重難點06 圓錐曲線中的定點、定值問題 （十六大題型）（解析版）

重難點06圓錐曲線中的定點、定值問題【題型歸納目錄】題型一：面積、弦長定值題型二：數(shù)量積定值題型三：斜率和定值題型四：斜率積定值題型五：斜率比定值題型六：線段定值題型七：斜率和過定點題型八：斜率積過定點題型九：角度相等過定點題型十：垂直過定點題型十一：弦中點過定點題型十二：數(shù)量積過定點題型十三：線段比過定點題型十四：向量相等過定點題型十五：坐標定值題型十六：斜率定值【方法技巧與總結(jié)】1、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量選擇適當?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當與參數(shù)相關(guān)的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．3、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．【典型例題】題型一：面積、弦長定值例1．（2023·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知點在曲線上，為坐標原點，若點滿足，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)已知點在曲線上，點，在曲線上，若四邊形為平行四邊形，則其面積是否為定值?若是，求出定值；若不是，說明理由【解析】（1）設(shè)，，因為點在曲線上，所以，因為，所以，代入可得，即，即的方程為；（2）設(shè)，，，因為點在曲線上，所以，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，又、，所以，因為，所以，直線：，點到直線的距離，所以平行四邊形的面積.例2．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左焦點為，左、右頂點分別為，，上頂點為.(1)若為直角三角形，求的離心率；(2)若，，點，是橢圓上不同兩點，試判斷“”是“，關(guān)于軸對稱”的什么條件？并說明理由；(3)若，，點為直線上的動點，直線，分別交橢圓于，兩點，試問的周長是否為定值？請說明理由.【解析】（1）如圖，，，，，由題意，即，故，解得離心率（2）必要不充分條件.必要性：根據(jù)橢圓的對稱性可知，當，關(guān)于軸對稱時，成立；充分性：橢圓方程為，設(shè)，，在上不單調(diào)，所以可舉反例：分別取，，即，使得，但，不關(guān)于軸對稱.（3）由題意，，，橢圓方程為，設(shè)，則直線的斜率為，方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，同理直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程得，，故，代入得，所以，所以，直線方程為，令，可得，即直線恒過橢圓的右焦點.所以的周長為定值.例3．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）在平面上．設(shè)橢圓，梯形的四個頂點均在上，且．設(shè)直線的方程為．(1)若為的長軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點，求的值；(2)設(shè)，，與的延長線相交于點，當變化時，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）梯形的高為，，代入橢圓方程得：，在上的射影為的焦點，，又，.（2）當時，橢圓；設(shè)，由得：，，；，可設(shè)直線，由得：，則，解得：，，；；；，，整理可得：，即；點到直線的距離為直線與間距離的倍，，，即的面積為定值.題型二：數(shù)量積定值例4．（2023·上海靜安·高二?？计谥校┮阎?、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線l交橢圓于A、B兩點，記原點為O．(1)當直線l垂直于x軸時，求弦長；(2)當時，求直線l的方程；(3)是否存在位于x軸上的定點使得始終為一個定值．若存在，請求出m；不存在，則請說明理由？【解析】（1）由題意知，，將代入橢圓方程得，不妨設(shè)，，所以.（2）由（1）知，當直線l斜率不存在時，不妨設(shè)，，則，，所以，不符合題意，舍去，所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，，設(shè)，，則，，所以，解得：，所以，所以直線l的方程為：.（3）假設(shè)是一個定值.①當直線l的斜率存在時，由（2）知，，，因為，，所以，要使得是一個定值，則，解得：，此時.②當直線l的斜率不存在時，由（1）知，，，則，，所以，當時，.綜上，存在，位于x軸上的定點使得是一個定值為.例5．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，斜率不為0的直線過點，與橢圓交于兩點，當直線垂直于軸時，，橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，①將代入橢圓方程得：，解得，所以，②又，③綜合①②③解得：，，，所以橢圓M的方程為．（2）存在．設(shè)，，，直線，聯(lián)立方程：，得，所以，，，，，當，即時，為定值，所以存在點，使得為定值．例6．（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上一點，經(jīng)過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線分別交直線于點M，N．(1)求拋物線方程及其焦點坐標；(2)已知O為原點，求證：為定值．【解析】（1）因為是拋物線上一點，所以，即，所以拋物線方程為：，其焦點坐標為：.（2）證明：如圖：設(shè)，，，,設(shè)直線l方程為，直線l方程與拋物線方程聯(lián)立得消去，整理得：，恒成立.則，，又直線的方程為：，即.令，得，則，同理可得，則，.所以.所以，即，為定值.變式1．（2023·高二單元測試）已知過點的動直線l與橢圓交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D，使得的值為定值？若存在，求出定點D的坐標及該定值；若不存在，請說明理由．【解析】由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程組，整理得，可得，假設(shè)在軸上存在定點，使得為定值，因為，可得為定值，則，解得，且此時，所以在上存在定點，使得的值為定值.變式2．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，垂足為，且．