和浩特市劍橋中學(xué)九年級期末）如圖，的直徑C￡>=10cm,AB是O。的弦，ABLCD,

垂足為M,0￡>:0M=5:3,則AB的長為（）

B

A.6cmB.VoTcrnC.8cmD.4cm

【答案】C

【分析】

連接OA,先求出OA=OD=5,OM=3,由垂徑定理和勾股定理，即可求出AM=4,即可求出AB的長度.

【詳解】

解：連接OA,如圖：

,/。。的直徑8=10cm,

，OA=OD=5,

OD:OM=5:3,

，OM=3,

：AB是。。的弦，ABLCD,垂足為Af,

由垂徑定理，得：AM=BM=-AB,乙4Mo=90。，

2

在直角AAOM中，由勾股定理，則

AM=do^-OM2='52-32=4,

AB=2x4=8；

故選：C.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題.

4.（2021?呼和浩特市劍橋中學(xué)九年級期末）如圖，PA,PB是。。的切線，A,3為切點，AC是。。的

直徑，NB4C=25.5°,則ZP的度數(shù)為（）

A.52°B.51°C.61°D.64.5°

【答案】B

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長的性質(zhì)定理，即可求解.

【詳解】

PA,PB是。。的切線，AC是。。的直徑，

AZCAP=90°,PA=PB,

NPAB=/PBA,

?/ABAC=25.5°,

：.ZPAB=ZCAP-ABAC=64.5°,

，NP=180°-64.5°-64.5°=51°.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查切線的性質(zhì)和切線長的性質(zhì)定理，掌握上述定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?聊城市實驗中學(xué)九年級期末）在半徑為1的。。中，弦A8AC分別是0,百，則Nfi4c的度數(shù)

為（）

A.15°B.15°或75°C.75°D.15°或65°

【答案】B

【分析】

連結(jié)AO并延長交0。于D,連結(jié)OB,CD,當(dāng)B、C在AD同側(cè)時求出/BAO=45。，ZCAD=30°,則

ZBAC=ZBAD-ZCAD=15°,當(dāng)B、C在AD兩側(cè)時NBAC=/BAD+/CAD=75。，則/R4c的度數(shù)為15。

或75。即可

【詳解】

連結(jié)AO并延長交。。于D,連結(jié)OB,CD,

當(dāng)B、C在AD同側(cè)時，

AO=OB=1,AO1+0B-=\+\=2^AB->

ZAOB=90°,

二NBAO=45。，

'.?AD為直徑，

二ZC=90°,

/.cosZCAD=，

2

二ZCAD=30°,

，ZBAC=ZBAD-ZCAD=45°-30°=15°,

ZBAO=45°,

二NCAD=30°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=45o+30°=75°,

則NB4C的度數(shù)為15。或75。，

故選擇:B.

【點睛】

本題考查圓周角問題，勾股定理，三角函數(shù)，掌握求兩弦夾圓周角的方法，注意分類考慮兩弦在直徑的同

側(cè)和兩側(cè)求圓周角是解題關(guān)鍵.

6.（2020?湖北黃石市?九年級期末）如圖，點。、￡分別是。。的內(nèi)接AABC的A3、AC邊上的中點,

若。。的半徑為2,NA=45°,則OE的長等于（）

A.6B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】

連接BO,CO,根據(jù)圓周角定理可證得ABOC為等腰直角三角形，從而結(jié)合半徑推出BC的長度，最后運用

三角形中位線定理求解即可.

【詳解】

如圖所示，連接BO,CO,則OB=OC,

；ZA=45°,

.,?根據(jù)圓周角定理可得：ZBOC=2ZA=90°,

.,.△BOC為等腰直角三角形，其中OB=OC=2,

則BC=2夜，

又???點。、E分別是AABC的43、AC邊上的中點，

，DE為AABC的中位線，

:.DE=LBC=血,

2

【點睛】

本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及中位線定理，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

二、填空題（每小題5分，共30分）

7.（2021?上海金山區(qū)?九年級一模）正十邊形的中心角等于____度.

【答案】36

【分

根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可求解.

【詳解】

正十邊形的中心角等于360°4-10=36°

故答案為：36.

