人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2.2基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

2．2基本不等式本單元主要學(xué)習(xí)基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用.相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ)．基本不等“等圓中，弦長(zhǎng)不大于直徑”等，都是基本不等式的直觀理解.基本不等式的證明或推導(dǎo)方法很多，上面的分析也是基本不等式證明方法的來(lái)源．利用分析法，從數(shù)量關(guān)系的角度，利用不等式的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)基本不等式；從平面幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)探究不等式的幾何解釋?zhuān)粡暮瘮?shù)的角度，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明基本不等式；等等．這些方法也是代數(shù)證明和推導(dǎo)的典型方法.基本不等式是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)的最基本和最簡(jiǎn)單的情形，可以推廣至n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值．基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學(xué)模型思想的一個(gè)范例，借助這個(gè)模型可以求最大值和最小值．同時(shí)，在理解和應(yīng)用基本不等式的過(guò)程中涉及變與不變、變量與常量，以及數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型等思想方法．因此，基本不等式的內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義、幾何解釋和證明方法，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.由于學(xué)生缺少代數(shù)式證明的經(jīng)驗(yàn)，所以基本不等式的證明是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)．基本不等式的幾何解釋也是學(xué)生不容易想到的，需要數(shù)形結(jié)合地去理解，所以這也是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)．在進(jìn)行基本不等式的集合解釋的教學(xué)時(shí)，為了幫助學(xué)生直觀地觀察圖形中幾何元素之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，可以利用信息技術(shù)制作一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，以幫助學(xué)生直觀理解.此外，在利用基本不等式研究最值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)忽視使用條件，不驗(yàn)證等號(hào)是否成立，甚至出現(xiàn)沒(méi)有確認(rèn)和或積為定值就求“最值”等問(wèn)題，這也是學(xué)生思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn)，因此基本不等式的證明和利用基本不等式求最值也是本節(jié)課的難點(diǎn).1.理解基本不等式，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).2.結(jié)合具體實(shí)例，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：基本不等式的形式以及推導(dǎo)過(guò)程.2.邏輯推理：基本不等式的證明.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用基本不等式求最值.4.數(shù)據(jù)分析：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.5.數(shù)學(xué)建模：利用函數(shù)的思想和基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的邏輯推理能力.（一）基本不等式的定義導(dǎo)入語(yǔ)：我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它們?cè)诮鉀Q不等式問(wèn)題時(shí)有著與乘法公式類(lèi)似的作用呢？下面就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題1：在上一節(jié)我們利用完全平方公式得出了一類(lèi)重要不等式，請(qǐng)同學(xué)回憶是什么不等號(hào)成立.2最基本的運(yùn)算，通常我們稱(chēng)此不等式為基本不等式．其中──叫做正數(shù)a，bab叫做a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).ab≤—的定義，同時(shí)在兩個(gè)不等式之間建立聯(lián)系．通過(guò)分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得到基本不等式的代數(shù)解釋?zhuān)醪郊由顚?duì)基本不等式的認(rèn)識(shí).（二）基本不等式的證明問(wèn)題2：上節(jié)課我們看到，證明不等關(guān)系，還可以運(yùn)用不等式性質(zhì)，你能否利用不等式的師生活動(dòng)：學(xué)生可能根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，用作差比較證明上式．肯定并追問(wèn)，是否還有其它證法？由于沒(méi)有已知條件，學(xué)生不知從何入手.追問(wèn)1：你能否尋找一下此不等式成立的充分條件？也就是要證ab≤a+b，只需要明什2么，從而形成證明思路.來(lái)，就能用不等式的性質(zhì)直接推出基本不等式了.師生活動(dòng)：學(xué)生分別回答教科書(shū)第44頁(yè)證明過(guò)程中，由②①,由③②,由④③,由④⑤④的依據(jù).師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答．教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答．教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐它成立的充分條件，所以分析法在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中必須有相應(yīng)的文字說(shuō)明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出“顯然立．教師指出基本不等式的定義要求a，b均為正數(shù).設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)不等式的性質(zhì)，用分析法證明基本不等式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分析法的證明過(guò)程和證明格式，為學(xué)生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.（三）基本不等式的幾何解釋直于AB的弦DE，連接AD，BD．你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)徑長(zhǎng)等于a+b，CD=ab，教師操作課件，也就是基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任2意一條弦”得到解釋?zhuān)?dāng)且僅當(dāng)弦DE過(guò)圓心時(shí)，二者相等.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己尋找基本不等式的幾何解釋是非常困難的，因此這里給出了幾何圖2的大小關(guān)系的規(guī)律，從而獲得基本不等式的幾何解釋.（四）基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用xx0追問(wèn)2：本題中要求最小值的代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)？是否可以利用基本不等式求x+-1的xx--x1x的算術(shù)平均數(shù)的2倍，而后者的幾何平均數(shù)x1x是一個(gè)定值，所以可以利用基本不等式求解．教師展示教科書(shū)第45頁(yè)例1的解答過(guò)程.x立”?x師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答．教師總結(jié)：代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)的和或積的形的和或者積是一個(gè)定值，不等式中的等號(hào)能取到，通俗的說(shuō)，就是“一正、二定、三相等”強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學(xué)生求解代數(shù)式的最值問(wèn)題提供示范．同時(shí)，在本題之后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)能應(yīng)用基本不等式求最值的代數(shù)式滿足的條件.（1）如果積xy等于定值P那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2P；師生活動(dòng)：師生一起分析后，由學(xué)生思考并書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程后展示，師生共同補(bǔ)充完善.值時(shí)，求它們的和的最小值或者“兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的積的最大值”的問(wèn)題，能夠用基本不等式解決.時(shí)借此題的題干指出用基本不等式能夠解決的兩類(lèi)問(wèn)題，為用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)造了條件.（五）利用不等式解決生活問(wèn)題導(dǎo)入語(yǔ)：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的最值問(wèn)題，也就是最優(yōu)化的問(wèn)題，特別能體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．基本不等式是求最值的工具，特別是對(duì)求代數(shù)式的最值問(wèn)題有重要的意義.例3:（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積追問(wèn)1：前面我們總結(jié)了能用基本不等式解決的兩類(lèi)最值問(wèn)題，本例的兩個(gè)問(wèn)題分別屬于多大時(shí)周長(zhǎng)最短，實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值的問(wèn)題：第（2）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)面積最大，實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的和為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的積有最大值的問(wèn)題.追問(wèn)2：例2給出了用基本不等式解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：4化為數(shù)學(xué)模型（2）求解.學(xué)生進(jìn)一步回答解答過(guò)程，教師予以規(guī)范，并板書(shū).設(shè)計(jì)意圖：本例是典型而較簡(jiǎn)單的能夠用基本不等式求解的問(wèn)題．通過(guò)本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何用基本不等式模型理解和識(shí)別實(shí)際問(wèn)題，從而用基本不等式解決問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想.例4：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池（1）水池的總造價(jià)由什么來(lái)確定？（答案：由池底的邊長(zhǎng)確定）（2）如何求水池的總造價(jià)？（答案：設(shè)貯水池池底相鄰兩條邊的邊長(zhǎng)分別為xm（3）此問(wèn)題可以用基本不等式的數(shù)學(xué)模型求解嗎？為什么？(答案：本例實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值，以及最小值是多少，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（1）解決．)學(xué)生回答解答過(guò)程，教師板書(shū).設(shè)計(jì)意圖：本題的背景更加復(fù)雜，需引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題，再用基本不等式模型求解．本例在例3的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)模型素養(yǎng).（六）歸納小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元的內(nèi)容，并回答下面的問(wèn)題：（2）