整理解排列組合應(yīng)用問題的十種思考方法p

PAGEPAGE4“解排列、組合應(yīng)用問題”的思維方法一、優(yōu)先考慮：對有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1．（1）由0、1、2、3、4、可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有個(gè)。5個(gè)人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共有種。二、“捆”在一起：有要求元素相鄰（即連排）的排列問題，可以先將相鄰的元素看作一個(gè)“整體”與其它元素排列，然后“整體”內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2．（1）有3位老師、4名學(xué)生排成一排照相，其中老師必須在一起的排法共有種。（2）有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有種。三、插空檔：有要求元素不相鄰（即間隔排）的排列問題，可以制造空檔插空。例3．（1）五種不同的收音機(jī)和四種不同的電視機(jī)陳列一排，任兩臺電視機(jī)不靠在一起，有種陳列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法有種。四、減去特殊情況（即逆向思考）：先算暫時(shí)不考慮限制條件的排列或組合種數(shù)，然后再從中減去所有不符合條件的排列或組合數(shù)。例4．（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè)。（2）由0、1、2、3、4、可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。（3）集合有8個(gè)元素，集合有7個(gè)元素，有4個(gè)元素，集合有3個(gè)元素且滿足下列條件：的集合有幾個(gè)。（4）從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4100米五、先組后排：排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5（1）用1、2、3、9這九個(gè)數(shù)字，能組成由3個(gè)奇數(shù)數(shù)字、2個(gè)偶數(shù)數(shù)字的不重復(fù)的五位數(shù)有個(gè)。（2）有8本不同的書，從中取出6本，獎(jiǎng)給5位數(shù)學(xué)優(yōu)勝者，規(guī)定第一名（僅一人）得2本，其它每人一本，則共有種不同的獎(jiǎng)法。（3）有五項(xiàng)工作，四個(gè)人來完成且每人至少做一項(xiàng)，共有種分配方法。六、除以排列數(shù)：對某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定順序元素個(gè)數(shù)的全排列。例6（1）有4名學(xué)生和3位老師排成一排照相，規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變，那么不同的排法有種。（2）由0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有個(gè)。（3）書架上放有5本書（1~5冊），現(xiàn)在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有種放法。七、對象互調(diào)：有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個(gè)角度去考慮便順利求得結(jié)果又易理解。例7．（1）一部電影在四個(gè)單位輪放，每單位放映一場，可以有種放映次序。（2）一排有8個(gè)座位，3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有種。（3）有6個(gè)座位3人去坐，要求恰好有兩個(gè)空位相連的不同坐法有種。八、分情況研究：分情況研究（即分類計(jì)算）復(fù)雜的排列、組合綜合題，常常通過畫簡圖、按元素的性質(zhì)“分類”；按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果，尤其對含數(shù)字“0”的排列，常分“有0”及“無0”兩種情況研究，在“有0”時(shí)，排列的“首位”又是“特殊”位置要優(yōu)先考慮。例8．（1）從編號為了1、2、39的九個(gè)球中任取4個(gè)球，使它們的編號之和為奇數(shù)，再把這四個(gè)球排成一排，共有多少種不同的排法？（2）用0、1、2、39這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)？（3）用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個(gè)數(shù)？排列與組合(思考方法1～8訓(xùn)練)一．優(yōu)先考慮1．現(xiàn)有6名同學(xué)站成一排：（1）甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？（2）甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？2．用，5組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，共可以組成多少個(gè)？二．插空3．有6名同學(xué)站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相鄰有種排法；（2）男女相間有種排法。三．捆在一起5．由1、2、3、4、5組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在一起，則不同的5位數(shù)共有_________個(gè)。6．有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有種。四．逆向思考7．某小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時(shí)的不同選法有16種，則小組中的女生數(shù)為________。8．6名同學(xué)站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？五．先組后排9．有4名學(xué)生參加3相不同的小組活動(dòng)，每組至少一人，有種參加方式。10．從兩個(gè)集合和中各取兩個(gè)元素組成一個(gè)四位數(shù)，可組成個(gè)數(shù)。六．除以排列數(shù)11．書架上放有6本書，現(xiàn)在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有種放法。12．9人（個(gè)子長短不同）排隊(duì)照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有種排法。七．對象互調(diào)：13．某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數(shù)是。14．