圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 回顧與思考

第三章

圖形的平移與旋轉(zhuǎn)正泰初中部李曉紅回顧與思考本章知識結(jié)構(gòu)圖一、平移及其性質(zhì)2、平移的性質(zhì)：（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）圖形經(jīng)過平移，連接各組對應(yīng)點所得的線段互相平行且相等。（3）對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等。

1、平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移。3、平移圖形的實例：ABCDEFGHKLMN1、設(shè)（x，y）是原圖形上的一點，經(jīng)過平移后，這個點與其對應(yīng)點的坐標(biāo)之間有如下關(guān)系：4、圖形的平移與坐標(biāo)變化之間的關(guān)系2、設(shè)（x，y）是原圖形上的一點，當(dāng)它沿x軸方向平移a個單位長度（a＞0）、沿y軸方向平移b個單位長度（b＞0）后，這個點與其對應(yīng)點的坐標(biāo)之間有如下關(guān)系：二、旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)1．旋轉(zhuǎn)的概念：（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等（對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等)；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所夾的角都是旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角相等；（4）圖形上的所有點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿同一個方向旋轉(zhuǎn)相同的角度。O︵F︵ABCDE把一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：3、旋轉(zhuǎn)圖形的實例：O︵F︵ABCDEABCDE△ADE是由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的，問：（1）對應(yīng)關(guān)系（2）旋轉(zhuǎn)中心（3）旋轉(zhuǎn)角度OABCD△AOC繞O點旋轉(zhuǎn)到△BOD，∠AOB=30o，則∠COD多少度？30oABCDE等腰△ABC旋轉(zhuǎn)到△ADE，∠B=80o，∠CAD=30o,求旋轉(zhuǎn)角度?！螧AD或∠CAE都等于50oAO點的旋轉(zhuǎn)作法9將A點繞O點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60?.作法：

1.以點O為圓心，OA長為半徑畫圓;2.連接OA,用量角器或三角板（限特殊角）作出∠AOB，與圓周交于B點；3.B點即為所求作.BAO線段的旋轉(zhuǎn)作法10將線段AB繞O點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60?.作法：將點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60?，得點C;2.將點B繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60?，得點D；3.連接CD,則線段CD即為所求作.CBD11

如圖3—17，△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)后，頂點A

的對應(yīng)點為點D。ABCD試確定頂點B的對應(yīng)位置，以及旋轉(zhuǎn)后的三角形。解：（1）連接CD；

（2）以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD；E

（3）在射線CE上截取CE=CB；

（4）連接DE?！鱀EC就是△ABC繞O點旋轉(zhuǎn)后的圖形。三、軸對稱及其性質(zhì)：

1．軸對稱的概念：如果兩個平面圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱。

2．軸對稱的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等（對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等）；（2）對應(yīng)點到對稱軸的距離相等；（3）對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。ABCDEF3.軸對稱的圖形實例CBAB1C1A1NM四、中心對稱及其性質(zhì)：

1．中心對稱的概念：如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做它們的對稱中心。

2．中心對稱的性質(zhì)：（1）成中心對稱的兩個圖形全等；（2）中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分；（3）對應(yīng)線段平行且相等。ABCC1A1B1O軸對稱中心對稱1有一條對稱軸

——

直線有一個對稱中心

——

點2圖形沿軸對折（翻轉(zhuǎn)

180°

）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)

180°3翻轉(zhuǎn)后和另一個圖形重合旋轉(zhuǎn)后和另一個圖形重合ABCC1A1B1O

中心對稱與軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別五、中心對稱圖形：

1．中心對稱圖形的概念：如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與它自身重合，那么稱這個圖形是中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。2．常見的中心對稱圖形有：正偶數(shù)邊形，平行四邊形，菱形，圓、線段、長方形（矩形）注意：等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、角是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形。中心對稱與中心對稱圖形的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別:

中心對稱指兩個全等圖形的相互位置關(guān)系,中心對稱圖形指一個圖形本身成中心對稱.聯(lián)系:

如果將中心對稱圖形的兩個圖形看成一個整體,則它們是中心對稱圖形.

