正態(tài)分布曲線公開課

8.3正態(tài)分布曲線莆田二中高二1班上節(jié)回顧：

1．方差的概念與數(shù)學(xué)意義：

如果，其概率，那么，

2．隨機(jī)變量ξ的方差性質(zhì)：

3.若ξ~B(n,p)，則這里4.超幾何分布的方差一、引入

正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述。復(fù)習(xí)200個(gè)產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535

產(chǎn)品尺寸（mm)頻率組距復(fù)習(xí)樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖頻率組距產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線復(fù)習(xí)產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線導(dǎo)入如數(shù)據(jù)測(cè)量的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：1、正態(tài)曲線的定義：函數(shù)式中的實(shí)數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，稱f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線一測(cè)量1cm圓的周長為例p78cdab平均數(shù)XYX落在區(qū)間(a,b]的概率為:二、正態(tài)分布的定義:如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X滿足:

則稱為X的正態(tài)分布.正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定.正態(tài)分布記作N（μ，σ2）.其圖象稱為正態(tài)曲線.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作X~N（μ，σ2）

在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；

在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果；

在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；……；

在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。正態(tài)總體的函數(shù)表示式當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線三、正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對(duì)稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（4）曲線與x軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0

若固定,越大時(shí),曲線越扁平；越小時(shí),曲線越尖陡,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“扁平”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“尖陡”，表示總體的分布越集中.（5）當(dāng)x<μ時(shí),曲線上升;當(dāng)x>μ時(shí),曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí),以x軸為漸近線,向它無限靠近.例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.

D.B

例2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為（1）證明f(x)是偶函數(shù)；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f(x)的增減性。練習(xí)：1、若一個(gè)正態(tài)分布的概率函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)且該函數(shù)的最大值等于，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式。2025301510xy5352、如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差。例3、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。D正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,+

)＝S(-,-X)

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

五、特殊區(qū)間的概率m-am+ax=μ若X~N,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很小（一般不超過5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線求概率考點(diǎn)一在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，正態(tài)密度曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(偶函數(shù))且Φ(a)＋Φ(－a)＝1.例1【思路點(diǎn)撥】

Φ(a)＝P(x＜a)，可利用φ(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱性求面積．(3)Φ(1)＋Φ(－1)＝1，∴Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841＝0.159，P(x＜－1)＝P(x＞1)＝Φ(－1)＝0.159.∴P(－1＜x＜1)＝1－P(x＜－1)－P(x＞1)＝1－2Φ(－1)＝1－2×0.159＝0.682.【思維總結(jié)】

Φ(a)表示概率P(x＜a)，故P(x1＜x＜x2)＝Φ(x2)－Φ(x1)．失誤防范1．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的某范圍的概率，充分利用圖形的對(duì)稱性．2．P(b＜x＜a)表示由直線x＝a，x＝b及φ(x)與x軸圍成的封閉圖形的面積．小結(jié)3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布由μ，σ唯一確定．4．P(x＜a)＝1－P(x＞a)．練習(xí)在本例中，求P(1＜x＜2)．解：Φ(2)＝P(x＜2)≈0.977，Φ(1)＝P(x＜1)≈0.841，∴P(1＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(1)≈0.977－0.841＝0.136.用正態(tài)分布研究實(shí)際問題考點(diǎn)二例2從某地隨機(jī)抽取100名一年級(jí)男大學(xué)生，測(cè)得平均身高為166.2cm，標(biāo)準(zhǔn)差為5.3cm，現(xiàn)欲估計(jì)該地身高界于低于160cm，身高高于180cm，以及身高在165cm~175cm范圍內(nèi)的一年級(jí)男大學(xué)生的比例和人數(shù)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得：Φ（u1）＝Φ（－0.02）＝0.4920Φ（u2）＝Φ（1.66）＝0.04851－[Φ（u2）+Φ（u1）]＝0.4595例3.某班有47名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問從理論上講在80分到90分之間有多少人?例4．公共汽車的門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在１%以下設(shè)計(jì)．如果某地成年男子的身高ζ~N（175,62)(單位：cm),車