概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質(zhì)§1.4條件概率§1.5獨(dú)立性

第一章隨機(jī)事件與概率2.

隨機(jī)現(xiàn)象1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機(jī)的壽命;§1.1

隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.特點(diǎn)：1.結(jié)果不止一個(gè);2.事先不知道哪一個(gè)會出現(xiàn).隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.1.

隨機(jī)試驗(yàn)

(E)——

對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)與觀察.

它具有兩個(gè)特點(diǎn)：隨機(jī)性、重復(fù)性.2.

樣本點(diǎn)

——隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè).

連續(xù)樣本空間

樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無限不可列個(gè).（添加書本例子1.1.2）1.1.2樣本空間1.

隨機(jī)事件

——

某些樣本點(diǎn)組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集（添加書本例子）1.1.2）.

5.

隨機(jī)變量

表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量.

常用大寫字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的單點(diǎn)集.1.1.3隨機(jī)事件表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機(jī)變量在試驗(yàn)中，A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)了，就說A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機(jī)變量（例子1.1.4）.事件的表示包含關(guān)系：

A

B,

A

發(fā)生必然導(dǎo)致

B

發(fā)生.相等關(guān)系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時(shí)發(fā)生.1.1.5

事件間的關(guān)系解：1)顯然，B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以B

A;.

2)又因?yàn)锳發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，所以A

B，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地取球。A=“取到最后一個(gè)是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關(guān)系？并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時(shí)發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運(yùn)算事件運(yùn)算的圖示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點(diǎn)

元素

A

B

A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

A

B

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

A

B

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(diǎn)(1)注意點(diǎn)(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1

A2

……

An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

A

B=()，AB=()2.設(shè)

A與B同時(shí)出現(xiàn)時(shí)

C也出現(xiàn)，則(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習(xí)③BA3.

設(shè)事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設(shè)x

表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)位置，試說明下列各對事件間的關(guān)系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個(gè)出現(xiàn)；④至少有一個(gè)出現(xiàn)；⑤至多有一個(gè)出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個(gè)出現(xiàn)；

設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)

是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點(diǎn),則稱F為事件域1.1.7

事件域1.Ω

F;2.

若A

F

，則

F;3.若An

F

，n=1,2,…,

則

F.直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計(jì)定義

——

事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法非負(fù)性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義從n

個(gè)元素中任取r

個(gè)，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復(fù)排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式組合組合：重復(fù)組合：

求排列、組合時(shí)，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個(gè)步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.隨機(jī)試驗(yàn)可大量重復(fù)進(jìn)行.1.2.3

確定概率的頻率方法進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.

古典概型若一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)(Ω,F,P)具有以下兩個(gè)特征：

(1)有限性。樣本空間的元素(基本事件)只有為有限個(gè)，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)等可能性。每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

則稱這類隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型為古典概型。則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)/樣本點(diǎn)總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點(diǎn)不等可能.注意例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計(jì)算所求概率為n個(gè)人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個(gè)位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個(gè)人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個(gè)位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.31.2.5

確定概率的幾何方法幾何概型若①可度量性。樣本空間充滿某個(gè)區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S

；

②等可能性。落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無關(guān)則事件A的概率為:P(A)=SA

/S

幾何概型的例子

例1.2.3

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以

表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間

滿足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一個(gè)矩形，其面積為：S

=d(

/2).

蒲豐投針問題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(

/2).

針是任意投擲的，所以這個(gè)問題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實(shí)際去做N次試驗(yàn)，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：

2lN/(dn).歷史上有一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

的隨機(jī)模擬蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個(gè)邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個(gè)頂點(diǎn)在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現(xiàn)的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為

p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d

),Pb=2b/(d

),Pc=2c/(d).

因?yàn)镻a=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d

).

性質(zhì)1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質(zhì)性質(zhì)1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，則P(A

B)=P(A)+P(B).

可推廣到n個(gè)互不相容事件.性質(zhì)1.3.3(對立事件公式)

P()=1

P(A).1.3.1

概率的可加性性質(zhì)1.3.4

若A

B，則P(A

B)=P(A)

P(B)；若A

B，則P(A)

P(B).性質(zhì)1.3.5

P(A

B)=P(A)

P(AB).1.3.2

概率的單調(diào)性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例1.3.2解：因?yàn)镻(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例1.3.3解：因?yàn)锳、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.口袋中有n

1個(gè)黑球、1個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考題

口袋中有2個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用對立事件進(jìn)行計(jì)算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率.例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)的概率.從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因?yàn)椤俺朔e能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習(xí)題1.3第10題)求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率.

利用對稱性解：記甲正=甲擲出的正面數(shù)，乙正=乙擲出的正面數(shù).