三個(gè)人坐在一排7個(gè)座位上，（1）若3個(gè)人中間沒有空位，有種坐法。（2）若4個(gè)空位中恰有3個(gè)空位連在一起，有種坐法。八．分情況（即分類）15．用組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，若按從小到大的順序排列，則數(shù)12340是第_____個(gè)數(shù)。16．某車間有8名會(huì)車工或鉗工的工人，其中6人會(huì)車工，5人會(huì)鉗工，現(xiàn)從這些工人中選出2人分別干車工和鉗工，問不同的選法有多少種？九．和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題。例9．和：（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這些三位數(shù)的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中Ⅰ、能被5整除的數(shù)有多少個(gè)？Ⅱ、能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？Ⅲ、能被6整除的數(shù)有多少個(gè)？倍數(shù)：（3）在1、2、3100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種？（取7,11與取11,7認(rèn)為是同一種取法）（4）在1、2、330這三十個(gè)數(shù)中，每取兩兩不等的三個(gè)數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？約數(shù)：（5）數(shù)2160共有多少個(gè)正約數(shù)（包括1和本身在內(nèi)）？其中共有多少個(gè)正的偶約數(shù)？十、分配、分組問題：解題時(shí)要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組（分堆）的區(qū)別。例10．（1）將12本不同的書Ⅰ、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有種分法。Ⅱ、平均分成三堆，有種分法。（2）7本不同的書Ⅰ、全部分給6個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。Ⅱ、全部分給5個(gè)人，每人至少一本，共有種不同的分法。（3）六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。排列與組合(思考方法全訓(xùn)練)一～八：1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同的站法共有種(用數(shù)字作答)。2．8人排成一排,其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時(shí)相鄰的排法有______種.3．現(xiàn)有6張同排連座號的電影票,分給3名老師與3名學(xué)生,要求師生相間而坐,則不同的分法數(shù)為________.4．在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有種。5．現(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營，要求每個(gè)夏令營活動(dòng)至少有選出的一人參加，且每人只參加一個(gè)夏令營活動(dòng)，則不同的參加方案的種數(shù)是___________.(寫出具體數(shù)字)6．將A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C順序（即A在B前，C在B后）的排列總數(shù)為。1234123458．（1）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種。（以數(shù)字作答）（2）同室人各寫了一張賀年卡先集中起來，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這張賀年卡不同的分配方式有__________種。九．和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題17．(1)由2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：①這些數(shù)的數(shù)字之和；②這些數(shù)的和。（2）由0、2、5、7、9這5個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)？18．（1）在1、2、3、4、…、50這50個(gè)自然數(shù)中，每次取出2個(gè)（無論先后），使他們的積是13的倍數(shù)，這樣的取法有多少種？（2）①420共有多少個(gè)正約數(shù)？②14175共有多少個(gè)正約數(shù)？十．分配、分組問題：19．六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？①甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。②一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。③甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。④一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。20．一般地，現(xiàn)有本不同的書，①分給甲、乙、丙三人，甲得本、乙得本、丙得本，則有種分法。②分給三人，一人得本、一人得本、另一人得本，則有種分法。③分給三人，甲、乙各得本、丙得本，則有種分法。④分給三人，其中二人各得本，另一人得本，則有種分法。⑤分成三堆，一堆本、一堆本、一堆本，則有種分法。⑥分成三堆，有二堆各本，還有一堆本，則有種分法。排列與組合(思考方法1～8訓(xùn)練)參考答案一．優(yōu)先考慮：1．（1）法一：（先考慮特殊元素甲）種；法二：（先考慮特殊位置頭尾）種；（2）法一：(甲在尾)+(甲不在尾)=120+384=504；(或法二：種)；2．先考慮首位再其它：。二．插空：3．；4．（1）；（2）。三．捆在一起：5．；6．。四．逆向思考：7．令小組中的女生數(shù)為，則：；8．。五．先組后排：9．；10．。六．除以排列數(shù)：11．（即）；12．。七．對象互調(diào)：13．；14．（1）；（2）。八．分情況（即分類）：15．；16．。排列與組合(思考方法全訓(xùn)練)參考答案一～八：1．）即：先前，再后）；2．；3．72；4．；5．（即：先組，再捆，后排）；6．120；7．56；8．（1）；（2）9．九．和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題17．（1）①由2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，而每一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都是，所以所有四位數(shù)的數(shù)字之和是。②如2在個(gè)，十，百，千位上的情況各有次，同理