如果將中心對稱圖形對稱的部分看成兩個圖形,則它們成中心對稱.變換名稱描述變換的要素位置方向大小形狀相關(guān)性質(zhì)及作圖方法軸對稱(反射)平移旋轉(zhuǎn)中心對稱對稱中心改變不變不變對稱軸平移方向,距離旋轉(zhuǎn)中心,方向,角度改變不變改變軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的區(qū)別及聯(lián)系:改變下列圖形中，不能通過旋轉(zhuǎn)方式得到的是()

(A)

(B)

(C)

(D)

一個圖形繞著某一定點旋轉(zhuǎn)一定的角度(小于周角)后能與自身重合,這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形。六、旋轉(zhuǎn)對稱圖形DABCDEF

例1、如圖,ΔDEF是由△ABC繞某一中心旋轉(zhuǎn)一定的角度得到,請你找出它們的旋轉(zhuǎn)中心..O旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線的垂直平分線上。七、找旋轉(zhuǎn)中心.

例2、如圖,ΔDEF和△ABC成中心對稱,請你找出它們的對稱中心.成中心對稱的兩圖形的對稱中心就是對應(yīng)點連線的交點找對稱中心.ABCC1A1B1O八、分析圖案的形成過程：

如圖:1.是由

為基本圖案,2.繞

,旋轉(zhuǎn)

次得到.3.旋轉(zhuǎn)角分別是:

。4.這個圖案至少繞中心點旋轉(zhuǎn)

度，才能與原圖案重合。中心二次1200

、24001200

2.右側(cè)的圖案是如何形成的？O甲乙AB3.怎樣將乙圖案變成甲圖案？E

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距離為3，求△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積。ACA′B′C′B平移的應(yīng)用:練習(xí)1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距離為1.5，C′P=2,求圖中陰影部分的面積。ACA′B′C′BP拓展2：先將兩個同樣大小的直角梯形重疊在一起,再將其中一個直角梯形沿AD方向平移,平移的距離為AE的長,若圖中MG=8,CM=5,GH=20,求圖中紅色部分的面積。ACMHBGDFEM分析:因為梯形EFGH是由梯形ABCD沿AE平移得到,所以這兩個圖形是形狀大小完全相同的,紅色部分的面積和圖中哪個圖形的面積相同呢?例2.P是正方形內(nèi)一點，將△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)至與△CBP′重合，若PB=3，求PP′的長。ABCDPP′解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BP=BP′，∠PBPˊ=∠ABC=90°∴△PBP′是等腰直角三角形?！郟P′=一題一練△ABC是等邊三角形，把△ABC繞點C順時針任意旋轉(zhuǎn)一個角度得到△A′B′C，則AA′與BB′之間有什么關(guān)系，你能說明理由嗎？ABCA′B′畫一畫（1）畫一畫（2）12、已知四邊形ABCD和點O,畫四邊形A`B`C`D`使它與已知四邊形關(guān)于點O對稱。ABCDOA'B'C'D'畫法：1、連結(jié)AO并延長到A`，使OA`=OA，得到點A的對稱點A'2、同樣畫B、C、D的對稱點B`、C`、D`3、順次連結(jié)A`、B`、C`、D`各點。四邊形A`B`C`D`就是所求的四邊形。你能將右圖通過平移或旋轉(zhuǎn)，得到左圖嗎？想一想說一說練習(xí)1怎樣將甲圖案變成乙圖案？甲甲乙乙ABBA可以先將甲圖案繞圖上的A點旋轉(zhuǎn)，使得圖案被“扶直”，然后，再沿AB方向?qū)⑺脠D案平移到B點位置，即可得到乙圖案

還可以用什么方法把甲圖案變成乙圖案？說一說練習(xí)2

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到其他三部分嗎?能經(jīng)過平移嗎?能經(jīng)過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?平移:平移的方向?平移的距離?僅靠平移無法得到議一議旋轉(zhuǎn):旋轉(zhuǎn)中心?旋轉(zhuǎn)角?旋轉(zhuǎn)方向?O

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到其他三部分嗎?能經(jīng)過平移嗎?能經(jīng)過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議

