復(fù)變函數(shù) 吉林大學(xué) 5-1

第五章

留數(shù)§5.1

孤立奇點§5.2留數(shù)(Residue)§5.3

留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用2概述留數(shù)理論是級數(shù)與積分理論相結(jié)合的產(chǎn)物，是復(fù)變函數(shù)論的主要理論，是解決實際問題的有力工具.先對解析函數(shù)的孤立奇點進行分類，再討論各類孤立奇點的有效判斷方法。而后，給出留數(shù)的定義，介紹留數(shù)的計算方法。最后，給出留數(shù)定理，并利用它計算閉路的積分。它可以把計算沿著閉路的積分轉(zhuǎn)化為計算在孤立奇點處的留數(shù)?。?！31.定義

2.分類3.性質(zhì)4.零點與極點的關(guān)系§5.1孤立奇點41.孤立奇點的定義例如----z=0為孤立奇點----z=0及zn

=1/n

(n=1,2,…)都是它的奇點----z=-1,2為孤立奇點定義~~~~~~~~~5xyo這說明奇點未必是孤立的。62.孤立奇點的分類以下在孤立奇點的去心鄰域內(nèi)將f(z)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤禾攸c：沒有負冪次項特點：只有有限多個負冪次項特點：有無窮多個負冪次項7定義1.1

設(shè)z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù)沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m級極點;有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~判斷孤立奇點類型的第一種方法！83.性質(zhì)

判斷孤立奇點類型的第二種方法！證明：9f(z)在去心鄰域內(nèi)有界!!Cauchy不等式10

z0為f(z)的m(m1)

級極點分析：例如：11顯然12

z0為f(z)的本性奇點例1.2z=0為f(z)的一個三級極點，z=2為f(z)的一級極點。例1.3134.零點與極點的關(guān)系定義1.5

對于不恒等于0的解析函數(shù)f(z),如果它能表示成：則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：14定理1.3事實上，必要性得證！充分性略！15例如16定理1.4證明“”

若z0為f(z)的m級極點（函數(shù)的零點與極點的關(guān)系定理）1718定理1.5例如1.5m級零點n級零點有哪些奇點？19解：20例如1.7解：起著坐標(biāo)變換的作用！！215.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)下面在擴充復(fù)平面上討論函數(shù)的奇點：定義1.6~~~~~~~~~提出問題:如何研究函數(shù)在無窮遠點的鄰域內(nèi)的性質(zhì)？解決問題的方法：要研究函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)

只需考察在零點處的性質(zhì)：為此，我們考察如下反演映射：~~~~~~~22如何映射區(qū)域？23如何構(gòu)造解析函數(shù)？級數(shù)的復(fù)合運算規(guī)定:24定義1.7（1）孤立奇點的判斷方法！注意：變量變換負冪項系數(shù)正冪項系數(shù)25于是觀察二者主要部