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的動直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【解析】（1）由題意，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，可得，設(shè)，則，因為，可得，即，整理得.（2）當直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因為直線與曲線交于兩點，則，且，因為，可得，所以；當直線的斜率不存在，此時直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時，可得，綜上可得，為定值.變式3．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，且過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)、分別為橢圓的上、下頂點，為坐標原點，過橢圓的左焦點作直線交橢圓于、兩點，與軸交于點.①若點是線段的中點，求點的軌跡方程；②設(shè)直線與直線交于點，求證：為定值.【解析】（1）依題意，，由點在上得，解得,所以橢圓的標準方程為.（2）①由（1）知，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去y得，設(shè)，于是，設(shè)線段的中點，則，，當時，兩式相除得，代入上式化簡得，當時，線段的中點的坐標滿足上述方程，所以的軌跡方程為(除去點)；②由直線的方程，得點，當時，，不符合題意，因此，當點異于、點時，設(shè)，由,,三點共線，得，由,,三點共線，得，而，兩式相除得，解得，從而，為定值，當點與點重合時,，滿足，當點與點重合時,，滿足，所以為定值.題型三：斜率和定值例7．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知直線過定點，雙曲線過點，且的一條漸近線方程為.(1)求點的坐標和的方程；(2)若直線與交于，兩點，試探究：直線，的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）由直線知，，得定點.則，解得，故的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)，.聯(lián)立，整理得，則，且，∴且，∴，，∴所以直線，的斜率之和是為定值，定值為3.例8．（2023·湖南長沙·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為為上一動點，為圓上一動點，的最小值為.(1)求的方程；(2)直線交于兩點，交軸的正半軸于點，點與關(guān)于原點對稱，且，求證為定值.【解析】（1）由題得，當點，四點共線且點在中間時，取得最小值，最小值為，又，解得，所以的方程為.（2）當直線的斜率為0時，顯然不適合題意；當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以為定值.例9．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知橢圓過點，點與關(guān)于原點對稱，橢圓上的點滿足直線與直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，已知點，點與關(guān)于原點對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓過點，所以，設(shè)滿足，則，又，則，所以橢圓的方程.（2）直線，代入橢圓，可得，由于直線交橢圓于兩點，所以，整理得.設(shè)，由于點與關(guān)于原點對稱，所以，于是有，，又，于是有故直線的斜率與直線的斜率之和為0.變式4．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點F為拋物線C：的焦點，過點F且斜率為的直線與C交于A，B兩點（O為坐標原點）(1)求拋物線C的方程；(2)過點作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S.已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）拋物線C：的焦點，直線的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，因此，而，解得，所以拋物線C的方程為.（2）存在，使得為定值.依題意，直線，直線，由消去y并整理得，設(shè)，則，，，設(shè)，同理，且有，由，得，即，而，則，所以存在，使得為定值0.變式5．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點的連線的斜率為，且的橫縱坐標恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.題型四：斜率積定值例10．（2023·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線：的左、右頂點分別為，，且頂點到漸近線的距離為，點是雙曲線右支上一動點（不與重合），且滿足，的斜率之積為.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線交于軸上方的，兩點，若是線段的中點，是線段上一點，且，為坐標原點，試判斷直線，的斜率之積是否為定值．若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，因為頂點到漸近線的距離為，所以，設(shè)，，，則，所以，因為點在雙曲線上，所以，所以，所以，又所以，，，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，則，所以，，因為直線與雙曲線交于軸上方的，兩點，所以，即，解得，所以，，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即直線，的斜率之積為定值．例11．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？级＃┮阎p曲線的左、右頂點分別為A1，A2，動直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為（，），（，）．(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【解析】（1）與圓相切，，，由，得，，，故的取值范圍為.（2）由已知可得的坐標分別為，，，又因為，所以，為定值.例12．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右頂點和上頂點分別為，，為線段的中點，為坐標原點，且．(1)求橢圓的方程；(2)已知圓，為圓上任意一點，過點作橢圓的切線，交圓于點，若與斜率都存在，求證：為定值．【解析】（1）依題意可得，，，，所以，所以，所以橢圓的方程為：．（2）若的斜率不存在，則，或，，此時；若的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，，，由聯(lián)立消去可得，，方程的判別式，，，，所以，當直線與橢圓相切時，由聯(lián)立消去可得，，，化簡得，所以，綜上可得為定值．