整個圖形可以看作是左邊的兩個小“十字”繞著圖案的中心旋轉(zhuǎn)3次，分別旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°前后圖形組成的。平移、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合:先平移后旋轉(zhuǎn)

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到其他三部分嗎?能經(jīng)過平移嗎?能經(jīng)過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議O

整個圖形可以看作是左邊的兩個小“十字”先通過一次平移成圖形右側(cè)的部分，然后左、右部分一起繞圖形的中心旋轉(zhuǎn)90°前后圖形組成的。軸對稱:

下圖由四部分組成,每部分都包括兩個小”十”字,紅色部分能經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到其他三部分嗎?能經(jīng)過平移嗎?能經(jīng)過軸對稱嗎?還有其他方式嗎?議一議

直線EF與GH相交于圖形的中心O，且互相垂直，先把左邊的兩個“十字”作關(guān)于EF的軸對稱圖形，然后作這兩部分關(guān)于GH的軸對稱圖形，這樣就可以得到整個圖形。EFGHO對稱軸?

如圖，怎樣將右邊的圖案變成左邊的圖案？說一說練習(xí)3答：以右邊圖案的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將圖案按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，然后平移，即可得到左邊的圖案。練一練——平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的運用練一練——平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的運用旋轉(zhuǎn)的特征ABCDE（一）圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度MN如圖，△ABC繞A點旋轉(zhuǎn)60o到達(dá)△ADE的位置。B點繞A點旋轉(zhuǎn)到D點，旋轉(zhuǎn)了60o，∠BAD=60oC點繞A點旋轉(zhuǎn)到E點，旋轉(zhuǎn)了60o，∠CAE=60oM點繞A點旋轉(zhuǎn)到N點，旋轉(zhuǎn)了60o，∠MAN=60o四邊形ABCD是正方形，△DCE順時針旋轉(zhuǎn)后與△DAF重合，那么（2）連結(jié)EF后，△DEF是什么三角形？（1）旋轉(zhuǎn)角是幾度？（3）若DC＝3，CE＝1，則EF＝？

△ABC是等邊三角形，△ABP順時針旋轉(zhuǎn)后能與△CBP’重合，那么（1）旋轉(zhuǎn)角是幾度？（2）若BP＝2，則PP’＝？在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連結(jié)BE，將△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)900得到△DCF，連結(jié)EF，若∠BEC=600，則∠EFD的度數(shù)為（）A、100B、150C、200D、250B如圖，點E為正方形ABCD的邊CD上一點，AB=5，DE=6?！鱀AE旋轉(zhuǎn)后能與△DCF重合，（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？（2）旋轉(zhuǎn)了多少度？（3）如果連接EF，那么△DEF是怎樣的三角形？（4）四邊形DEBF的周長和面積？例7．如圖，如果四邊形CDEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有幾個?可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有3個，即D、O、C.1.以下四家銀行行標(biāo)中，軸對稱圖形的有

（

）

A.B.C.D.旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有()當(dāng)一個圖形在平面內(nèi)繞著某一定點旋轉(zhuǎn)一定的角度(小于周角)后能與自身重合,這種圖形就稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形.旋轉(zhuǎn)對稱圖形AA,C,D例2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以點C為中心旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，使B在斜邊A′B′上，A′C與AB相交于D，試確定∠BDC的度數(shù)．解：∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)所得，∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC，∴△B′BC是等邊三角形．∴∠BCB′＝60°.∵∠BCD＝90°-60°＝30°，∴∠BDC＝180°-(60°＋30°)＝180°-90°＝90°．2、想一想(1)三角形是中心對稱圖形嗎？(2)正五邊形是中心對稱圖形嗎？(3)正六邊形是中心對稱圖形嗎？(4)除了平行四邊形，你還能找到哪些多邊形是中心對稱圖形？結(jié)論：中心對稱的多邊形很多，如邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形。①②③④3、選出下列圖形中的中心對稱圖形()A①②B①③C②③D③④B4.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）(A)(B)(C)(D)D5、下列圖形中，不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形的是（）（A）等邊三角形（B）菱形（C）長方形（D）平行四邊形D7、圖形旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合,則旋轉(zhuǎn)的角度可能是()A、30°B、60°C、90°D、120°C8、△ABC與△A＇B＇C＇關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是()A、點A與點A’是對稱點B、

