電路第八章：相量法

第八章相量法內(nèi)容提要

相量法是線性電路正弦穩(wěn)態(tài)分析的一種簡(jiǎn)便而又有效的方法。主要內(nèi)容有：復(fù)數(shù)，正弦量，相量法的基礎(chǔ)，電路定律的相量形式。目錄§8—2正弦量§8—3相量法的基礎(chǔ)§8—4電路定律的相量形式交流電的概念：+–RCuSicuciLuLiL若：uS=常數(shù)tuSU則：為直流電路。I=UR電容為斷路，電感為短路。若：uS=函數(shù)tuStuStuS則為交流電路。電感、電容不能再看成短路和斷路。ic=CducdtuL=LdiLdt正弦交流電路§8—2正弦量tuT

Umu=Umcos(ωt+

)

正弦量的三要素：Um——最大值ω——角頻率ω=2πf=2πT(ωt+)是一個(gè)角度，同時(shí)又是表示正弦交流電變化進(jìn)程的量，稱為相位（相角），

——初相。

——初始位置（初相）一、相位差tuu1u2u1=Um1cos(ωt+

1)u2=Um2cos(ωt+

2)相位差：φ=(ωt+

1)–(ωt+

2)=

1–2相位差=初相差

注意：相位差一般是指同頻率的正弦。1、φ>0；即

1>2，則u1超前u2φ角。tuu1u2φ2、φ<0；即

1<2，則u1滯后u2φ角。tuu1u2φu=u1+u2=Um1cos(ωt+

1)+Um2cos(ωt+

2)=Umcos(ωt+

)Um=Um1+Um2×

1+2tuu1u23、φ=0；即

1=2，則u1與u2同相。Um=Um1+Um2=

1=24、φ=π；即

1=2π

，則u1與u2反相。tuu1u2Um=Um1–Um2=

1=2π

二、有效值同一電阻R，同一時(shí)間TRRiI交流電流流過(guò)R耗能：W交=

0

pdt=

0

i2RdtTT直流電流流過(guò)R耗能：W直=I2RT若：W交=W直，則：I為i的有效值。即：=I2RT

0

i2RdtTT1

0

TI=i2dt將i=Imcos(ωt+ψ)代入T1

0

TI=[Imcos(ωt+ψ)]2dttuImtu0.707Imi=Icos(ωt+ψi)2I=Im2=0.707Imu=Ucos(ωt+

u)2§8—3相量法的基礎(chǔ)一、為什么要引出相量的概念：ii1i2i1=Im1cos(ωt+

1)i2=Im2cos(ωt+

2)i=i1+i2=Im1cos(ωt+

1)+Im2cos(ωt+

2)=Imcos(ωt+

)Im=?

=?

可見(jiàn)：要分析正弦交流電路，首先要解決正弦量之間的計(jì)算問(wèn)題。找到一種數(shù)學(xué)的方法來(lái)簡(jiǎn)化這種計(jì)算。相量法是分析正弦電流電路的一種有效的工具。復(fù)數(shù)+1jAa1a2aφa=a1+ja2=acosφ+jasinφ直角坐標(biāo)形式=aejφ極坐標(biāo)形式=aφ

指數(shù)形式復(fù)數(shù)的運(yùn)算A=aφ1B=bφ2若：則：AB=(acosφ1

bcosφ2)+j(asinφ1bcosφ2)A·B=abej(φ

+φ)=ab12φ1+φ2AB=ej(φ–φ)=ab12abφ1–φ2

可見(jiàn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算即為代數(shù)運(yùn)算。復(fù)數(shù)做加、減運(yùn)算時(shí)采用直角坐標(biāo)形式，乘、除運(yùn)算時(shí)采用極坐標(biāo)形式。二、正弦量與相量之間的關(guān)系A(chǔ)=Icos(ωt+φ)+jIsin(ωt+φ)=Iejφejωt222

旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)+1jAφI2ωtωt

正弦電流i=Icos(ωt+φ)2ωti

可見(jiàn)：一個(gè)正弦量在任何時(shí)刻的瞬時(shí)值等于對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)同一時(shí)刻在實(shí)軸上的投影。相量——用來(lái)表示正弦電壓、正弦電流的復(fù)數(shù)。i=Re[