變式6．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：，，，是橢圓上三個不同的點，原點為的重心.(1)求橢圓的離心率；(2)如果直線和直線的斜率都存在，求證為定值；(3)試判斷的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）因為，所以，又，所以，解得，所以橢圓E的的離心率.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，則，，因為原點為的重心，所以，，所以.（3）因為原點為的重心，所以當直線的斜率不存在時，必有或，當時，直線的方程為；當時，直線的方程為，將或者代入橢圓方程，均求得，又點到直線的距離均為3，因此.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由（2）知，，，，因為在橢圓上，代入橢圓方程可得，化簡得，又，到直線AB的距離為：，所以為定值.綜上所述，的面積是為定值.變式7．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知分別為雙曲線和雙曲線上不與頂點重合的點，且的中點在雙曲線的漸近線上.(1)設(shè)的斜率分別為，求證：為定值；(2)判斷的面積是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.【解析】（1）設(shè)，則由的中點在雙曲線的漸近線上，則，即為定值.（2）（1）（2）聯(lián)立（1）（2）得：同理，設(shè)到直線的距離為，則由（1）知：變式8．（2023·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，為坐標原點，橢圓：經(jīng)過點，且離心率．(1)求的標準方程；(2)經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，是上任意點，設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，證明：是定值．【解析】（1）依題意得：，解得．所以橢圓的標準方程為．（2）因為直線過原點，設(shè)，，．所以，，所以又因為，，所以所以是定值．題型五：斜率比定值例13．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）已知橢圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，，直線AB的斜率顯然存在，則，因為線段AB中點Q的坐標為，所以，，直線AB的斜率，A，B兩點在橢圓橢圓C上，所以，，兩式相減得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由得，則，，，設(shè)M，N中點為，則，，因為M，N都在以P為圓心的圓上，所以，則點P在線段MN的垂直平分線上，依題意，所以線段MN的垂直平分線方程為，M，N中點為在此直線上，所以有，即，解得.所以k的值為.（3）依題意有，，，設(shè)直線的方程為，由得，則，，，所以為定值.例14．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，因為直線過點且斜率不為，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，．從而．（3）由（1）知，設(shè)，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.題型六：線段定值例15．（2023·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知以為焦點的橢圓過，記橢圓的另一個焦點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線是曲線的切線，且與直線和分別交于點，與軸交于點，求證：為定值.【解析】（1）由題意得，即，所以的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，方程為（2）當切線的斜率存在時，設(shè)切線為，則，聯(lián)立可得：，則，即，設(shè)，直線和是曲線的漸近線，聯(lián)立可得：，則，，，所以.當切線的斜率不存在時，易知.例16．（2023·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎獧E圓：的一個端點為，且離心率為，過橢圓左頂點的直線與橢圓交于點，與軸正半軸交于點，過原點且與直線平行的直線交橢圓于點，．(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：為定值．【解析】（1）因為橢圓：過點，所以，又橢圓的離心率為，則所以，故橢圓方程為（2）設(shè)直線的方程為，所以，設(shè)，由，得，則，所以，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，則，所以，故，因此為定值.例17．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，(1)求的值.(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）如圖所示，過點作，垂足為交軸于點，由題得，所以，因為，所以△是等邊三角形，因為是的中點，所以，故，所以，，所以，所以，即.（2）由（1）可知拋物線的方程是，設(shè)直線的方程為，，因為，所以，即，即.又，所以，故.聯(lián)立，消去，得，其中，則，所以，所以.設(shè)點到直線和直線的距離分別為，則由得，所以點到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.變式9．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左?右焦點分別為為上一動點（點異于的左右頂點），面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線分別與交于異于點的兩點，試判斷是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.【解析】（1）由橢圓滿足且面積的最大值為，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，可得，設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，解得，直線的方程為，聯(lián)立方程組，同理可得，所以因為，所以，所以，為定值.變式10．