復(fù)變函數(shù) 高等教育出版社 第一章(2)

第二節(jié)復(fù)變函數(shù)區(qū)域的概念；復(fù)變函數(shù)的定義；復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)

平面上以

z0為中心,

d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為

的鄰域,

設(shè)G為一平面點(diǎn)集,

z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集2.1區(qū)域與曲線2.1.1區(qū)域

平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;

2)D是連通的。就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來.因此,區(qū)域--連通的開集.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)

M,使區(qū)域

D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足

|z|<M,則稱

D為有界的,否則稱為無界的.0M|z|>M2.1.2曲線

在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (a

t

b)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.2.1.3單連通區(qū)域,多連通區(qū)域單連通域多連通域例：判斷下面兩個(gè)陰影區(qū)域，是否為單連通區(qū)域？2.2復(fù)變函數(shù)的概念定義2.1例子:兩類常見的復(fù)變函數(shù)相對(duì)應(yīng).注:令代入函數(shù)，化簡(jiǎn)得所以，則相對(duì)應(yīng).例:解：

復(fù)變函數(shù)的函數(shù)圖像G幾何意義:定義2.2:2.3復(fù)變函數(shù)極限xyOz0dzOuvAef(z)幾何表示:?復(fù)變函數(shù)的極限問題：定理2.1則證明:這里我們只討論，充分性所以，即注：（1）計(jì)算復(fù)變函數(shù)極限的方法：（2）復(fù)變函數(shù)極限是否存在的判定方法：存在同時(shí)存在運(yùn)算性質(zhì)(定理2.2)證明：這里只證明（1）2.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理2.3：

定義2.3:則(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)定理2.4---處處連續(xù)復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)處連續(xù)。例：小結(jié)（3）復(fù)變函數(shù)的極限定理（定理2.1）復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理（定理2.3）熟練掌握：（1）區(qū)域的概念—連