高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(排列組合)

排列、組合及其應(yīng)用（第1課時(shí)）知識(shí)要點(diǎn)：排列的概念：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列。所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示。排列數(shù)公式：=（）；規(guī)定：1。組合的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。所有組合的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示。組合數(shù)公式：=組合數(shù)的性質(zhì)（1）；規(guī)定：1；（2）。典型范例：例1：解方程：。分析：此題由于一定大于和，所以只需要大于3，而方程的左邊可以通過(guò)組合數(shù)的性質(zhì)（2）進(jìn)行計(jì)算，另外此題適合用階乘表示。解：由，得解得或∵∴點(diǎn)評(píng)：涉及排列數(shù)或者組合數(shù)的不等式，首先要注意使式子有意義，其次是根據(jù)情況，將或?qū)懗烧归_(kāi)形式或者階乘形式。例2：有4名男生、5名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；(2)甲、乙兩人必須排在兩端；(3)男女相間．分析：這是一個(gè)排列問(wèn)題，一般情況下，我們會(huì)從受到限制的特殊元素開(kāi)始考慮，有時(shí)也從特殊的位置討論起．對(duì)于相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法”；對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”(特殊元素后考慮)；對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法”或“排除法”．解：(1)法一(元素分析法)先排甲有6種,其余有種,故共有種排法法二(位置分析法)除了甲之外的8個(gè)人排在中間和兩端的位置，有種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人排在其它位置，有種排法,故共有種排法法三(等機(jī)會(huì)法)9個(gè)人的全排列數(shù)有種,甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會(huì)都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是種法四(間接法)種(2)先排甲、乙，再排其余7人,共有(3)(插空法)先排4名男生有種排法,再將5名女生插空有種排法,故共有種排法點(diǎn)評(píng)：本題集排列多種類型于一題，充分體現(xiàn)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、優(yōu)先考慮特殊元素（優(yōu)先考慮特殊位置）、直接法、間接法（排除法）、捆綁法、等機(jī)會(huì)法、插空法等常見(jiàn)的解題思路．例3：要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求有多少種不同選法？（1）A、B、C三人必須入選（2）A、B、C三人不能入選（3）A、B、C三人只有一人入選（4）A、B、C三人至少一人入選（5）A、B、C三人至多二人入選。分析：(1)A、B、C三人必須入選，則只需從余下的9人之中選擇2人；（2）A、B、C三人不能入選,則需從余下的9人之中選擇5人；（3）此小題要分步進(jìn)行，先從A、B、C三人選1人，有種，再?gòu)钠溆?人之中選擇4人，有種，運(yùn)用乘法原理，共有CC種；（4）此小題要分類考慮，即A、B、C三人只選1人，只選2人和3人都選；也可以用間接法；（5）此小題用直接法考慮分三類（即A、B、C三人只選1人，只選2人和都沒(méi)有選），用間接法要簡(jiǎn)單一些。解：(1)C=36(2)C=126(3)CC=378(4)CC+CC+CC=666(5)CC+CC+CC(或C–C)=756點(diǎn)評(píng)：組合問(wèn)題，要注意是否需要分類或者分步，還要注意避免重復(fù)，比如（4）小題，不能先從A、B、C三人中選1人，再在未被選的11人中選4人，即是錯(cuò)誤的。練習(xí)：一、選擇題1．方程的解集為（）．．．．解：或，所以或9，選D2.有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.3.用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）（A）36個(gè)

（B）48個(gè)

（C）66個(gè)