【點睛】

360°

此題主要考查中心角，解題的關(guān)犍是熟知正n邊形的中心角等于——.

n

8.（2020?云夢縣實驗外國語學(xué)校九年級月考）如圖，四邊形A5CQ是。。的內(nèi)接四邊形，AB^AD,若

ZC=72°,則NA8D的度數(shù)是.

【答案】36。

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到NABD=NADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計

算即可.

【詳解】

解：???四邊形A8CZ）是。。的內(nèi)接四邊形，

.*.ZA=180°-ZC=108%

?：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD=|x(180。-4)=；x(180°-108°)=36°

故答案為36。.

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

9.（2020?河南鄭州市?九年級月考）如圖，在口ABC。中，以點A為圓心，AB長為半徑的圓恰好與8相

切于點C,交AD于點￡,延長胡與。A相交于尸，若砂的長為:，則圖中圓的半徑為.

【答案】1

【分析】

連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得4ACD是等腰直角三角形，結(jié)合弧長公式，即可求解.

【詳解】

連接AC,

：DC是③A的切線，

AAC±CD,即/ACD=90°,

又?..在oABCZ）中，AB=AC=CD,AB//CD,

.,.△ACD是等腰宜角三角形，ZFAC=1800-ZACD=90°,

AZCAD=45°,

???ZFAD=90°-45°=45°,

：￡戶的長為:，

.45x乃x廠_乃

■,—180-

解得：r=l,

故答案是：1

【點睛】

本題主要考查弧長公式和切線的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式，是解題的關(guān)鍵.

10.（2020?齊齊哈爾市第三中學(xué)校九年級期末）如圖，必與。。相切，切點為A,PO交。。于點C,

點8是優(yōu)弧CR4上一點，若NA5C=28。，則NP的度數(shù)為.

【答案】34。

【分析】

連接OA,根據(jù)切線性質(zhì)可得/PAO=90。，根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系可得NO,繼而利用互余即可求解.

【詳解】

解：連接OA,如圖所示：

VPA與OO相切

二NPAO=90°,

VZO=2ZABC=56°,

.,.ZP=90°-56°=34°.

故答案為：34°.

【點睛】

本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理.

11.（2021?呼和浩特市劍橋中學(xué)九年級期末）如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于O。，若N4OC=8/，則NA8C

的度數(shù)是.

【答案】1()0°

【分析】

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形ABCO內(nèi)接于。0,

二ZAZ>C+ZABC=180°■

ZADC=80°,

：.ZABC=100°.

故答案是：100°.

【點睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

12.(2020?全國九年級課時練習(xí))如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=28°,以C為圓心，CA為半徑的

圓交AB于點D,交BC于點E,則弧AD的度數(shù)為.

【分析】

連接CD,利用互余計算出NA=62。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°定理，計算NACD=56。即可.

【詳解】

解：連結(jié)CD.

?在AABC中，ZACB=90°,NB=28。，

AZA=90°-/B=62°,

VCA=CD,

，NCDA=NCAD=62。,

.?.NACD=56。，

...弧AD的度數(shù)為56。，

故答案為56°.

【點睛】

本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

三、解答題一（每小題8分，共16分）

13.（2020?遼寧葫蘆島市?九年級月考）已知矩形ABCO中，點E是AO中點，連接CE,經(jīng)過點A,B,

E三點作。。，交8C于點尸，過點尸作戶HLCE于

（1）求證：直線人//是。。的切線;

（2）若AD=46，且點H恰好為CE中點時，判斷此時CE與的位置關(guān)系？說明理由，并求出弧￡尸，

線段/77圍成的圖形的面積.

【答案】（1）見解析；（2）EC與。。相切，理由見解析，4一兀

【分析】

（1）連接BE，OF,易得出BE是圓的直徑，根據(jù)全等三角形的判定證得△EABgAEDC,繼而根據(jù)平行

線的性質(zhì)和切線的判定即可求證結(jié)論；

（2）連接￡尸，易求得四邊形OFHE的邊長，再利用面積的和差即可求解.

