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文檔簡介
2023-2024學年廣東省肇慶第四中學高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則()A. B. C. D.2.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.3.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.4.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.5.一場考試需要2小時,在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值為()A. B.C. D.7.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.328.已知等比數(shù)列的前項和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.9.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.10.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.11.在中,為上異于,的任一點,為的中點,若,則等于()A. B. C. D.12.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點,過的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過個,則該外商不同的投資方案有____種.14.若向量滿足,則實數(shù)的取值范圍是____________.15.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.16.已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點.(1)求的長;(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,設(shè)點的極坐標為,求點到線段中點的距離.18.(12分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,證明:19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿足不等式,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-,0)、F2(,0).點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.(1)求橢圓C的方程;(2)已知點N的坐標為(3,2),點P的坐標為(m,n)(m≠3).過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點,設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.21.(12分)已知數(shù)列滿足對任意都有,其前項和為,且是與的等比中項,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列滿足,,設(shè)數(shù)列的前項和為,求大于的最小的正整數(shù)的值.22.(10分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點在曲線上,點滿足.(1)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求動點的軌跡的極坐標方程;(2)點,分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點,且滿足,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增,當?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減,對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為,所以,所以是減函數(shù),又因為,所以,,所以,,所以A,B兩項均錯;又,所以,所以C錯;對于D,,所以,故選D.【點睛】這個題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進而得到大小關(guān)系.2、C【解析】
設(shè)出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學運算能力.3、C【解析】
利用復數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的運算以及復數(shù)的概念,注意復數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.4、C【解析】
由,,利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,
平行四邊形中,,
,,,
因為,
所以
,
,所以,故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則,屬于中檔題.向量的運算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).5、B【解析】
因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時,轉(zhuǎn)過的角度為,按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,所以經(jīng)過2小時,時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
列出循環(huán)的每一步,進而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖,執(zhí)行循環(huán)前:,,,執(zhí)行第一次循環(huán)時:,,所以:不成立.繼續(xù)進行循環(huán),…,當,時,成立,,由于不成立,執(zhí)行下一次循環(huán),,,成立,,成立,輸出的的值為.故選:B.【點睛】本題考查的知識要點:程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.8、C【解析】
利用先求出,然后計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,當時,,,故當時,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式,只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果,較為基礎(chǔ).9、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】
根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.12、A【解析】
設(shè),取與重合時的情況,計算出以及的值,利用排除法可得出正確選項.【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時的情況.不妨設(shè),延長到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當平面平面時,,,排除B、D選項;因為,,此時,,當平面平面時,,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計算能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】試題分析:每個城市投資1個項目有種,有一個城市投資2個有種,投資方案共種.考點:排列組合.14、【解析】
根據(jù)題意計算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學生的計算能力.15、6【解析】
已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當時,,∴;當時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】由題意可得,該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上,設(shè)長方體的長寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點睛:與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標化為直角坐標,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個交點坐標,由中點坐標公式求得的坐標,再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標方程為,即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為,半徑為1,則由點到直線距離公式可知,所以.(2)點的極坐標為,化為直角坐標可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點坐標為,所以,由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化,點到直線距離公式應(yīng)用,兩點間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點坐標求法,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導函數(shù),由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當時,.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構(gòu)造函數(shù),并求得,由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數(shù)的最小值,由對數(shù)式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數(shù)可求得,則解得所以,定義域為,在單調(diào)遞增,而,∴當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,此時是函數(shù)的極小值點,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當時,,因此要證當時,,只需證明,即令,則,在是單調(diào)遞增,而,∴存在唯一的,使得,當,單調(diào)遞減,當,單調(diào)遞增,因此當時,函數(shù)取得最小值,,,故,從而,即,結(jié)論成立.【點睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù),并根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導數(shù)證明不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,屬于難題.19、(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分類討論解絕對值不等式得到答案.(Ⅱ)討論和兩種情況,得到函數(shù)單調(diào)性,得到只需,代入計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)當時,不等式為,變形為或或,解集為或.(Ⅱ)當時,,由此可知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當時,同樣得到在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,存在滿足不等式,只需,即,解得.【點睛】本題考查了解絕對值不等式,不等式存在性問題,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2)m-n-1=0【解析】試題分析:(1)利用M與短軸端點構(gòu)成等腰直角三角形,可求得b的值,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)出過M的直線l的方程,將l與橢圓C聯(lián)立,得到兩交點坐標關(guān)系,然后將k1+k3表示為直線l斜率的關(guān)系式,化簡后得k1+k3=2,于是可得m,n的關(guān)系式.試題解析:(1)由題意,c=,b=1,所以a=故橢圓C的方程為(2)①當直線l的斜率不存在時,方程為x=1,代入橢圓得,y=±不妨設(shè)A(1,),B(1,-)因為k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的關(guān)系式為=1,即m-n-1=0②當直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)將y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的關(guān)系式為m-n-1=0綜上所述,m,n的關(guān)系式為m-n-1=0.考點:橢圓標準方程,直線與橢圓位置關(guān)系,21、(1)(2)4【解析】
(1)利用判斷是等差數(shù)列,利用求出,利用等比中項建立方程,求出公差可得.(2)利用的通項公式,求出,用錯位相減法求出,最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解:任意都有,數(shù)列是等差數(shù)列,,又是與的等比中項,,設(shè)數(shù)列的公差為,且,則,解得,,;由題意可知,①,②,①﹣②得:,,,由得,,,,滿足條件的最小的正整數(shù)的值為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項的思路(1)在等差數(shù)列中,是最基本的兩個量,一般可設(shè)出和,利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程(組)
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