甲反=甲擲出的反面數(shù)，乙反=乙擲出的反面數(shù).因?yàn)?/p>

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(對稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N

M個(gè)合格品.(口袋中有M個(gè)白球，N

M個(gè)黑球)常見模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個(gè),則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

個(gè)白球、7個(gè)黑球、4個(gè)紅球.從中不返回任取3

個(gè).求取出的3

個(gè)球?yàn)椴煌伾那虻母怕?思考題購買：從01，……，35中選7個(gè)號碼.開獎：7個(gè)基本號碼，1個(gè)特殊號碼.

彩票問題——幸運(yùn)35選7中獎規(guī)則

1)7個(gè)基本號碼

2)6個(gè)基本號碼+1個(gè)特殊號碼

3)6個(gè)基本號碼

4)5個(gè)基本號碼+1個(gè)特殊號碼

5)5個(gè)基本號碼

6)4個(gè)基本號碼+1個(gè)特殊號碼

7)4個(gè)基本號碼，或3個(gè)基本號碼+1個(gè)特殊號碼

中獎概率

中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：將35個(gè)號分成三類：

7個(gè)基本號碼、1個(gè)特殊號碼、27個(gè)無用號碼記pi

為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、N

M個(gè)合格品.

從中有返回地任取n個(gè).則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n個(gè)不同球放入N個(gè)不同的盒子中.每個(gè)盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個(gè)盒子中各有一球的概率(n

N)

常見模型(3)

——

盒子模型求n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n個(gè)人、n頂帽子，任意取，至少一個(gè)人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個(gè)人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配對模型(續(xù))因?yàn)楦怕适鞘录?集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1

F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為

設(shè)P(·)是一個(gè)集合函數(shù)，

(1)

若任對單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

性質(zhì)1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個(gè)概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質(zhì)1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負(fù)、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件問題的提出：

1)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問：第1個(gè)人中彩的概率為多少？第2個(gè)人中彩的概率為多少？

2)10個(gè)人摸彩，有3張中彩.

問：已知第l個(gè)人沒摸中，第2個(gè)人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率

定義1.4.1

對于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A

出現(xiàn)的條件概率.1.4.1

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將

縮減為

B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計(jì)算10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、3個(gè)次品，從中不放回地抽取兩個(gè)，已知第一個(gè)取到次品，求第二個(gè)又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個(gè)取到次品}，

B={第二個(gè)取到次品}，例1.4.1條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)

P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意點(diǎn)(1)

設(shè)P(B)＞0，且A

B，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(A

B)=0.84,P(

B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(xí)乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質(zhì)1.4.2

(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格品。從中一個(gè)一個(gè)不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應(yīng)用性質(zhì)1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點(diǎn)(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(diǎn)(2)

則由可得

設(shè)10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設(shè)A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計(jì)算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計(jì)算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不論先后，中彩機(jī)會是一樣的.摸彩模型(續(xù))

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)從中一只一只返回取球；

(2)從中一只一只不返回取球；

(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時(shí)再加入一只同色球.思考題

罐中有b

個(gè)黑球、r

個(gè)紅球，每次從中任取一個(gè)，取出后將球放回，再加入c

個(gè)同色球和d

個(gè)異色球.(1)當(dāng)c=

1,d=0時(shí)，為不返回抽樣.(2)當(dāng)c=0,d=0時(shí)，為返回抽樣.(3)當(dāng)c>0,d=0時(shí)，為傳染病模型.(4)當(dāng)c=

0,d>0時(shí)，為安全模型.波利亞罐子模型

記

pk(b,r)為“口袋中有b個(gè)黑球、r個(gè)紅球時(shí)，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)當(dāng)c=

1,d=0時(shí)為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)當(dāng)c=0,d=0時(shí)為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)當(dāng)c>0,d=0時(shí)，為傳染病模型。此時(shí)pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個(gè)數(shù)都相同，則情況又如何？思考題要調(diào)查“敏感性”問題中某種比例p；兩個(gè)問題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問題.敏感性問題的調(diào)查乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式

某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機(jī)、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結(jié)果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導(dǎo)致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個(gè)原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗(yàn)概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗(yàn)概率”.注意點(diǎn)例1.4.3某商品由三個(gè)廠家供應(yīng)，其供應(yīng)量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.若從市場上隨機(jī)抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設(shè)

Ai

=“取到第i

個(gè)工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的。現(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習(xí)2/3

事件的獨(dú)立性

直觀說法：對于兩事件，若其中任何一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生，

則這兩事件是獨(dú)立的.