【詳解】

（1）連接BE，OF

?.?四邊形ABCD足矩形，

，ZA=NO=90°，AB=CD,

?；ZA=90°,

/.是。。的直徑，

,點E是AO中點，

EA-EC>

AAEAB^AEDC,

EB=EC>

二/EBC=/ECB,

?：OB=OF,

：.ZECB=ZOFB,

：.ZECB=ZOFB,

：.OFUEC,

:.NOFH=NFHC,

'：FH±CE,

：.ZFHC=ZOFH=90°,

乂,:O尸是。。的半徑，

二直線FH是QO的切線.

（2）EC與。。相切.

理由如下：連接EF，

由（1）知，BE是。。直徑,

NEFB=NEFC=9Q0，

:點”是CE中點，

二FH=EH=HC,

???FH±CE,

二/FHC=90°,

：.ZECF=ZHFC=45°,

：./BEC=90。，

又：OE是0。的半徑，

，宜線EC與圓O相切.

由上可知四邊形4段五和四邊形。/7組都是正方形,

AE=AB」AO=LX40=20,

22

.，?BE=yjAB2+AE2=4，

:.OE=OF=2，

2

._o?2907tx2

??Q—。正方形0FHEJja形0EF-Z記0一一葉兀.

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、勾股定理，解題的

關(guān)鍵是綜合運用所學(xué)知識.

14.(2020?山西九年級期末)如圖，AD,A3是以3c為直徑的半圓。的切線，其中AD切。。于點

AB切OO于點B,AD,8c的延長線相交于點E.

B()(：也

(1)連接CD,求證：ZA=2ZCDE.

(2)若AB=3,AE=5,求OO的半徑.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)-

2

【分析】

(1)連接80，。。；根據(jù)切。。于點。，推導(dǎo)得NODC+N8E=90°；由BC是00的直徑推

導(dǎo)得NODB=NCDE；結(jié)合A8切。。手點3,得44+/8。/)=180°,從而推導(dǎo)得

ZA=ZODB+ZOBD,根據(jù)03=。。，即可完成證明;

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，通過證明AODESAABE,得型=匹；結(jié)合勾股定理，計算得3E，設(shè)。。的

ABAE

半徑為，，通過列方程并求解，即可得到答案.

【詳解】

（1）連接班），0D

,/AD切0。于點D,

/.ODJ.AD,

二ZADO=NODE=90°,

AODC+NCDE=90°.

,/BC是。。的直徑，

；.N5OC=90°，

，ZODC+AODB=90",

二NODB=NCDE

AB切。。于點8,

Z.ABC=NADO=90°,

/.ZA+ZBOD=\SC)

在ABOD中，ZBOD+ZODB+NOBD=180°

，ZA=ZODB+ZOBD，

,/OB=OD

NODB=/OBD

NA=2ZODB,即NA=2NCDE；

(2)由(1)知，ZABE=ZODE=90°,ZE=ZE,

:.4ODES4ABE，

.OPOE

"~AB~~AE

在RtAABE中，AB=3,AE=5,

：?BE=JAE?-AB?=4，

設(shè)。。的半徑為r,則0Q=Q3=r,0E=4—r

.r4-r

35

3

解得：r=一

2

3

二。。的半徑是一.

2

【點睛】

本題考查了圓、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線、

圓、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解.

四、解答題二(每小題10分，共30分)

15.(2020?湖北黃石市?九年級期末)如圖，AB是半圓。的直徑，點。是半圓。上一點，點C是A。的中

點，CE工AB于蔗E,過點。的切線交EC的延長線于點G,連接A。，分別交CB、CE于點F、P,

連接AC.

(1)求證：GP=GD；

(2)求證：P是線段AE的中點；

(3)連接CQ,若CD=2,BC=4,求的半徑和CE的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)不，華

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)A5是半圓0的直徑，點。是半圓。上一點，推導(dǎo)得NQ4Q=NOZM；結(jié)合DG是

圓O的過點。的切線，得NOD4+NP￡)G=9(r；根據(jù)C￡_LAB,推導(dǎo)得NQ4￡>+NGPD=90°，從而

得到ZPDG=4GPD,即可完成證明；

(2)連接OC,OC交AD于點Q；根據(jù)點C是4。的中點，得NAQC=90；通過證明。得

ZACP=NC4P，從而得AP=CP：結(jié)合NACB=NCE8=9(T，推導(dǎo)得CP=P尸，即可完成證明;

(3)連接8,點C是AD的中點得AC,根據(jù)A3是半圓。的直徑，結(jié)合勾股定理計算的AB；再通過

直角三角形面積計算公式，即可得CE.

