有限元法(桿系)

第2章桿系結(jié)構(gòu)有限元法1.有限元法的思路2.一維問題3.二維問題(平面桁架)1.有限元法的思路例：自重作用下的等截面直桿位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力？①材料力學(xué)解答②有限元法解答

桿長L，截面積A，彈性模量E，單位長度重量q材料力學(xué)解答N(x)xuxL-xq(L-x)有限元法解答離散化將直桿劃分成n個(gè)有限段有限段之間通過一個(gè)鉸接點(diǎn)連接稱兩段之間的連接點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)稱每個(gè)有限段為單元第i個(gè)單元的長度為Li，包含第i，i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部位移把外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上建立結(jié)點(diǎn)的力平衡方程3單元情況x單元①：單元②：單元③：平衡方程約束方程aaaaaa②①③1234有限元方法分析的一般步驟d組合單元；a離散，建立有限元模型：節(jié)點(diǎn)和單元；

b單元位移插值；c單元特性分析；

e引入邊界條件，確定載荷；前處理階段:有限元方法分析一般步驟后處理前處理有限元計(jì)算有限元方法分析的一般步驟f分別列各節(jié)點(diǎn)平衡方程，求解線性代數(shù)方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。g由位移進(jìn)一步計(jì)算應(yīng)變和應(yīng)力。計(jì)算階段:后處理階段:2.一維問題(1)拉壓桿單元ijlEA正方向aaa②①③1234例2例1E，A，l，DT，a2.一維問題(2)扭轉(zhuǎn)桿單元ijlGJ正方向3二維問題（平面桁架系統(tǒng)）剛度的概念Pd2kkkPd1k坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的概念Pkkdk②①③qqN2N3N1PqqDl3Dl2Dl1根據(jù)鉸點(diǎn)處平衡及幾何關(guān)系：單元?jiǎng)偠扰c結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度的轉(zhuǎn)換關(guān)系：(a)局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)瓑簵U單元ijlEA正方向(b)結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)瓑簵U單元ijqqqqxy或（1）在局部坐標(biāo)下，軸向力與軸向位移的關(guān)系：局部與整體坐標(biāo)系下的位移關(guān)系：或（2）（3）將（2）和（3）代人（1）：(c)構(gòu)造總體剛度矩陣Pd②①③E,A,lxqq1234各單元結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系：擴(kuò)充結(jié)點(diǎn)力向量，將各單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)充為總剛度矩陣規(guī)模如單元（2）：疊加形成總剛度矩陣,求位移0計(jì)算桿內(nèi)力單元（1）兩端的結(jié)點(diǎn)力：單元（2）兩端的結(jié)點(diǎn)力：例：213（1）（2）F已知：直桿長度為l，兩桿夾角為

45度。兩桿的橫截面面積為A，材料彈性模量為E。求：圖示桁架各桿端位移。3二維問題（平面桁架系統(tǒng)）步驟1：離散和選擇單元類型解：步驟1：離散和選擇單元類型將系統(tǒng)離散為兩個(gè)單元，3個(gè)節(jié)點(diǎn)213（1）（2）2u，v分別代表單元各處的x及y方向位移，桿中任一點(diǎn)位移，可假設(shè)為：(2-1)待定系數(shù)位置坐標(biāo)步驟2：選擇單元位移函數(shù)步驟2：選擇單元位移函數(shù)ijl代入節(jié)點(diǎn)的位移,

步驟2：選擇單元位移函數(shù)所以：

(2-2)當(dāng)桿受軸力作用時(shí)，桿橫截面上的應(yīng)力為：步驟3：單元特性分析步驟3：單元特性分析線彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系是：

首先分析節(jié)點(diǎn)位移（桿端位移）與桿端力的關(guān)系

桿端力為：矩陣形式表示(2-3)步驟3：單元特性分析局部坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)力列向量

局部坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移列向量單元?jiǎng)偠染仃嚥襟E3：單元特性分析式（2-3）還可寫成

（2-4）式（2-3）或（2-4）稱為單元?jiǎng)偠确匠滩襟E4：構(gòu)造總體剛度矩陣首先進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在桿系結(jié)構(gòu)有限元法中，每個(gè)單元都有自己的局部坐標(biāo)系，但對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)而言所建立的坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系。把任意的一個(gè)單元取出來，放在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下，考察一下該單元在兩種坐標(biāo)系下的物理量。符號(hào)約定：局部坐標(biāo)系下的物理量用加上畫線來標(biāo)記。首先定義一下結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系x-y與局部坐標(biāo)系的夾角符號(hào)：x-y坐標(biāo)系沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到與坐標(biāo)系重合，則x-y坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過的角度為正。步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣桿端力的坐標(biāo)變換矩陣形式表示或（2-5）同理（2-6）A.局部坐標(biāo)系下的物理量：B.結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的物理量：步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換:在局部坐標(biāo)系下，單元的剛度方程為：由式（2-5）可得：由式（2-6）可得：帶入可得：使：（2-7）（2-8）結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠?/p>

步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣所以：對(duì)單元1，α＝0對(duì)單元2，α＝45構(gòu)造結(jié)構(gòu)剛度矩陣（按節(jié)點(diǎn)力平衡的思想）步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣由平衡條件可得：對(duì)于節(jié)點(diǎn)1有：節(jié)點(diǎn)1的節(jié)點(diǎn)力單元(1)中節(jié)點(diǎn)1的節(jié)點(diǎn)力（桿端力）同理有：對(duì)節(jié)點(diǎn)2：對(duì)節(jié)點(diǎn)3：任一單元(e)的單元?jiǎng)偠确匠虨椋夯虿襟E4：構(gòu)造總體剛度矩陣對(duì)單元(1)有：對(duì)單元(2)有：因此，由節(jié)點(diǎn)1，2，3的平衡條件可得：注意到節(jié)點(diǎn)位移的連續(xù)性有：步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣因此，把全部節(jié)點(diǎn)的平衡方程寫成矩陣形式有（2-9）或：（2-10）所以，總剛為單元?jiǎng)偠染仃嚕簡卧木植苛卧?jié)點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣[K]

：結(jié)構(gòu)的總力

節(jié)點(diǎn)位移

總體剛度矩陣[K]步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣

步驟5：節(jié)點(diǎn)位移求解步驟5：節(jié)點(diǎn)位移求解步驟5：節(jié)點(diǎn)位移求解步驟1：結(jié)構(gòu)離散步驟2：確定位移函數(shù)步驟3：單元特性分析步驟4：構(gòu)造總體剛度矩陣步驟5：節(jié)點(diǎn)位移求解知識(shí)回顧第二章小結(jié)

第二章小結(jié)

結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣[K]：單元?jiǎng)偠染仃嚕盒〗Y(jié)作業(yè)一：