上海市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題

學(xué)年上海市重點(diǎn)中學(xué)高三第一學(xué)期12月階段性測(cè)試一、填空題（共54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．（本題4分）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．2．（本題4分）如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其第60百分位數(shù)為.

3．（本題4分）已知集合，則．4．（本題4分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為.5．（本題4分）設(shè)、是實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．6．（本題4分）密切圓（Osculating

Circle），也稱曲率圓，即給定一個(gè)曲線及其上一點(diǎn)P，會(huì)有一個(gè)圓與曲線切在P點(diǎn)，而且是與曲線在該點(diǎn)鄰近最貼近的圓，換言之，沒(méi)有一個(gè)圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，此圓稱為曲線在點(diǎn)P處的密切圓，密切圓可能是與曲線在該點(diǎn)相切的圓中半徑最大的（比如在拋物線頂點(diǎn)處的內(nèi)切圓），曲線上某點(diǎn)的曲率圓的半徑稱為曲率半徑.拋物線C：在頂點(diǎn)處的（曲率半徑為.7．（本題5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書(shū)時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為

8．（本題5分）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為.（參考數(shù)據(jù)：）9．（本題5分）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國(guó)古老的民間藝術(shù)之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形內(nèi)多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復(fù)上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結(jié)束后所得的面積為；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為．

10．（本題5分）已知為實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)．對(duì)于函數(shù)，若存在且，使得，則稱是“函數(shù)”．若函數(shù)是“函數(shù)”，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是11．（本題5分）已知點(diǎn)P在正方體的表面上，P到三個(gè)平面ABCD、、中的兩個(gè)平面的距離相等，且P到剩下一個(gè)平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．12．（本題5分）已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法中：①無(wú)論取何值，曲線都關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②存在唯一的實(shí)數(shù)使得曲線表示兩條直線；③當(dāng)時(shí)，曲線上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為；④當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線.所有正確的序號(hào)是.二、單選題（共18分，13-14題每題4分，15-16題每題5分）13．（本題4分）“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（本題4分）若不等式，當(dāng)時(shí)總成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．15．（本題5分）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．四棱錐為“陽(yáng)馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積的最大值為D．過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)F，則面AEF16．（本題5分）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界 D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界三、解答題（共78分）17．（本題14分，第1小題6分，第2小題8分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.18．（本題14分,第1小題6分，第二小題8分）已知橢圓的焦點(diǎn)是，，且，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C與直線交于M，N兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.19．（本題14分，第1小題6分，第2小題8分）南京玄武湖號(hào)稱“金陵明珠”，是我國(guó)僅存的皇家園林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉．夏天的一個(gè)傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無(wú)法深入其中，影響觀賞荷花的樂(lè)趣，于是他便有了一個(gè)愿景：若在玄武湖一個(gè)盛開(kāi)荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計(jì)一些棧道和一個(gè)觀景臺(tái)，觀景臺(tái)在半圓形的中軸線上（圖中與直徑垂直，與不重合），通過(guò)棧道把連接起來(lái)，使人行在其中，猶如置身花海之感．已知，棧道總長(zhǎng)度為函數(shù)．(1)求；(2)若棧道的造價(jià)為每米5萬(wàn)元，試確定觀景臺(tái)的位置，使實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用最?。ㄓ^景臺(tái)的建造費(fèi)用忽略不計(jì)），并求出實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用的最小值．20．（本題18分，第1小題4分，第二小題6分，第三小題8分）設(shè)是一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)z的表達(dá)式，若（其中x，y，，為虛數(shù)單位），就稱f將點(diǎn)“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)．例如將點(diǎn)“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)．(1)若點(diǎn)“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)，點(diǎn)“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)設(shè)常數(shù)，，若直線l：，，是否存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得直線l上的任意一點(diǎn)“對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)后，點(diǎn)Q仍在直線上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)常數(shù)，，集合且和且，若滿足：①對(duì)于集合D中的任意一個(gè)元素z，都有；②對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，都存在集合D中的元素z使得．請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，并論證此時(shí)的滿足條件．21．（本題18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題共8分，分為第1小問(wèn)4分，第2小問(wèn)4分）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)