BO=B＇OC、AB∥A’B’

D、∠ACB=∠C＇A＇B＇B'C'A'ABCOD點P（x,y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為______.點P（x,y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為______.(x,－y)(－x,y)點P（x,y）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為______.十二(－x,-y)例9．邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標(biāo)原點O,AB∥x軸,BC∥y軸,反比例函數(shù)與的圖象均與正方形ABCD的邊相交,則圖中的陰影部分的面積是()

A、2B、4C、8D、6答案：C旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用：例10．已知E、F分別在正方形ABCD邊AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周長.解：∵ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=1.將△ADE繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△DCM的位置.由旋轉(zhuǎn)的特征可知AE=CM，DE=DM，∠ADE=∠CDM．∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°．∴△DEF與△DMF關(guān)于DF成軸對稱，∴EF=FM．△BEF的周長=BE+EF+BF=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，所以△BEF的周長為2．

⑴如圖,畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900后的對應(yīng)三角形;例題3D'B'DABCC'ABC⑵如果點D是AC的中點,那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后,點D旋轉(zhuǎn)到什么位置?請在圖中將點D的對應(yīng)點D′表示出來.（3）.如果AD=1cm,那么點D旋轉(zhuǎn)過的路徑是多少?5.已知△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，求直線BC與直線DE所成的銳角。13.在等腰直角△ABC中，∠C=900，BC=2cm，如果以AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個三角形旋轉(zhuǎn)1800，點B落在點B′處，

求:BB′的長度.A/B/C/14.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC為邊向形外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數(shù)與AD的長.

15:已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，∠C=60°，若∠EAB=60°，∠DAE=28°．求∠EBC的度數(shù)、16:已知點P是等邊三角形ABC外一點，AP=2，BP=3，求PC的最大值．8.如圖，等邊△ABC中，在AC邊的延長線上取一點E，以CE為邊作等邊△CDE，它與△ABC位于直線AE的同側(cè)，點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點，試說明CM＝CN＝MN。

9.在△ABC中，AB＝AC，

P是△ABC內(nèi)一點，且∠APB＝∠APC，求證：PC＝PB3．在方格紙上建立如圖23－13所示的平面直角坐標(biāo)系，將△ABO繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△A′B′O，求點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)．圖23－13解：如圖23－14所示，以O(shè)A為始邊，O為頂點，作∠AOD＝90°，圖23－14在OD上截取OA′＝OA，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過點A′作A′C′⊥x軸，垂足為C′，由點A的坐標(biāo)可知AC＝2，OC＝3，又∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠AOC＝∠OA′C′，∴△AOC≌△OA′C′，∴A′C′＝OC＝3，OC′＝AC＝2.故點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為(2,3)．軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是幾何中的重要概念，應(yīng)用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)解題也是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想方法，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，將那些分散、遠(yuǎn)離的條件從圖形的某一部分轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)男碌奈恢蒙希?、匯集已知條件和求證結(jié)論，發(fā)現(xiàn)、拓展解題思路，構(gòu)造基礎(chǔ)三角形、平行四邊形，進(jìn)行計算與證明。方法小結(jié)拓展提升訓(xùn)練：※巧用變換思想，靈活求解面積1.如圖所示的圖案是一個軸對稱圖形(不考慮顏色)，直線m是它的一條對稱軸.已知圖中圓的半徑為r,求你能借助軸對稱的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。m解：以直線m為對稱軸，把m左邊綠色部分反射到m的右邊，那么它們的像恰好填補了右邊的白色部分，所以圖中的綠色部分面積等于半個圓的面積，也就是m2、如圖所示，AB是長為4的線段，且CD⊥AB于O。你能借助旋轉(zhuǎn)的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。OABCD試一試3.如圖所示，AB是長為4的線段，且CD⊥AB于O。你能借助旋轉(zhuǎn)的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法。OABCD4.如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC為邊向外作等邊三角形△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數(shù)與AD的長.

圖1圖2圖35.如圖3，兩個相同的正方形紙片ABCD和EFGH，將紙片EF