2023年高二數(shù)學(xué)等差數(shù)列及前n項(xiàng)和題型歸納（學(xué)生）

等差數(shù)列及前n項(xiàng)和題型歸納題型一：等差數(shù)列及前n項(xiàng)和基本量運(yùn)算（五個(gè)量知三求其二）知識儲備：1.等差通項(xiàng)公式：，2.前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；方向1：等差通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算例題1：等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于變式一：在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，則2a9－a10＝________.變式二：等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．－8方向2：等差數(shù)列及前n項(xiàng)和基本量綜合運(yùn)算例題2：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4a3，a7＝－2，則a9等于()A．－6B．－4C．－2D．2變式二：記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1變式三：中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰：“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數(shù)皆終，萬物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”．某老年公寓住有19位老人，他們的年齡（都為正整數(shù)）依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為一遂，則最年長者的年齡為（）A．71 B．72 C．89 D．90變式四：米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米 B．米 C．米 D．米題型二：等差數(shù)列的判定與證明知識儲備：1，定義法：(n≥1，n∈N*)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)．①當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；2，等差中項(xiàng)法：3，通項(xiàng)公式法：(n≥1，n∈N*)方向1：定義(n≥1，n∈N*)的應(yīng)用例1：在數(shù)列中，，，則的值為__________.方向2：等差中項(xiàng)法：的應(yīng)用例2：在數(shù)列中，，，，求方向3：通項(xiàng)公式法：(n≥1，n∈N*)的應(yīng)用例3：數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（1）求證：是等差數(shù)列，并求出其公差；（2）判斷、是否是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？變式一：已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.若，則數(shù)列是（）.A．以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列B．以6為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列C．以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列D．以6為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列變式二：已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項(xiàng)變式三：設(shè)數(shù)列滿足當(dāng)n＞1時(shí)，an＝，且a1＝.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)a1a2是否是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．變式四：已知數(shù)列，滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.【拓展1】(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)試證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【拓展2】．(變條件)將例題中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”試判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列．變式五：已知數(shù)列滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．變式六：設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列？并求其前n項(xiàng)和.題型三：等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用知識儲備：1.等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且（1）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.（2）設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列，是等差數(shù)列2.數(shù)列是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.3.若是等差數(shù)列，，…也成等差數(shù)列.4.數(shù)列是等差數(shù)列,則S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)(A，B為常數(shù))且常數(shù)項(xiàng)為0．在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q,2)時(shí)，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)時(shí)，Sn最大．方向1.設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列，是等差數(shù)列.例1：設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，，則等于（）A．0 B．37 C．100 D．方向2：①當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有例2：等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于變式1：已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則S11＝。變式2．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；方向3：數(shù)列是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.例3：在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，a1＝－9，eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，則S10＝________.變式一：已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.變式二：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15＝________.變式三：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．12 B．18 C．21 D．27變式四：在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.變式五：設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.方向4：若是等差數(shù)列，，…也成等差數(shù)列.例4．已知表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，那么等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,3)[變式一：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n.若，，則＝________.變式二：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．12 B．18 C．21 D．27變式三：在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.方向5：.數(shù)列是等差數(shù)列,則S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．例5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且，則()A．2B．3C．4D．5變式一：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則等于()A．10 B．12 C．15 D．30變式二：已知數(shù)列為等差數(shù)列且，則其前9項(xiàng)和=___________.變式三：設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則=__________.變式四：（多選題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（）A． B．C． D．變式五：在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為.若，是方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A．44 B． C．66 D．變式六：等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－1,2n＋3)，則eq\f(a10,b10)＝________.變式七：設(shè)和都是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為和，若，，則（）A． B． C． D．變式八：等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A． B． C． D．變式九：已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，且，則________．題型四：等差數(shù)列的單調(diào)性及前n項(xiàng)和的最值問題知識儲備：1.等差數(shù)列的通向公式與函數(shù)的關(guān)系()可看做是關(guān)于的一次型函數(shù)，設(shè)．當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)(A，B為常數(shù))且常數(shù)項(xiàng)為0．在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q,2)時(shí)，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)時(shí)，Sn最大．方向一：等差數(shù)列的單調(diào)性.例1：等差數(shù)列中，，若從第項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則公差的取值范圍是__________．變式一：（多選題）設(shè)d為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．變式二：首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列滿足下列兩個(gè)條件：①；②滿足的的最小值是15.試求公差和首項(xiàng)的值.變式三：已知等差數(shù)列，首項(xiàng).從第10項(xiàng)起開始大于1，那么公差d的取值范圍是__________.方向2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題例1：已知等差數(shù)列是無窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A．無最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值C．有最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值變式一：（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A． B．最大 C． D．變式二：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)______時(shí)，最大.變式三：.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n變式四：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，則S9的取值范圍是__________。變式五：在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為________．鞏固練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A.5B.6 C.7 2．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．2017B．2018C．4034 D．40353．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)在直線上，若有且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C． D．4.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝_