微專題5數(shù)學(xué)工具-平面向量在解題中的應(yīng)用

觀千劍而后識器,操千曲而后曉聲泰戈?duì)栐f過:“只有經(jīng)歷過地獄般的磨練，才能煉出創(chuàng)造天堂的力量；只有流過血的手指才能彈奏出世間的絕唱?！蔽ｎ}5數(shù)學(xué)工具——平面向量在解題中的應(yīng)用對應(yīng)學(xué)生用書第100頁一、平面向量與平面幾何的綜合已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若動點(diǎn)P滿足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈(0,+∞),則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的().A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心答案C解析由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根據(jù)平行四邊形法則,知AB+AC是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量AD的2倍,所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心.點(diǎn)撥1.設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則(1)O為△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|;(2)O為△ABC的重心?OA+OB+OC=0;(3)O為△ABC的垂心?OA·OB=OB·OC=OC·OA.2.用向量方法解決平面幾何問題的步驟:平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.【微點(diǎn)練1】(一題多解)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是().A.-2 B.-32 C.-43 D.答案B解析(法一:解析法)①建立平面直角坐標(biāo)系如圖①所示,則A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),∴PA·(PB+PC)=(-x,3-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-3y)=2x2+y-322-34≥2×-34=-32.當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=32時,PA·(法二:幾何法)②如圖②所示,PB+PC=2PD(D為BC的中點(diǎn)),則PA·(PB+PC)=2PA·PD.要使PA·PD最小,則PA與PD方向相反,即點(diǎn)P在線段AD上,則(2PA·PD)min=-2|PA||PD|,問題轉(zhuǎn)化為求|PA||PD|的最大值.又|PA|+|PD|=|AD|=2×32=3∴|PA||PD|≤|PA|+|PD∴[PA·(PB+PC)]min=(2PA·PD)min=-2×34=-32.故選二、平面向量與解析幾何的綜合(一題多解)(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是().A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A解析(法一)設(shè)OA=a,OB=b,OE=e,以O(shè)為原點(diǎn),OE的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則E(1,0).不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限,∵a與e的夾角為π3∴點(diǎn)A在射線y=3x(x≥0)上.設(shè)B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點(diǎn)B在圓(x-2)2+y2=1上運(yùn)動.∵BA=a-b,∴|a-b|的最小值即點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,為圓心(2,0)到射線y=3x(x≥0)的距離減去圓的半徑,∴|a-b|min=3-1,故選A.(法二)將b2-4e·b+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).設(shè)OE=e,OA=a,OB=b,ON=3e,OM=2e,則EB⊥NB,∴點(diǎn)B在以M為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動.∵|a-b|=|BA|,∴|a-b|的最小值即點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.∵|OM|=2,∠AOM=π3,∴|a-b|min=2sinπ3-1=3-點(diǎn)撥向量在解析幾何中的作用:(1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用:利用a⊥b?a·b=0,a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別是向量垂直、平行的坐標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時經(jīng)常用到.【微點(diǎn)練2】若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OP·答案6解析由題意,得F(-1,0),設(shè)P(x0,y0),則x024+y023=1,因?yàn)镕P=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以O(shè)P·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3因?yàn)?2≤x0≤2,所以當(dāng)x0=2時,OP·FP取得最大值,最大值為6.三、平面向量與三角函數(shù)的綜合(2017年江蘇卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.解析(1)因?yàn)閍=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0,這與sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-33又x∈[0,π],所以x=5π(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+因?yàn)閤∈[0,π],所以x+π6∈π從而-1≤cosx+π6所以當(dāng)x+π6=π6,即x=0時,f(x)取到最大值,最大值為當(dāng)x+π6=π,即x=5π6時,f(x)取到最小值,最小值為-點(diǎn)撥破解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”,即先把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系,再活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三角函數(shù)進(jìn)行巧化簡.平面向量與三角函數(shù)綜合問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用相關(guān)知識進(jìn)行求解.【微點(diǎn)練3】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-1,0),|OC|=1,且∠AOC=θ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若θ=3π4,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動點(diǎn),求|OC+OD|(2)若θ∈0,π2,向量m=BC,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求m·n的最小值及對應(yīng)的解析(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),由題意知C-22,22,所以O(shè)C所以|OC+OD|2=t-22所以當(dāng)t=22時,|OC+OD|有最小值,最小值為2(2)由題意得C(cosθ,sin