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓過點，點A為下頂點，且AM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，過點作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C、D兩點，直線AD，AC分別交x軸于H，G兩點，O為坐標原點．證明：為定值，并求出該定值．【解析】（1）因為橢圓過點，，且AM的斜率為，所以，解得，，所以橢圓E的方程為（2）證明：由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：，設(shè)，，由，得，，得，則，，因為，直線AD的方程為，令，解得，則，同理可得，所以為定值，所以為定值，該定值為變式11．（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓（，）的離心率為，左、右焦點分別為，，為的上頂點，且的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點、．求證：為定值．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因為的周長為，則，橢圓的離心率為，則，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線，與橢圓方程聯(lián)立解得，則，當直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去y并整理得：，顯然點在橢圓內(nèi)，即直線與必交于兩點，有，又直線與圓相切，即，即得，顯然，即有，因此，所以為定值.題型七：斜率和過定點例18．（2023·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)校考期中）已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點且斜率為的動直線與橢圓交于、兩點，試問軸上是否存在異于點的定點，使得直線和關(guān)于軸對稱？若存在，求出點坐標，若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的焦距為，故，過點，，且，聯(lián)立解得：所以橢圓的方程為：.（2）橢圓右焦點為，故過橢圓右焦點且斜率為的動直線為：，和橢圓聯(lián)立得：，，設(shè)，則，設(shè)存在異于點的定點，直線和關(guān)于軸對稱，故，即化簡得：，即則.故存在異于點的定點，使得直線和關(guān)于軸對稱.例19．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的上頂點為P，過P的兩條直線，分別與C交于異于點P的A，B兩點，若直線，的斜率之和為，試判斷直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意知解得，，，所以橢圓C的方程為；（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，,由得，所以，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過定點例20．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，長軸長為4，離心率為.(1)求的方程.(2)已知點是上不關(guān)于坐標軸對稱的兩點，且滿足（表示斜率），判斷直線是否過定點.若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.【解析】（1）因為的中心在坐標原點，焦點在軸上，所以設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.由題可得，所以，所以的方程為.（2）如圖所示，由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，則，所以，化簡得，所以，即，將代入得，因為，所以，所以直線的方程為，恒過定點.題型八：斜率積過定點例21．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，點在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.(1)求的方程；(2)不垂直于坐標軸的直線交于兩點，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點.【解析】（1）當點為橢圓的上頂點或下頂點時，的面積最大，此時，又，故，解得，曲線的方程為.（2）方法一：設(shè)直線的方程為，代入得，設(shè)，得，則，，即，解得或.當時，此時，直線過定點，而與不重合，不合題意.當時，此時，此時直線過定點，滿足要求.方法二：由題意，直線不經(jīng)過點，設(shè)直線的方程為①.由方程得.②.由①②得，.若是上的點，則斜率為，，的斜率，即，解得.的方程為，即，故過定點.例22．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的左頂點為，焦距為.動圓的圓心坐標是，過點作圓的兩條切線分別交橢圓于和兩點，記直線、的斜率分別為和.(1)求證：；(2)若為坐標原點，作，垂足為.是否存在定點，使得為定值？【解析】（1）由題意知，橢圓的左頂點為，焦距為，可得，解得，所以故橢圓的方程為，設(shè)過點與圓的切線的直線為，動圓的半徑為，則化簡得，所以和是方程的兩根，由韋達定理知，.（2）設(shè)點，，聯(lián)立方程組，整理得，則，得，，所以因為，所以將換成，可得，則直線的斜率所以直線的方程為由橢圓的對稱性可知，直線必過軸上一定點所以，化簡得這是一個與無關(guān)的方程，所以，即直線過定點.因為，所以點的軌跡是以為直徑的圓上的一段弧，故存在點，使得為定值.例23．（2023·浙江臺州·高二臺州一中?？计谥校┮阎獎狱c到定點的距離比到直線的距離小1.(1)求動點的軌跡的方程；(2)取上一點，任作弦，滿足,則直線AB是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過定點，求出該點坐標，否則說明理由.【解析】（1）已知動點到定點的距離比到直線的距離小，可得動點到定點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義易知軌跡的方程為.（2）將代入中，可得：，，故得：，即得：；如圖，設(shè)，，由于，整理可得：.，則根據(jù)點斜式方程可得：，整理得：；由直線的方程，可知直線恒過定點.變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)點是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問直線是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓的長軸為雙曲線的實軸，所以，因為橢圓過點，所以，，得，所以橢圓方程為；（2）①當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，由，得，