Iej(ωt+ψ)]=Re[

Iejψejωt]22令：=Imejψ=Im

ψIm或：=Iejψ=IψI將(或)定義為電流i(或電壓u)的相量，它含有正弦量的振幅和相位的信息。IU

注意：有一個(gè)正弦量便可以得到一個(gè)相量；有一個(gè)相量也可以寫出對(duì)應(yīng)的正弦量。兩者是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，決不是相等的關(guān)系。u=220cos(314t+45o)V2=220V45oUI=50A–30oi=50cos(ωt–30o

)A2u

Ui

I一一對(duì)應(yīng)用相量法進(jìn)行正弦量的計(jì)算：例：i1=30cos(314t+42o

)A2i2=45cos(314t–65o)A2求：i=i1+i2解：直接用正弦量計(jì)算不方便，所以用相量法，即先對(duì)相量計(jì)算。I1=30=22.3+j20(A)42oI2=45=19–j40.8(A)–65oI=+=22.3+19+j20–j40.8=41.3–j20.8=46.2AI1I2–27o∴

i=46.2cos(314t–27o)A2+1jI1I2I相量圖注意：i—瞬時(shí)值I—有效值Im—最大值—有效值相量IIm—最大值相量在分析正弦交流電路時(shí)字母的寫法：三、不同頻率的正弦量不能用相量法運(yùn)算。

相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相位的信息，不包含頻率的信息，即：在運(yùn)用相量法分析正弦量時(shí)，默認(rèn)為同頻率?！?—4電路定律的相量形式一、R、L、C元件電壓電流關(guān)系的相量形式1、電阻u

iRi=Icos(ωt+ψi)2若：則：u=iR=IRcos(ωt+ψi)22=Ucos(ωt+

u)2比較u、i的表達(dá)式：①u、i

同頻率②u、i

同相位③有效值關(guān)系：U=IR④相量關(guān)系：U=IIψi=IRUψu(yù)I=R=IRUIΨi+0o相量關(guān)系既反映了u、i的有效值關(guān)系又反映了相位的關(guān)系。RIU相量形式電路圖相量圖2、電感Luii=Icos(ωt+ψi)2若：UIu=L=–IωLsin(ωt+ψi)didt22則：=IωLsin(ωt+ψi+90o)22=Ucos(ωt+

u)2比較u、i的表達(dá)式：①u、i

同頻率②

u=ψi+90o電感上電壓相位超前電流相位90o。③有效值關(guān)系：U=IωLUI=ωL=XL感抗感抗與ω成正比,ω,XL

直流：ω=0,XL=0,電路短路高頻交流：XL,電路斷路④相量關(guān)系：UI=jωL=jXLjωLIU相量形式電路圖相量圖3、電容u=Ucos(ωt+ψu(yù))2若：UIi=C=–UωCsin(ωt+ψu(yù))dudt22則：=UωCsin(ωt+ψu(yù)+90o)22=Icos(ωt+

i)2比較u、i的表達(dá)式：①u、i

同頻率②

i=ψu(yù)+90o電容上電壓相位滯后電流相位90o。③有效值關(guān)系：I=UωC容抗容抗與ω成反比,ω,XC

直流：ω=0,XC

,電路斷路高頻交流：XC=0,電路短路④相量關(guān)系：CuiUI==XCωC1UI==–jXCjωC1IUωC1–j例1：RjωLωC1–j4V10V7VU=？I

解：串聯(lián)電路電流相同，而R、L、C上電壓的相位不同。所以，不能直接用有效值相加。方法一：相量圖法IUR4VULUC10V7V3VU=5VU方法二：相量法I設(shè)：=I0o則：=4VUR0o=7VUC–90o=10VUL90oU=++URULUC=4+j10–j7=4+j3=5

V36.9oU=5V例2：RLCU6A6A10A10AIL=?IL=18A2A二、基爾霍夫定律的相量形式KCL：任意時(shí)刻，任一結(jié)點(diǎn)，=0IKVL：任意時(shí)刻，任一回路，=0U三、受控源的相量形式