P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)

P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

獨(dú)立性定義1.5.1

若事件A

與B

滿足：P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A與B獨(dú)立.結(jié)論

A、B為兩個(gè)事件，若P(A)>0,則

A與B

獨(dú)立等價(jià)于

P(B|A)=P(B).性質(zhì)1.5.1

若事件A與B獨(dú)立，則

A與獨(dú)立、與B獨(dú)立、與獨(dú)立.1.5.1

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來判斷兩個(gè)事件的獨(dú)立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復(fù)試驗(yàn)等.事件獨(dú)立性的判斷1.5.2

多個(gè)事件的相互獨(dú)立性對于A、B、C三個(gè)事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨(dú)立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨(dú)立.定義1.5.3

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨(dú)立、三三獨(dú)立、……、n

n獨(dú)立則稱A1,A2,……,An

相互獨(dú)立.

若A、B、C相互獨(dú)立，則A

B與C獨(dú)立,A

B與C獨(dú)立,A

B與C獨(dú)立.一些結(jié)論

例1.5.1

兩射手獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.9和0.8，求目標(biāo)被擊中的概率.解:

設(shè)A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標(biāo)被擊中”,所以解法i)

P(C)=P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)=0.9+0.8

0.9

0.8=0.98.解法ii)

用對立事件公式

P(C)=P(A

B)=1(10.9)(10.8)=1

0.02=0.98.

例1.5.2

甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它是甲擊中的概率.。解:設(shè)A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標(biāo)被擊中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)

P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22

例1.5.3

兩射手輪流對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，甲先射，誰先擊中則得勝。每次射擊中，甲、乙命中目標(biāo)的概率分別為

和

，求甲得勝的概率。解:

因?yàn)镻(甲勝)=

+(1

)(1

)P(甲勝)所以P(甲勝)=

/[1(1

)(1

)].

例1.5.4

口袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，甲、乙兩人輪流從口袋中有返回地取一球，甲先取.

誰先取到白球?yàn)閯?，求甲勝的概?解：P(甲勝)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲勝)所以P(甲勝)=8/13.

例1.5.5

元件工作獨(dú)立，求系統(tǒng)正常工作的概率.

記Ai=“第i個(gè)元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)兩個(gè)元件的串聯(lián)系統(tǒng)：P(A1A2)=p1p2(2)兩個(gè)元件的并聯(lián)系統(tǒng)：

P(A1

A2)=p1+

p2

p1p2=1

(1

p1)(1

p2)(3)五個(gè)元件的橋式系統(tǒng)：用全概率公式

p3(p1+

p4

p1p4)(p2+

p5

p2p5)+(1

p3)(p1p2+

p4p5

p1p2p4p5)

若試驗(yàn)E1的任一結(jié)果與試驗(yàn)E2的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的事件，則稱這兩個(gè)

試驗(yàn)相互獨(dú)立，或稱獨(dú)立試驗(yàn).1.5.3

試驗(yàn)的獨(dú)立性

伯努里試驗(yàn)：

若某種試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果

(成功、失??；黑球、白球；正面、反面)，則稱這個(gè)試驗(yàn)為伯努里試驗(yàn).

在伯努里試驗(yàn)中，一般記“成功”的概率為p.

n重伯努里試驗(yàn)：

n次獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn).n

重伯努里試驗(yàn)§2.1

隨機(jī)變量及其分布(1)

擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X1，2，……，6.(2)n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù)Y0，1，2，……，n(3)某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù)Z0，1，2，……(4)某種型號電視機(jī)的壽命T:

[0,+)2.1.1隨機(jī)變量的定義定義2.1.1

設(shè)

={}為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實(shí)值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.注意點(diǎn)(1)(1)隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，

其定義域?yàn)椋渲涤驗(yàn)镽=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

為隨機(jī)變量，則

{X=k}、{a

<

X

b}、……

均為隨機(jī)事件.即{a

<

X

b}={

；a

<

X()b

}

注意點(diǎn)(2)(3)注意以下一些表達(dá)式：

{X=k}={X

k}

{X<k}；{a

<

X

b}={X

b}

{X

a}；{X>b}=

{X

b}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量X可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或

可列個(gè)，則稱X為離散隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間

[a,b]，則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量.前例中的X,Y,Z為離散隨機(jī)變量；而T為連續(xù)隨機(jī)變量.兩類隨機(jī)變量定義2.1.2

設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)

x，稱F(x)=P(X

x)為

X的分布函數(shù).基本性質(zhì)：

(1)F(x)

單調(diào)不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(xiàn)(

)=0，F(xiàn)(+)=1；

(3)右連續(xù).2.1.2

隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.1.3

離散隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散隨機(jī)變量X的可能取值為：x1，x2，……，xn，……

稱pi=P(X=xi)，i=1,2,……

為X的分布列.分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……

xn

……

P

p1

p2

……

pn

……

分布列的基本性質(zhì)(1)pi

0，

(2)(正則性)(非負(fù)性)注意點(diǎn)(1)求離散隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意：

(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;

(2)計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率.