，所以，，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，即，所以或，當時，直線的方程為，則直線過定點（舍去），當時，直線的方程為，所以直線過定點，②當直線的斜率不存在時，設(shè)直線為（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過定點，綜上，直線恒過定點.題型九：角度相等過定點例24．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓:過點，離心率為，斜率不為零的直線過右焦點交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在定點，使得，如果存在，求出點坐標，如果不存在，說明理由.【解析】（1）因為橢圓過點，離心率為，所以，解得，

所以橢圓C的方程為（2）假設(shè)在軸上存在定點，使得，設(shè)直線L的方程為，，，因為，所以，即，所以，

即，所以

（*）

，由，得，

所以

代入（*），得，所以，故在軸上存在定點，使得.

另①當斜率存在時，設(shè)的方程為，因為，所以，即，所以，即，即（*），由得，則，代入（*）得，所以，故在軸上存在定點，使得.

②當斜率不存在時，顯然綜上所述：在軸上存在定點，使得.例25．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且.(1)求橢圓的離心率；(2)橢圓的上頂點為，不過的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，若，試問直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形.又，所以而，所以，在四邊形中，，所以，在中，根據(jù)余弦定理得即化簡得.所以橢圓的離心率；（2）因為橢圓的上頂點為，所以，所以，又由（1）知，解得，所以橢圓的標準方程為.在中，，，所以，從而，又為線段的中點，即，所以，因此，從而，根據(jù)題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)它的方程為，，，聯(lián)立消去得①，，根據(jù)韋達定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直線不經(jīng)過點，所以舍去，于是直線的方程為，恒過定點，該點在橢圓內(nèi)，滿足關(guān)于的方程①有兩個不相等的解，所以直線恒過定點，定點坐標為.例26．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且雙曲線過點．(1)求雙曲線的標準方程．(2)過定點的直線與雙曲線交于兩點，在軸上是否存在定點，使得，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，設(shè)雙曲線的方程為，代入點，解得故雙曲線的方程為（2）由直線過定點，當斜率為0時，符合條件，故設(shè)直線為：設(shè)，代直線入雙曲線得設(shè)軸上的點，，同理由，則即要對任意的都成立，則在軸上存在點，使得變式13．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的右焦點為，短軸長為2．(1)求的方程．(2)若為上的兩個動點，兩點的縱坐標的乘積大于，且．證明：直線過定點．【解析】（1）依題意可得，解得，故的方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)的坐標分別為，則，且．設(shè)直線的傾斜角分別為，因為，且兩點的縱坐標的乘積大于0，所以，所以，則，則，即，所以，所以，化簡可得，則直線的方程為，故直線過定點．變式14．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的右焦點為，離心率為．(1)求的方程．(2)若，為上的兩個動點，，兩點的縱坐標的乘積大于0，，，且．證明：直線過定點．【解析】（1）依題意可得則，故的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，的坐標分別為，則，且，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，因為，且，兩點的縱坐標的乘積大于0，所以，所以則，則即，所以所以，化簡可得則直線的方程為，故直線過定點題型十：垂直過定點例27．（2023·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的短軸長為2，點在橢圓上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)當為橢圓的右頂點時，直線與橢圓相交于兩點（異于點），且.試判斷直線是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.【解析】（1）由已知得：，解得，故橢圓的標準方程為；（2）由題意知，直線的斜率不為0，不妨設(shè)，由消去得，所以，即得，，，，又，所以，所以，解得，直線的方程為，則直線恒過點.例28．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知動圓M與y軸相切，且與圓N：外切，記動圓M的圓心軌跡為E.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點且互相垂直的兩條直線與E分別交于點A，B，證明：直線AB過定點.【解析】（1）設(shè)動圓的圓心M坐標為，因為動圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，且，由圓N：，知，半徑為3，因為動圓M與圓N外切，所以，當時，，化簡得，當時，，化簡得，綜上，軌跡E的方程為：；（2）由題意可得直線的斜率存在且都不等于零，設(shè)直線OA的方程為：，則直線OB的方程為：，聯(lián)立，解得，，即點A的坐標為，同理可得，點B的坐標為，當時，直線AB的斜率為：，此時直線AB的方程為：，整理得，故直線AB過定點，當時，，，此時直線AB的方程為：，當時，，，此時直線AB的方程為：，綜上，直線AB過定點.