第2講基本初等函數(shù)函數(shù)與方程

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程1.(2019·全國Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(

) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a解析由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a＝log20.2<log21＝0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故選B.答案

B真題感悟2.(2019·全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：答案

C解析函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1.4.(2019·北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%. ①當(dāng)x＝10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為________.解析

①顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價(jià)應(yīng)為60＋80＝140(元)，超過了120元可以優(yōu)惠，所以當(dāng)x＝10時(shí)，顧客需要支付140－10＝130(元).②由題意知，當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時(shí)顧客支付的金額為(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值為15.答案

①130

②151.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式考點(diǎn)整合2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù).3.函數(shù)的零點(diǎn)問題(1)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①直接解方程法；②利用零點(diǎn)存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.4.應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序熱點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)因?yàn)閒(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上為減函數(shù)，答案

(1)D

(2)A探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的范圍.2.研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的單調(diào)區(qū)間，只考慮t＝x2－3x＋2與函數(shù)y＝lnt的單調(diào)性，忽視t>0的限制條件.【訓(xùn)練1】(1)若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(

)(2)(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B.(2)∵a＝log27>log24＝2，1＝log33<b＝log38<log39＝2，又c＝0.30.2<0.30＝1，從而a>b>c.答案

(1)B

(2)A熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與方程角度1確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或其范圍(2)(2019·全國Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù).(2)令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0，π，2π，共3個(gè).答案

(1)C

(2)B探究提高

1.函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的類型有：(1)函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定.2.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法：(1)解方程f(x)＝0，直接求零點(diǎn)；(2)利用零點(diǎn)存在定理；(3)數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問題.解析由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)周期為2，作函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，g(5)＝3－log25<1＝f(5)，可得有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選B.答案

B角度2根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的值或范圍解析(1)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù).∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn).又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，答案

(1)C

(2)D探究提高1.求解本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(x)的圖象與y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題：常見的錯(cuò)誤是誤認(rèn)為y＝2a，y＝a是兩條直線，忽視x的限制條件.2.解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.∴l(xiāng)oga(mn)<0，則0<mn<1.答案

(1)C

(2)B熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解(1)當(dāng)x∈[50，80)時(shí)，當(dāng)x∈[80，120]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝120時(shí)，y有最小值10.因?yàn)?<10，故當(dāng)x＝65時(shí)每小時(shí)耗油量最低.①當(dāng)x∈[50，80)時(shí)，當(dāng)x＝120時(shí)，l取得最小值10.因?yàn)?0<16，所以當(dāng)速度為120千米/時(shí)時(shí)，總耗油量最少.探究提高

1.解決函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，首先要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識(shí)求解，解答后再回到實(shí)際問題中去.2.對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.令f′(x)＝0，∴x＝80.當(dāng)20<x<80時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)80≤x≤180時(shí)，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝80時(shí)，f(x)有極大值，也是最大值240000.由于120000<240000.故該服裝廠所獲得的最大效益是240000元.1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a(a>0，且a≠1)的取值影響，解題時(shí)一定要注意討論，并注意兩類函數(shù)的定義域與值域所隱含條件的制約.