注意點(diǎn)(2)

對離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的;(3)其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn);(4)其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對應(yīng)的概率值.例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函數(shù).解：X012P0.40.40.2解：例2.1.2已知X的分布函數(shù)如下,求X的分布列.2.1.4

連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間(a,b).因?yàn)閷B續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0，所以無法仿離散隨機(jī)變量用P(X=x)來描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布.注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.定義2.1.4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，滿足：稱p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).密度函數(shù)的基本性質(zhì)滿足(1)(2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).(非負(fù)性)(正則性)注意點(diǎn)(1)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(X=x)=F(x)

F(x

0)=0;

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)

F(a).注意點(diǎn)(2)(5)當(dāng)F(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí),

p(x)=當(dāng)F(x)在x點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí),

可令p(x)=0.連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

(不唯一

)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).例2.1.3設(shè)

X~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).(1)k=3.(2)解：例2.1.4設(shè)

X~求

F(x).解：設(shè)X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨(dú)立，解:

因?yàn)镻(A)=P(B),P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)從中解得且P(A

B)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨(dú)立，得=2P(A)

[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.5

設(shè)X~p(x)，且p(

x)=p(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a>0，有()

①F(

a)=1

②F(

a)=③F(

a)=F(a)④F(

a)=2F(a)

1課堂練習(xí)②§2.2

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì))甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時(shí)，中止了賭博.問如何分賭本?兩種分法

1.按已賭局?jǐn)?shù)分：

則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/32.按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分：

因?yàn)樵儋€兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/42.2.1數(shù)學(xué)期望的概念

若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望”分，

則甲的所得X是一個(gè)可能取值為0或100

的隨機(jī)變量，其分布列為：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.2.2.2

數(shù)學(xué)期望的定義定義2.2.1

設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xn)=pn,n=1,2,...

若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望，記為連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2.2.2

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),

若積分絕對收斂，則稱該積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為例2.2.1則E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.數(shù)學(xué)期望又稱為均值.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.注意點(diǎn)2.2.3

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理2.2.1

設(shè)Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則例2.2.2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3設(shè)X~

求下列X

的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.§2.3

隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的離散程度.2.3.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義2.3.1

若

E(X

E(X))2存在，則稱

E(X

E(X))2為X的方差，記為Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2(2)稱注意點(diǎn)

X

=

(X)=(1)

方差反映了隨機(jī)變量相對其均值的偏離程度.

方差越大,則隨機(jī)變量的取值越分散.為X的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.2.3.2

方差的性質(zhì)(1)Var(c)=0.性質(zhì)2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性質(zhì)2.3.3(3)Var(X)=E(X2)

[E(X)]2.性質(zhì)2.3.1例2.3.1

設(shè)X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)

[E(X)2]=7/6

1=1/6課堂練習(xí)

設(shè)則方差

Var(X)=()。問題：Var(X)=1/6,為什么？隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)Var(X)>0,令則有E(Y)=0,Var(Y)=1.稱Y為X

的標(biāo)準(zhǔn)化.2.3.3

切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在(這時(shí)均值也存在),

則對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立

例2.3.2設(shè)X~證明證明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)

(EX)2=n+1,(這里,

=n+1)由此得定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1§2.4

常用離散分布

2.4.1

二項(xiàng)分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，稱b(1,p)為0-1分布.

試驗(yàn)次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,

所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y為不合格品件數(shù)，Y

？Y~b(4,0.2)

一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數(shù)X服從二項(xiàng)分布.

例2.4.1設(shè)X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布,

記為X~P(

).2.4.2泊松分布泊松定理定理2.4.1(二項(xiàng)分布的泊松近似)在n重伯努里試驗(yàn)中，記pn

為一次試驗(yàn)中成功的概率.若npn

，則記為X~h(n,N,M).超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型

：N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，

從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X.2.4.3超幾何分布記為X~Ge(p)

X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4幾何分布負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布)記為X~Nb(r,p).X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“第r次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).注意點(diǎn)

(1)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立0-1隨機(jī)變量之和.

(2)負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.常用離散分布的數(shù)學(xué)期望

幾何分布Ge(p)的數(shù)學(xué)期望=1/p

0-1分布的數(shù)學(xué)期望=p

二項(xiàng)分布b(n,p)的數(shù)學(xué)期望=np

泊松分布P(

)的數(shù)學(xué)期望=

常用離散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二項(xiàng)分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

幾何分布Ge(p)的方差=(1

p)/p2§2.5

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。記為X~N(

,

2),其中

>0，

是任意實(shí)數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).2.5.1正態(tài)分布yxOμ正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)關(guān)于

是對稱的.p(x)x0μ在

點(diǎn)p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動,

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.p(x)x0x

x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).

(x)的計(jì)算(1)x

0時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時(shí),用若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

例2.5.1

設(shè)X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.97