例29．（2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，且經(jīng)過點.(1)求拋物線C方程及其準線方程；(2)過作斜率不為0的直線交拋物線于兩點，直線分別交于兩點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點.【解析】（1）因為點在上，所以，解得，所以的方程為，準線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)點，則.直線的方程為，令，得，所以，同理得，設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點為，則，因為，則，即，所以，解得或.故以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點和.變式15．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且過點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)點M，N在C上，且，證明：直線MN過定點．【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得解得∴橢圓C的標準方程為．（2）證明：設(shè)點，∵，∴整理可得①，當直線MN的斜率k存在時，設(shè)，聯(lián)立得，由得，則．∴，，代入①式化簡可得，即，∴或，則直線方程為或，∴直線過定點或，又和A點重合，故舍去．當直線MN的斜率k不存在時，則，，此時，即，又，解得或2（舍去），此時直線MN的方程為，過點．綜上所述，直線MN過定點．題型十一：弦中點過定點例30．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點為，點在上．(1)求橢圓的方程；(2)過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點和兩點，若的中點分別為，證明：直線必過定點，并求出此定點坐標．【解析】（1）橢圓的左焦點為，，則右焦點為，點在橢圓上，取得到，即，又，解得，，（舍去負值），故橢圓方程為，（2）當兩條直線斜率存在時，設(shè)的直線方程為，，，則，整理得到，，故，，即，同理可得：，則，故直線的方程為：，取，.故直線過定點.當有直線斜率不存在時，為軸，過點.綜上所述：直線必過定點例31．（2023·陜西渭南·高三渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的左，右焦點分別為，，且，與短軸的兩個端點恰好為正方形的四個頂點，點在E上.(1)求E的方程；(2)過點作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點.【解析】（1）設(shè)，因為兩個焦點和短軸的兩個端點為正方形的四個頂點，所以，因為點在E上，所以，又，解得，所以E的方程為.（2）由（1）知，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB方程為：，與E的方程聯(lián)立，消去x并整理，得，且，設(shè)，則，所以，所以點M的坐標為，因為，則直線CD的方程為，同理得，當，即時，直線MN的斜率，所以直線MN的方程為，所以，因為，所以直線MN的方程即為，顯然直線MN過定點；當，即時，則或，此時直線MN的方程為，也過點.綜上所述，直線MN過定點.例32．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標．【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經(jīng)過一個定點．題型十二：數(shù)量積過定點例33．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知F是拋物線C：的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點，若（O為坐標原點），則直線l否會過某個定點？若是，求出該定點坐標.【解析】（1）由知，拋物線的準線方程為，而是該拋物線的焦點，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過定點，所以直線恒過定點.例34．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線相交于不同的、兩點．(1)求拋物線的方程；(2)如果，直線是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．【解析】（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因為，直線與拋物線相交于不同的、兩點，所以直線不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．由，解得，∴過定點．例35．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知點是拋物線上一點，直線l與拋物線C交于A，B兩點（位于對稱軸異側(cè)），（O為坐標原點）．(1)求拋物線C的方程；(2)求證：直線l必過定點．【解析】（1）由題可知，，解得，所以拋物線的方程為．（2）因為A，B位于對稱軸異側(cè)，所以l與對稱軸不平行，設(shè)直線l的方程為，，，且，聯(lián)立，消去x可得，則，且，，即，所以，由，得，即，解得（舍去）或，故直線l的方程為，所以直線l必過定點，得證．題型十三：線段比過定點例36．（2023·江西·高三金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右頂點分別，，上頂點為，的面積為3，的短軸長為2.(1)求的方程；(2)斜率不為0的直線交于，兩點（異于點），為的中點，且，證明：直線恒過定點.【解析】（1）由題意得，解得，，故的方程為.（2）證明：由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，

