2006年高考試題-數(shù)學(xué)理(湖北卷)

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)，共4頁(yè)。全卷共150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共50分）注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題紙上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效。考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將本試題卷和答題卡一并收回。一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分散。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則(B)A．（）B．（）C．（）D．（）2.若互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則(D)A．4B．2C．－2D．－43.若的內(nèi)角滿足，則(A)A.B．C．D．4．設(shè)，則的定義域?yàn)?B)A．B．C．D．5．在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有(C)A．3項(xiàng)B．4項(xiàng)C．5項(xiàng)D．6項(xiàng)6．關(guān)于直線與平面，有以下四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是(D)A．①②B．③④C．①④D．②③7．設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是(D)A．B．C．D．8．有限集合中元素的個(gè)數(shù)記做，設(shè)都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是；②的充要條件是；③的充要條件是；④的充要條件是；其中真命題的序號(hào)是(B)A．③④B．①②C．①④D．②③9．已知平面區(qū)域D由以為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部＆邊界組成。若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則(C)A．－2B．－1C．1D．410．關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：(A)①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是（Ⅰ）、求函數(shù)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力。解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，于是d＝（，－2），k∈Z.因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時(shí)d＝（―，―2）即為所求.17．（本小題滿分13分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（Ⅰ）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；點(diǎn)評(píng)：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題的能力和推理能力。解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.18．（本小題滿分12分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（Ⅱ）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法1：（Ⅰ）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)镻C∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP與平面所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.所以，當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.（Ⅱ）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)O1，因?yàn)镈1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。19．（本小題滿分10分）在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布。已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有12名。（Ⅰ）、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？（Ⅱ）、若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。解：（Ⅰ）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)椤玁(70，100)，由條件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）。（Ⅱ）假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。20．（本小題滿分14分）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（Ⅰ）、求橢圓的方程；（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。（此題不要求在答題卡上畫圖）點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。解：（Ⅰ）依題意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）.eq\o\ac(○,1)又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.eq\o\ac(○,2)將eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化簡(jiǎn)得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝（x1－2)(x2－2)＋y1y1eq\o\ac(○,3)又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又點(diǎn)M在橢圓上，則，即eq\o\ac(○,5)于是將eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化簡(jiǎn)后可得－＝.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。21．（本小題滿分14分）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。（Ⅰ）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。解：（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，則f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.當(dāng)a<－4時(shí)，x2>3＝x1，則在區(qū)間（－∞，3）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，―a―1）上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)。當(dāng)a>－4時(shí)，x2<3＝x1，則在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間（―a―1，3）上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，