（D）72個(gè)解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D.4．從不同號(hào)碼的雙鞋中任取只，其中恰好有雙的取法種數(shù)為A．B．C．D．解：先從5雙鞋中選1雙，有種，再?gòu)钠溆?雙鞋中選2雙，有種，在這2雙鞋中每雙取1只，都有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有=120種，選A二、填空題5.設(shè)則的值為。解：由題意可得：，解得，∵，∴或或，當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為11．∴所求值為4或7或11．6.，則含有五個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)偶數(shù)的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)____.解：105若則自然數(shù)_____.解：8.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有種分配方案。解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分法。三、解答題9．7個(gè)人排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？（1）甲排頭;（2）甲不排頭，也不排尾;（3）甲、乙、丙三人必須在一起;（4）甲、乙之間有且只有兩人;（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰;（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）;（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序;（8）甲不排頭，乙不排當(dāng)中;解：（1）甲固定不動(dòng)，其余有，即共有種；（2）甲有中間個(gè)位置供選擇，有，其余有，即共有種；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把該三人當(dāng)成一個(gè)整體，再加上另四人，相當(dāng)于人的全排列，即，則共有種；（4）從甲、乙之外的人中選個(gè)人排甲、乙之間，有，甲、乙可以交換有，把該四人當(dāng)成一個(gè)整體，再加上另三人，相當(dāng)于人的全排列，則共有種；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五個(gè)空位，甲、乙、丙三人排這五個(gè)空位，有，則共有種；（6）不考慮限制條件有，甲在乙的左邊（不一定相鄰），占總數(shù)的一半，即種；（7）先在個(gè)位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三個(gè)空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動(dòng)入列，不能亂排的，即（8）不考慮限制條件有，而甲排頭有，乙排當(dāng)中有，這樣重復(fù)了甲排頭，乙排當(dāng)中一次，即10.現(xiàn)有4個(gè)不同的球與4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)，（1）共有多少種放法？（2）恰有1個(gè)盒子不放球，共有多少種不同的放法？（3）恰有1個(gè)盒子內(nèi)有2球，共有多少種不同的放法？（4）恰有2個(gè)盒子不放球，共有多少種不同的放法？解：（1）每個(gè)球均有4種不同的放法，故所有的放法有4·4·4·4=256種（2）恰有一個(gè)盒子不放球，也即有一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另兩個(gè)盒子各放一個(gè)球的放法有種，（3）恰有一個(gè)盒子放兩個(gè)球，也即有一個(gè)盒子不放球，另兩個(gè)盒子各放一個(gè)球的放法有種，（4）分兩類，一類是一個(gè)盒子放3個(gè)球，另一個(gè)盒子放1個(gè)球，共種放法，另一類是兩個(gè)盒子均放兩個(gè)球，共有種放法，故所有的不同放法共有種。11.用共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字，對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類．一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類．解：(1)就個(gè)位用還是用分成兩類，個(gè)位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個(gè))，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))．(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：、、、、、、、，前四組中有，后四組中沒(méi)有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個(gè))，如果用后四組，共有(個(gè))，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))．排列、組合及其應(yīng)用（第2課時(shí)）知識(shí)要點(diǎn)：可重復(fù)的排列用乘法原理，結(jié)果一般是冪的形式。相鄰問(wèn)題采用捆綁法，不相鄰問(wèn)題采用插空法。不同元素的分配問(wèn)題，采用先先分組再分配的辦法；相同元素的分配問(wèn)題，采用隔板法。典型范例：例1：有6本不同的書按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；分成每組都是2本的三個(gè)組；分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本；分給5人每人至少1本。分析：（1）先從6本書中取1本，有種，再?gòu)挠嘞?本書中取2本，有種，最后從余下3本書中取3本，有種，利用分步計(jì)數(shù)原理，得；（2）采用先分堆再分給3個(gè)人的方法，即在分組的基礎(chǔ)上，乘以；（3）這是平均分組問(wèn)題，由于有重復(fù)，所以要除以；（4）可看作在前一小題分組的基礎(chǔ)上，再分給3個(gè)人，乘以；（4）一般采用先分堆再分給5個(gè)人的方法，將6本書分成5堆的方法是從6本書中選擇2本作為1堆，有種，其余4本分成4堆，只有1種分法，再將5堆分給5個(gè)人有種，利用分步計(jì)數(shù)原理，得。解：（1）=60；（2）=360；（3）=15（4）=90（5）=1800點(diǎn)評(píng)：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。例2：將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）．分析：第一步將4名大學(xué)生按2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件的分配方案有=36種。解：=36。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于不同元素的分配問(wèn)題，如果出現(xiàn)“粥多僧少”，應(yīng)先將元素分成幾堆，再將各堆分配到每個(gè)位置。②①③④例3：用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③②①③④分析：先給①號(hào)區(qū)域涂色有5種方法，再給②號(hào)涂色有4種方法，接著給③號(hào)涂色，方法有3種，由于④號(hào)與①、②不相鄰，因此④號(hào)有4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有解：點(diǎn)評(píng)：此題是對(duì)每一塊分別確定顏色的種數(shù)，然后運(yùn)用乘法原理。但是有些題比較復(fù)雜，可以考慮根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。練習(xí)：一、選擇題1.從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種解：選B2.在∠AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有()解：選C3.將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（）A.12種B.18種C.36種D.54種解：選B4.5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種解：人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝90種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種(2)+=150，選A二、填空題5.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）。解：12606.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子.現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法有多少種?解：C·C=20種ABABBA解：讓三只不亮的燈插空,C=208.從一個(gè)3×4的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的最短路線有________條;解：最短路徑須走七步，只需確定哪三步向上，種走法．三、解答題243124315解：依題意至少要用3種顏色：當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2與4必須同色，區(qū)域3與5必須同色，故有種；當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域2與4同色，則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，有種，故用四種顏色時(shí)共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=7210.用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)做四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得到多少個(gè)四棱錐？解：（直接法）共面而不共線的四點(diǎn)可成為四棱錐的底面，再在平面外找一點(diǎn)為頂點(diǎn)就形成了四棱錐，于是可從四棱錐的底面四點(diǎn)著眼，將構(gòu)成棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)的取法分類。按照構(gòu)成四棱錐的底面四點(diǎn)分為以下四類；(1)四點(diǎn)取在棱柱的底面上有2CC=50個(gè)；(2)四點(diǎn)取在棱柱的側(cè)面上有5C=30個(gè)；(3)四點(diǎn)取在棱柱的對(duì)角面上有5C=30個(gè)；(4)四點(diǎn)取在以過(guò)一個(gè)底面中的一