專題02相似三角形的判定（六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) ）（解析版）

專題02相似三角形的判定（六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法知識(shí)點(diǎn)2相似三角形預(yù)備定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似題型二：尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四：利用相似三角形證明等積式題型五：相似三角形應(yīng)用題型六：相似三角形與函數(shù)綜合題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個(gè)三角形相似【方法四】成果評(píng)定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。2.能靈活地運(yùn)用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)詮釋：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.例1：下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似（B）對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似（C）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似【答案】C【解析】根據(jù)判定定理2可知A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)判定定理1可知B錯(cuò)誤，根據(jù)相似三 角形預(yù)備定理可知只有直線與底邊平行時(shí)才相似．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關(guān)條件．知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的預(yù)備定理（重點(diǎn)）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則．例2：如圖，路燈距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的點(diǎn)A處，沿OA所在的直線行走14米到點(diǎn)B時(shí)，人影的長度(

)A．增大1.5米

B．減小1.5米

C．增大3.5米

D．減小3.5米【答案】D試題分析：設(shè)小明在A處時(shí)影長為x，B處時(shí)影長為y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，則，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故變短了3.5米．故選D．知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：例3：如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．求證：．【難度】★★【解析】證明：， ，， 又，， ． ． ．【總結(jié)】考查利用“子母三角形”基礎(chǔ)模型證明角相等，根據(jù)同角的余角相等，證明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可證明．知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，，，那么．要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.例4:如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，且．求證：．【難度】★【解析】證明：， ， ， ．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，根據(jù)題目條件進(jìn)行比例變形，對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等．知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.例5：如圖，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，且滿足．求證：∽．【難度】★★【解析】． ，即． ． ∽．【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性質(zhì)知識(shí)．知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理（重點(diǎn)）如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．可簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．例6：如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．【難度】★【解析】證明：，， ． 又， ，． 同理可得：，∽．【總結(jié)】本題考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】實(shí)例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似例7：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)（DE不平行BC），若使△ADE與△ABC相似，則需要添加_____即可（只需添加一個(gè)條件）．【答案】∠ADE＝∠C【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個(gè)角相等的三角形相似；夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似，即可解題．【詳解】∵∠A是公共角，如果∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ABC，故答案為∠ADE=∠C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，③兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．題型二：尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)例8：如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．圖中 有哪幾對(duì)相似三角形？【難度】★【答案】，， ．【解析】由，可得： ，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理， 可得：，， 進(jìn)而可得：，即這三個(gè)三角形兩兩相似．【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時(shí)考查相似三角形的傳遞性．題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用例9：如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可求解．【詳解】解:在與中，∵，且，∴．故選:A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定:（1）平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法:三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法:兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法:有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．題型四：利用相似三角形證明等積式例10．如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且．求證：．【難度】★【解析】證明：， ， ， 即．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對(duì)應(yīng)成比例，先判定再應(yīng)用即可得出結(jié)論．例11.如圖，是等邊三角形，，求證．【難度】★★【解析】證明：是等邊三角形，．，．又，．，，，即．題型五：相似三角形應(yīng)用例12.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺(tái)邊緣的小杰拍照時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭的高度為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米，涼亭與觀景臺(tái)底部的距離為米，小杰身高為米．那么觀景臺(tái)的高度為________________米．【答案】//【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，繼而利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意得，，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．題型六：相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處，三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點(diǎn)Q，交EF于點(diǎn)P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．【答案】（1）見解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．【分析】（1）先判斷出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，進(jìn)而得出∠BGE=∠EGF，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△BEG∽△CFE進(jìn)而得出CF=，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①△AGQ∽△CEP時(shí)，判斷出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE時(shí)，判斷出EG∥AC，進(jìn)而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，延長FE交AB的延長線于F'，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=，由（1）知，BF'=CF=，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+當(dāng)CF=4時(shí)，即：=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ與△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=，∴AG=AB﹣BG=4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：相似三角形綜合.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記相似三角形的判定和性質(zhì).題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題例14.如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí)，∠DFE的正切值是否會(huì)發(fā)生變化，如果變化請(qǐng)說出變化情況；如果保持不變，請(qǐng)求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF的長．【答案】（1）；（2）不變；（3）或3或.【詳解】試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況討論即可.（1）∵，∴

∵

∴∵是邊的中點(diǎn)