所以，即，，，因為，所以，所以，

即，則，整理得，

所以，即整理得，解得或，

當時，直線的方程為，恒過點，舍去；當時，直線的方程為，恒過點，符合題意，即直線恒過定點.例37．（2023·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀E圓的離心率是，點是橢圓上一點，過點的動直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求面積的最大值；(3)在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）根據(jù)題意，得，解得，橢圓C的方程為.（2）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，，故，令，所以，當且僅當，即時取得等號，綜上可知：面積的最大值為.（3）當平行于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，可設(shè)的坐標為；當垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為；當不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，由（2）知，又因為點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，又，，則，所以，則三點共線，所以；綜上：存在與點不同的定點，使恒成立，且..例38．（2023·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┮阎獔A：，點是圓上的動點，點，為的中點，過作交于，設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點的動直線與曲線相交于，兩點.在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意可知圓E的標準方程為，圓心，因為線段的垂直平分線交于點，所以，動點始終滿足，故動點S滿足橢圓的定義，曲線是以為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程為，因此，解得，橢圓C的方程為.（2）存在與點不同的定點，使得恒成立．理由如下：當直線與軸平行時，由橢圓的對稱性可知，又因為得，則，從而點Q必在y軸上，可設(shè)，當直線與軸垂直時，則，如果存在定點滿足條件，由，即，解得或，若存在不同于點的定點滿足條件，則點坐標只能是；當直線不平行于軸且不垂直與軸時，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得：，，設(shè)A、B的坐標分別為、，，，又點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，，又，，，則、、三點共線，；故存在與點不同的定點，使得恒成立．變式16．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑱E圓＋，過點的動直線與橢圓相交于兩點.(1)求面積的最大值；(2)是否存在與點不同的定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【解析】（1）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，，故，令，所以，當且僅當，即時取得等號，綜上可知，面積的最大值為.（2）當平行于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，可設(shè)的坐標為；當垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為；當不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，由（1）知，又因為點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，又，，則，所以，則三點共線，所以；綜上，存在與點不同的定點，使恒成立，且.題型十四：向量相等過定點例39．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線E：的焦點為F，E的準線交軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交軸正半軸于點P.已知的面積為2.(1)求拋物線E的方程；(2)過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足.證明：直線過定點.【解析】（1）由題可知，，準線，，因為直線l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，聯(lián)立，消去x，得，因為l與E相切，所以，所以或，因為交y軸正半軸于點P，所以,因此，解得，所以，故，所以，所以（負值舍去），所以拋物線E的方程為.（2）由（1）知，又l：，所以，如圖所示：因為過點P的直線交E于M，N兩點，所以斜率存在且不為零，所以設(shè)：，，，聯(lián)立，消去x，得，則，所以且，.又直線：，令，得，所以，因為，所以，所以，所以直線的方程為，所以，因為，所以直線為，所以恒過定點.例40．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線的左右頂點分別為點，其中，且雙曲線過點．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點的直線分別交的左、右支于兩點，過點作垂直于軸的直線，交線段于點，點滿足．證明：直線過定點，并求出該定點．【解析】（1）由，則，又，則，所以，故雙曲線的方程為：.（2）如圖，由，則方程為，顯然直線DE的斜率存在，設(shè)直線方程為：，則，則，由，則，則，，聯(lián)立，則，則所以，故，故過定點.題型十五：坐標定值例41．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點和，與軸交于點，且直線上存在一點滿足（不與重合）．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：當變化時，點的縱坐標為定值．【解析】（1）將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，要使直線與雙曲線的右支有兩