人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專題5.5 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專題5.5導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對應(yīng)情況如下表所示.2．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點(diǎn)與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3．函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個(gè).

③函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).4．導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用①利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤最大、效率最高等問題，求解時(shí)需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過檢驗(yàn)得到實(shí)際問題的解.

②解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時(shí)與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達(dá)到最佳效果.

③利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟【題型1利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù)；(4)解不等式f'(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的的交集上為減函數(shù).【例1】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=2x?5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數(shù)y=12xA．?1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數(shù)f(x)=(x?3)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(?∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【變式1-3】（2022·云南·模擬預(yù)測（理））設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+(a?1)x2?(a+2)x，且A．(0,2) B．(?3,3)【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常涉及的兩種題型：(1)已知含參函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法一：將問題轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區(qū)間A，利用I與A的關(guān)系求解.(2)已知函數(shù)y=f(x)在含參區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江蘇·高二期末）設(shè)函數(shù)fx=12ax2A．?1，+C．0，+【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=1?xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．?∞,0 C．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=x2?ax+lnxA．3,+∞ B．?∞,3 C．【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數(shù)fx=x3+x2A．?∞,?13 B．?【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【方法點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行，重點(diǎn)考慮兩個(gè)問題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi).如果不在定義域內(nèi)，需要舍去；二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號，若異號，則該點(diǎn)是極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn).【例3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=xA．?43 B．1 C．?【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）若x=?4是函數(shù)fx=x2+ax?5A．-3 B．7e?5 C．【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xA．當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極小值1 B．當(dāng)x=?1時(shí)，fC．當(dāng)x=3時(shí)，fx取得極大值33 D．當(dāng)x=?13時(shí)，【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））記函數(shù)fx=sinx+cosxexx≥0的極大值從大到小依次為x1、x2A．e3π B．e4π C．e【題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【方法點(diǎn)撥】設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數(shù)y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．4【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=a?3x?ax3在?1,1上的最小值為A．?∞,?1 B．12,+∞ C．【變式4-3】（2022·廣東·高二開學(xué)考試）若函數(shù)f(x)=lnx+1?ax?2,x>0x+1x+a,x<0A．(?∞,C．1e,+【題型5導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)（方程根）問題】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.【例5】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=lnx?ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e【變式5-1】（2022·四川·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)f(x)=1+ex(alnx?xa+x)（其中A．(?∞,?e2) B．【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數(shù)f(x)=kex?x2A．0,6e3 B．?2e【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx=f'x，且f0A．?∞,C．0,1e【題型6利用導(dǎo)數(shù)解（證明）不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．【例6】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=x?a(1)若a=?1，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a∈?1e【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)證明：fx【變式6-2】（2022·北京高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a≥1時(shí)，討論函數(shù)fx(3)當(dāng)a≥2時(shí)，證明：fx【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設(shè)函數(shù)fx=ln(1)若b=1，求函數(shù)fx(2)證明：當(dāng)0<b≤1時(shí)，fx【題型7導(dǎo)數(shù)中的恒成立（存在性）問題】【方法點(diǎn)撥】解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=?1，證明：f(x)≥xe(2)若fx>0對任意的x∈0,+【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)若f(x)在R上是單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1(1)a=3時(shí)，y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)對任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函數(shù)f(x)(2)若對?x1,x2【題型8導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題時(shí)，首先要根據(jù)實(shí)際情況建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，進(jìn)而解決問題.【例8】用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2:1【變式8-1】（2022·山東泰安·高二期中）如圖，一個(gè)面積為6400平方厘米的矩形紙板ABCD，在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB,AD的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.（1）當(dāng)a=80，求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）試確定a,b,x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為12k元／根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為(512x所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造