∴∵

∴∴

∴

∴∵在中，

∴∵

∴又∵

∴四邊形是矩形∴∵在中，

∴（2）不變過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、由（1）可得，∵，∴又∵，∴四邊形是矩形∴∵∴

即又∵

∴∴∵

∴（3）1°當(dāng)時(shí)，易證，即又∵，D是AB的中點(diǎn)∴∴2°當(dāng)時(shí)，易證∵在中，∴設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，易證，∴∵∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴

3°

在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出當(dāng)時(shí)，易證∴設(shè)，則，∴∵

∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證∽，則 此時(shí)______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請(qǐng)說明理由．【難度】★★【答案】（1）8；（2）不改變．【解析】（2）易證，得：．又，，．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關(guān)知識(shí)．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．【答案】D【分析】由題意可得一組對(duì)角相等，根據(jù)相似三角形的判定：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似添加條件即可．【詳解】解：有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)A不符合題意；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，故選項(xiàng)B不符合題意；由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC與△ADE相似，所以選項(xiàng)C不符合題意；而D不是夾角相等，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】相似三角形的判定：（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．易錯(cuò)總結(jié)：找兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，容易受思維定式的影響，想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對(duì)應(yīng)邊，∠A與∠A1當(dāng)成對(duì)應(yīng)角。易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個(gè)三角形相似例17.根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號(hào)表示出來．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似【解析】根據(jù)相似三角形判定定理2即可知對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角相等即相似，（1）（2）均符合題意，但需確立好對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）中相等兩角非夾角，不相似．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2的條件，尤其注意是對(duì)應(yīng)成比例邊的夾角易錯(cuò)總結(jié)：利用兩邊成比例且夾角相等的方法判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意這個(gè)角是對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，若不是，則不能判定這兩個(gè)三角形一定相似?！痉椒ㄋ摹砍晒υu(píng)定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市華東模范中學(xué)?？计谥校┫铝形宸鶊D均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長度即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為，第1個(gè)圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個(gè)圖形中三角形與△ABC相似；第2個(gè)圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似；第3個(gè)圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形不是直角三角形，故第3個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似；第4個(gè)圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個(gè)圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴，A．若添加，可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明，故本選項(xiàng)不符合題意；B．若添加，可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明，故本選項(xiàng)不符合題意；C．若添加，不能證明，故本選項(xiàng)符合題意；D．若添加，可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，證明，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，在正三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可判定．【詳解】解：∵，∴，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了等邊三角形的性質(zhì)．4．（2022秋·上海·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)，若平分，則，又，滿足兩組對(duì)角相等，可以判定和相似，不合題意；B選項(xiàng)，若，又，滿足兩組對(duì)角相等，可以判定和相似，不合題意；C選項(xiàng)，若，則，兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，但兩邊的夾角不相等，不能判定和相似，符合題意；D選項(xiàng)，若，又，滿足兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且兩邊的夾角相等，可以判定和相似，不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由題意得出，證明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，則可證出結(jié)論；②不能證明△ABC與△ADC相似，得出②不符合題意；證出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合題意；根據(jù)不能證明△ABC與△ABD相似，則可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合題意；②∵AB?CD=AC?AD，∴，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=90°，故②符合題意；③∵，∴，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC=∠BAC=90°，故③符合題意；④由不能證明△ABC與△ABD相似，故④不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，圖中與△ADG相似的三角形共有______個(gè)．【答案】5【分析】根據(jù)DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，進(jìn)行判斷即可；【詳解】設(shè)DF與GE相交于點(diǎn)H，則△ABC，△DBF，△GEC，△HGD，△HEF都和△ADG相似；故答案是5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長度是_________．【答案】【分析】根據(jù)DE∥BC，可得，從而得到,即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，，∴，∴，∵，DE＝1，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，添加一個(gè)條件____________，可以利用定理“斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似”證明．【答案】（答案不唯一）【分析】添加“”，理由：設(shè)，則，再由勾股定理可得，從而得到，即可．【詳解】解：添加“”，理由：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點(diǎn)E是DC上一點(diǎn)，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．【答案】【詳解】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．點(diǎn)睛：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．10．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．11．（2022春·上海金山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．【答案】【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長度是常用的方法．12．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件__________，可以使與相似．【答案】（答案不唯一）【分析】已知，只需要補(bǔ)充另一對(duì)角相等即可得到與相似．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形相似的方法．三、解答題13．（2021秋·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點(diǎn)G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）先證△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求證；（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，先證△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再證EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，在△BDE與△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且,求證：【答案】見解析【分析】利用平行關(guān)系，找出對(duì)應(yīng)角相等，即可證明相似．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題關(guān)鍵找到需要的條件．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F，作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)G，設(shè)，．（1）求證：；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請(qǐng)求出.BP的長，如果不能，請(qǐng)說明理由．