【詳解】

(1)連接OD

是半圓。的直徑，點。是半圓。上一點,

AO-DO

二ZOAD=ZODA

,/DG是圓。的過點D的切線

OD±GD

ZODG=90

???ZODA+ZPDG=9^

?：CEVAB

二ZAEP=90'

ZPAE+ZAPE=90.即NQ40+NAP￡=9O

,:4GpD=ZAPE

???NOAD+NGPD=90°

：.ZPDG=ZGPD

:.GP=GD：

(2)連接OC,OC交AD于點Q

?.?點C是AD的中點

...OC±AD

：.ZAQC=90

OA=OC

，ZOAC=ZOCA

???CE±AB

???ZAEC=9Q°

rZAEC=ZAQC=903

即＜ZOAC=ZOCA

AC=AC

：.△ACE四△CAQ

AZACE=ZCAQ,即NACP=NC4P

AP=CP

又???點C是AZ)的中點

AZCAD=ZABC,即NC4F=N￡BC

NACB=NCEB=90°

二ZCAF+ZAFC=90'，NECB+ZEBC=90'

ZAFC=/ECB

:.CP=PF

:.AP=CP=PF,即P是線段A/的中點；

(3)連接CO

G

:點。是AO的中點，CD=2

，AC=CD=2

；A?是半圓。的直徑

，ZACB=9Q

；?AB=y]AC2+BC2=722+42=2#>

：.0A=0B=^AB=>/5,即。。的半徑為逐

又???CE_LAB

：.-ABxCE^-ACxBC

22

.『ACxBC2x44方

??CH------=—T=----.

AB2755

【點睛】

本題考查了圓、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角、

圓的切線、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

16.（2020?全國九年級課時練習(xí)）如圖，A、P、8、C是。。上四點，ZAPC=ZCPB=6O°.

（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點尸位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由.

（3）求證：PA+PB=PC.

【答案】（1）ZkABC是等邊三角形，證明見解析；（2）當(dāng)點尸位于AS中點時，四邊形尸8。月是菱形，理由

見解析；（3）證明見解析.

【分析】

（1）利用圓周角定理可得NBAC=/CPB,NABC=/APC,而NAPC=NCPB=60。，則可得

ZBAC=ZABC=60°,從而可判斷AABC的形狀；

（2）當(dāng)點P位于AB中點時，四邊形PBOA是菱形，通過證明AOAP和AOBP均為等邊三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得證；

(3)在PC上截取PD=AP,則AAPD是等邊三角形，然后證明ZkAPB絲△ADC,證明BP=CD即可得證結(jié)論.

【詳解】

(1)AA8C是等邊三角形.

證明如下：在。。中，

?.?N8AC與NCPB是所對的圓周角，^ABC與NAPC是4c所對的圓周角，

：.ZBAC=ZCPB,ZABC^ZAPC,

又?:ZAPC=ZCPB=60°,

,ZABC=ZBAC=60°,

二△ABC為等邊三角形；

(2)當(dāng)點P位于AB中點時，四邊形PBOA是菱形，

如圖1,連接0P.

,//AO8=2NACB=120。，尸是AB的中點，

ZAOP=ZBOP=60°

又；0A=。尸=08,

...△0AP和AOBP均為等邊三角形，

OA=AP=OB=PB,

???四邊形PB04是菱形；

(3)如圖2,在PC上截取尸￡>=4尸，

又,:NAPC=60。,

二ZUPO是等邊三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=60°,即NAQC=120°.

又VNAPB=ZAPC+NBPC=120°,

ZADC=ZAPB.

在△AP8和AAOC中,

ZAPB=ZADC

<ZABP=ZACD

AP=AD

：./\APB^/\ADC(AAS),

:.BP=CD,

又,：PD=AP,

：.CP=BP+AP.

【點睛】

本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題關(guān)鍵.

17.（2021?廣東潮州市?