一個(gè)函數(shù)問(wèn)題的研究

學(xué)好數(shù)學(xué)，我們同行1.

一個(gè)函數(shù)問(wèn)題的研究2.問(wèn)題的提出如圖，在軌道交通線(xiàn)MN的兩側(cè)有四個(gè)居民小區(qū)A1、B1、C1、D1通過(guò)街道與軌道線(xiàn)相連，各路口分別是A、B、C、D，為方便小區(qū)居民出行，現(xiàn)要在軌道線(xiàn)上建一交通站，使居民到交通站所走的路程總和最小。請(qǐng)問(wèn)，交通站應(yīng)建在〔)(A)A、B之間任何一處(含端點(diǎn))(B)B、C之間任何一處(含端點(diǎn))(C)C、D之間任何一處(含端點(diǎn))(D)A、D之間任何一處(含端點(diǎn))MD1A1NB1BC1ADC3.問(wèn)題的解決〔初步研究〕(1)請(qǐng)將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)學(xué)命題的形式;(2)問(wèn)題的解決的一個(gè)策略:

從問(wèn)題的一些特殊情形入手進(jìn)行研究問(wèn):x為何值時(shí),函數(shù)取得最小值?4.問(wèn)題本質(zhì)的研究〔3〕問(wèn)題的一般化如果路口增加為A、B、C、D、E、F、G……后，請(qǐng)寫(xiě)出與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)命題。〔4〕問(wèn)題的(本質(zhì))研究5.證明：將函數(shù)化歸為分段函數(shù)得

假設(shè)n為偶數(shù)，

同理，假設(shè)n為奇數(shù)，當(dāng)6.問(wèn)題的本質(zhì)設(shè)x1、x2、．．．、xn為實(shí)數(shù)，且x1<x2<．．．<xn，求函數(shù)f(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|的最小值。結(jié)論：

n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f(x)取得最小值。n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f(x)取最小值。7.問(wèn)題的拓展研究〔5〕改變系數(shù)〔條件〕，進(jìn)一步研究。求以下函數(shù)的最大值和最小值。f(x)=|x+2|+|x+1|-|x-1|g(x)=|x+1|-4|x-1|+2|x-2|h(x)=|x+2|-3|x-1|+2|x-2|

8.〔6〕結(jié)合〔1〕—〔5〕的研究，請(qǐng)概括出一個(gè)更一般的命題并加以研究。設(shè)a1、a2、．．．、an為實(shí)數(shù)，x1、x2、．．.、xn為實(shí)數(shù)且x1<x2<．．.<xn。求函數(shù)f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+an|x-xn|的最大值或最小值。問(wèn)題的拓展研究9.結(jié)論：假設(shè)a1+a2+．．．+an>0,那么f(x)有最小值無(wú)最大值，f(x)min=min{f(x1),f(x2),…,f(xn)}；假設(shè)a1+a2+．．．+an<0,那么f(x)有最大值無(wú)最小值，f(x)max=max{f(x1),f(x2),…,f(xn)}；假設(shè)a1+a2+．．．+an=0,那么f(x)有最小值也有最大值，f(x)min=min{f(x1),f(x2),…,f(xn)}f(x)max=max{f(x1),f(x2),…,f(xn)},問(wèn)題的拓展研究10.小結(jié)交流〔1〕研究問(wèn)題的一個(gè)根本策略：“特殊一般〞。〔2〕研究問(wèn)題的一般過(guò)程：?jiǎn)栴}的提出——問(wèn)題的解決——問(wèn)題的本質(zhì)研究——問(wèn)題的推廣研究。〔3〕推廣或提出一個(gè)新問(wèn)題的一般思維流程：原問(wèn)題拓