（備用圖）【答案】（1）；（2）（≤≤1）；（3）或.【詳解】試題分析：（1）證△PBF是等邊三角形，得到BF=FP．再由等角對(duì)等邊得到FP=FG，從而得到結(jié)論；（2）由BP=x，∠PGB=30°，得到，.由等邊三角形的性質(zhì)得到BD=1，從而有DG=2x-1，在△EDG中，得到DG=y，故2x-1=y，從而得到結(jié)論．（3）若△FPE與△EDG相似，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)．試題解析：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴又∵PF∥AC，∴，∴△PBF是等邊三角形，∴．又∵PG⊥AB，∴，∴，∴.（2）∵，，，∴，.又∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，，∴，∴在△EDG中，∵∠EDG=90°，∠EGD=30°，ED=y，∴DG=y，∴2x-1=y，∴（≤≤1）．（3）能相似，∵，∴若△FPE與△EDG相似，有兩種情況．①當(dāng)時(shí)，∴EF∥AB，∴，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，∵△BPF是等邊三角形，∴，∴，∴，∵AD⊥BC，∴，即，解得：，∴BP的長是或點(diǎn)睛：本題是相似三角形綜合題．解題過程中，要充分利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角直角三角形三邊的比例關(guān)系，使計(jì)算變得簡(jiǎn)單，還要注意相似三角形對(duì)應(yīng)邊不確定時(shí)，要分類討論．16．（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠FAE＝90°，從而可得∠BAF＝∠DAE，進(jìn)而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明，即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AFE＝∠CFE，從而證明△AFE≌△CFE，進(jìn)而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再證△AFG≌△CFG，從而可得∠FAG＝∠FCG，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，從而可得AE∥CG，進(jìn)而利用菱形的判定方法即可解答．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠FAE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如圖：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠FAG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AECG，∵ABCD，∴四邊形AGCE是平行四邊形，∵AE＝EC，∴四邊形AGCE為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對(duì)角線上一點(diǎn)，(1)求證：(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由得到，然后由得證；（2）先由得到，再由得到，從而得到，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴．（2）∵梯形中，，∴

又∵，∴，∵，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等量代換得證．18．（2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn)，BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E（不與端點(diǎn)A、D重合）．（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時(shí)，求四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，求線段CD的長；（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．【答案】（1）16（2）當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí)，線段CD的長為2或（3）（0＜x＜4.1）【詳解】試題分析:(1)過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,(2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,(3)延長BE交CD延長線于M,因?yàn)锳B∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,由勾股定理可得:,則DM=CM-CD=,又因?yàn)镈M∥AB,可得,即,即可得到:.試題解析:（1）過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,于是在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,綜上,當(dāng)△ABE∽△EBC時(shí),線段CD的長為2或.（3）延長BE交CD延長線于M,由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,,則DM=CM-CD=,又DM∥AB,得,即,解得.19．（2019秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對(duì)角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】當(dāng)或或時(shí)，是比例三角形；證明見解析；．【分析】（1）根據(jù)比例三角形的定義分AB2＝BC?AC、BC2＝AB?AC、AC2＝AB?BC三種情況分別代入計(jì)算可得；（2）先證△ABC∽△DCA得CA2＝BC?AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再證△ABH∽△DBC得AB?BC＝BH?DB，即AB?BC＝BD2，結(jié)合AB?BC＝AC2知BD2＝AC2，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①當(dāng)AB2＝BC?AC時(shí)，得：4＝3AC，解得：AC＝；②當(dāng)BC2＝AB?AC時(shí)，得：9＝2AC，解得：AC＝；③當(dāng)AC2＝AB?BC時(shí)，得：AC2＝6，解得：AC＝（負(fù)值舍去）；所以當(dāng)AC＝或或時(shí)，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BC：CA＝CA：AD，即CA2＝BC?AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC?AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴AB：DB＝BH：BC，即AB?BC＝BH?DB，∴AB?BC＝BD2，又∵AB?BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，理解比例三角形的定義，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).①求證：△APB∽△DCP；②求PC、BC的長.(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程